tubulure 4

Dans les mathématiques , le 4 divers est une tubulure topologique du 4 dimensionnel. Un lissent 4 divers est une tubulure 4 avec une structure douce . Dans la dimension quatre, dans le contraste marqué avec des dimensions inférieures, les tubulures topologiques et douces sont très différentes. Là existent environ 4 tubulures topologiques qui n'admettent aucune structure douce et même si là existe une structure douce il n'a pas besoin d'être unique (c. il y a des 4 tubulures douces qui sont le homéomorphe mais pas le Diffeomorphic ).

4 tubulures topologiques

Le type de Homotopy de d'une tubulure simplement reliée du contrat 4 du dépend seulement de la forme d'intersection de sur l'homologie dimensionnelle moyenne. Un théorème célèbre de implique que le type de l'homéomorphie de la tubulure dépend seulement de cette forme d'intersection, et à un Z du Z /2 invariable a fait appel le Kirby-Siebenmann invariable, et d'ailleurs que chaque combinaison de forme unimodular et Kirby-Siebenmann de invariables peut surgir, sauf que si la forme est même le Kirby-Siebenmann invariable est le signature/8 (mod 2).

Exemples :
Dans le cas spécial quand la forme est 0, ceci implique la conjecture topologique dimensionnelle de Poincare du 4.
Si la forme est le E ₈, ceci donne une tubulure appelée la tubulure , une tubulure du E8 non homéomorphe à n'importe quel complexe simplicial.
Si la forme est le Z , il y a deux tubulures selon le Kirby-Siebenmann invariable : on est l'espace 2 projectif complexe dimensionnel, et l'autre est un espace projectif faux, avec le même type homotopy mais non homéomorphe (et sans la structure douce).
Quand le grade de la forme est plus grand qu'environ 28, le que le nombre de formes unimodular définies positives commence à augmenter extrêmement rapidement avec le rang, tellement là sont des nombres importants de correspondance les 4 tubulures topologiques simplement reliées (plus dont sembler être de presque aucun intérêt).

La classification du Freedman peut être prolongée à quelques cas quand le groupe fondamental n'est pas trop compliqué ; par exemple, quand c'est le Z il y a une classification semblable à celle au-dessus d'employer les formes hermitiennes au-dessus de l'anneau de groupe du Z . Si le groupe fondamental est les techniques (par exemple, un groupe libre sur 2 générateurs) alors du Freedman trop grand semblent échouer et très peu est connu au sujet de telles tubulures.

Pour n'importe quel groupe de façon finie présenté il est facile de construire la tubulure (douce) du contrat 4 d'a avec lui en tant que son groupe fondamental. Car il n'y a aucun algorithme pour dire si deux groupes de façon finie présentés sont isomorphes (même si on est connu pour être insignifiant) il n'y a aucun algorithme pour dire si deux 4 tubulures ont le même groupe fondamental. C'est une raison pour laquelle une grande partie du travail sur 4 tubulures considère juste le cas simplement relié : le cas général de beaucoup de problèmes est déjà connu pour être insurmontable.

Lisser 4 tubulures

Pour des tubulures de la dimension tout au plus 6, on peut lisser (PL) n'importe quelle structure par morceaux linéaire d'une manière essentiellement unique, tellement en particulier la théorie de 4 tubulures dimensionnelles de PL de que est plus ou moins identique que la théorie de 4 tubulures douces dimensionnelles. Un problème non résolu important dans la théorie de 4 tubulures douces est de classifier le contrat simplement relié ceux. Pendant que les topologiques sont connus, ceci se casse en deux parts : Quelles tubulures topologiques sont smoothable ?

Classifier les différentes structures douces sur une tubulure smoothable.

Il y a une réponse presque complète au premier problème dont les tubulures simplement reliées du contrat 4 ont les structures douces. D'abord, la nécessité invariable de Kirby Siebenmann disparaissent.
Si la forme d'intersection est définie le théorème de Donaldson de donne un complet répondent : il y a une structure douce si et seulement si la forme est diagonalizable.
Si la forme est indéfinie et impaire il y a un lisse structurent.
Si la forme est indéfinie et même nous pouvons aussi bien supposer qu'elle est de signature non positive en changeant des orientations au besoin, dans ce cas elle est isomorphe à une somme de copies du m d'II_1,1 et de 2 copies du n d'E₈ (&minus ; 1) pour un certain m et un n . Si n du ≥ 3 du m (de sorte que la dimension soit au moins 11/8 chronomètre |signature|) il y a alors une structure douce, donnée en prenant une somme de surfaces du K3 du n et de produits du n du m -3 de deux lignes projectives. Si > du n du ≤ 2 du m ; 0 (ainsi la dimension est tout au plus 10/8 de périodes |signature|) puis Donaldson et Furuta ont montré qu'aucune structure douce n'existe. Ceci laisse un petit espace entre 10/8 et 11/8 où la réponse est la plupart du temps inconnue. (Le plus petit cas non couvert ci-dessus a le n =2 et le m =5, mais ceci a été également éliminé, ainsi le plus petit trellis pour lequel la réponse n'est pas actuellement connue est le trellis II_7,55 du grade 62 avec le n =3 et le m =7.) le " ; conjecture" 11/8 ; les déclarer que les structures douces n'existent pas si la dimension est moins de 11/8 chronomètre |signature|.

En revanche, très peu est connu (en 2006) au sujet de la deuxième question de classifier les structures douces sur une tubulure 4 smoothable ; en fait, il n'y a pas une tubulure 4 smoothable simple où la réponse est connue. Donaldson a prouvé qu'il y a quelques tubulures simplement reliées du contrat 4 avec un nombre infini comptable de structure douce différente. Il y a un nombre incomptable de différentes structures douces sur le R ⁴ ; voir le ''' exotique ⁴ du ''' R de . Fintushel et poupe ont montré comment employer la chirurgie pour construire un grand nombre de différentes structures douces (répertoriées par des polynômes intégraux arbitraires) sur beaucoup de différentes tubulures, using les invariants de Seiberg-Witten de pour prouver que les structures douces sont différentes. Leurs résultats suggèrent que n'importe quelle classification des 4 tubulures douces simplement reliées soit très compliquée. Il n'y a actuellement aucune conjecture plausible au sujet derrière de ce que cette classification pourrait ressembler. (Une partie tôt conjecture que toutes les 4 tubulures douces simplement reliées pourraient être des sommes reliées de surfaces algébriques, ou des tubulures Symplectic probablement avec des orientations renversées, a été réfuté.)

Phénomènes spéciaux dans 4 dimensions

Il y a plusieurs théorèmes fondamentaux au sujet des tubulures qui peuvent être prouvés par de basses méthodes dimensionnelles dans les dimensions tout au plus 3, et par des méthodes dimensionnelles élevées complètement différentes dans la dimension au moins 5, mais ce qui être faux dans la dimension 4. Voici quelques exemples :
Dans les dimensions autres que 4, le Kirby-Siebenmann invariable fournit l'obstruction à l'existence d'une structure de PL ; en d'autres termes une tubulure topologique compacte a une structure de PL si et seulement si son Kirby-Siebenmann invariable dans H⁴ ( M , Z Z /2) disparaît. Dans la dimension 3 et abaisser, chaque tubulure topologique admet une structure essentiellement unique de PL. Dans la dimension 4 il y a beaucoup d'exemples avec ne disparaître Kirby-Siebenmann invariable mais aucune structure de PL.

dans n'importe quelle dimension autre que 4, une tubulure topologique compacte a seulement un nombre fini de PL essentiellement distinct ou de structures douces. Dans la dimension 4, les tubulures compactes peuvent avoir un nombre infini comptable de structures douces non-diffeomorphic.
4 est le seul n de dimension pour lequel le n de ^{du R} peut avoir une structure douce exotique. Le R ⁴ a un nombre incomptable de structures douces exotiques ; voir le ''' exotique ⁴ du ''' R de .

la solution à la conjecture douce de Poincaré de est connu dans toutes les dimensions autres que 4 (elle est habituellement fausse dans les dimensions au moins 7 ; voir la sphère exotique ). La conjecture de Poincaré pour les tubulures de PL de a été prouvée pour toutes les dimensions autres que 4, mais on ne le connaît pas s'il est vrai dans 4 dimensions (il est équivalent à la conjecture douce de Poincaré dans 4 dimensions).

que le théorème doux de H-cobordism de se tient pour des cobordisms à condition que ni le cobordism ni sa frontière n'ait la dimension 4. Elle peut échouer si la frontière du cobordism a la dimension 4 (comme montré par Donaldson). Si le cobordism a la dimension 4, alors il est inconnu si le théorème de h-cobordism se tienne.
La tubulure topologique du

A de la dimension non égale à 4 a une décomposition handlebody. Les tubulures de la dimension 4 ont une décomposition handlebody si et seulement si elles sont smoothable.

là sont des tubulures topologiques dimensionnelles du contrat 4 qui ne sont pas homéomorphes à aucun complexe simplicial. Dans la dimension au moins 5 l'existence des tubulures topologiques non homéomorphes à un complexe simplicial est un problème non résolu (à partir de 2007).

Voir également

Calcul de Kirby de
Surface algébrique
3 divers
5 divers
Classification d'Enriques-Kodaira de
Poignée de casson de

Random links: