Symbole de Kronecker

note de

: Vous pourriez rechercher le delta de Kronecker de .

Dans la théorie des nombres , le symbole de Kronecker de est une généralisation du symbole de Jacobi de à tous les nombres entiers

Laisser $n$ être un nombre entier, avec la factorisation de la perfection $u\; de$

\ ^ du cdot {p_1} {e_1} \ ^ de cdots {p_k} {e_k},

là où $u$ est une unité et le $p\_i$ de sont amorce. Laisser le $a\; \backslash \; geq\; 0$ être un nombre entier. Le $de\; symbole\; de\; Kronecker\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)$ laissé est défini pour être $de$

\ (\ frac {a} {n} \ droit) = laissé \ laissé (\ frac {a} {u} \ droit) \ ^k du prod_ {i=1} \ (\ frac {a} {p_i} \ droit) ^ laissé {e_i}.

Pour le impair $p\_i$, le $de\; nombre\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{p\_i\}\; \backslash \; droit)$ laissé est simplement le symbole habituel de Legendre de . Ceci part du cas quand $p\_i=2.$ que nous définissons le $\backslash \; avons\; laissé\; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)$ près $de$

\ parti (\ frac {a} {2} \ droit) = \ commencer {les cas} 0 et \ mbox {si} \ d'a \ mbox {est égal} \ 1 et \ mbox {si} a \ mbox {est impair et} a \ 1 équivalent \ mbox {ou} a \ \ équivalent de 7 \ pmod {8} \ -1 et \ mbox {si} a \ mbox {est impair et} a \ 3 équivalents \ mbox {ou} a \ 5 équivalents \ pmod {8} \ extrémité {cas}

Puisqu'il prolonge le symbole de Jacobi, le $dequantité\backslash \; a\; laissé\; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{u\}\; \backslash \; droit)$ est simplement 1 quand $u=1.$ quand $u=-1$, nous le définissent près le $de$

\ parti (\ frac {a} {- 1} \ droit) = \ commencent {des cas} -1 et \ mbox {si} < 0 \ \ 1 et \ mbox {si} > un 0 \ extrémité {cas}

Ces prolongements suffisent pour définir le symbole de Kronecker pour toutes les valeurs de nombre entier $n.$

Voir également

symbole de Jacobi
Symbole de Legendre de

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