notation de Placer-constructeur

Dans la théorie des ensembles et ses applications à la logique , aux mathématiques , et au de l'informatique, notation de placer-constructeur de (ou généralement, " ; placer le notation" ;) est une notation mathématique pour décrire un réglé en énonçant les propriétés que ses membres doivent satisfaire. Formant des ensembles de cette manière est également connu comme la compréhension réglée , l'abstraction réglée de ou en tant que définition de l'intension du d'un ensemble.

Ensembles de construction

Laisser le &Phi ; ( X ) être une formule schématique dans laquelle le X apparaît le libre. Placer le constructeur que la notation a la forme { X : &Phi ; ( X )} (certains écrivent { X | &Phi ; ( X )}), dénotant l'ensemble de tous les individus dans l'univers de du discours satisfaisant le &Phi d'attribut ; ( X ), c., l'ensemble dont les membres sont chaque individuel X tels que &Phi ; ( X ) est vrai. Placer les grippages de notation de constructeur le variable X et doit être employé avec même soin appliqué aux variables bondissent par les Quantifiers

Exemples (l'univers du discours peut être pris pour être, par exemple, tous les nombres complexes :
$\ {x : X = x^2 \} \, \ !$ est le $d'ensemble \ {0, 1 \} le$ ,
$\ {x : X \ dans \ mathbb {} de R \ et x > 0 \}$ est l'ensemble de tous les nombres positif du vrais,
$\ {k : n \ dans \ mathbb {} de N \ et k = 2n \}$ est l'ensemble de tous les nombres normaux du même ,
$\ {a : \ existe \ p, q \ dans \ mathbb {Z} (q \ pas = aq=p) de 0 \ terre \}$ est l'ensemble de nombres raisonnables ou de nombres qui peuvent être écrits comme rapport de deux nombres entiers .

Les stands de signe du $\ and$ pour le et le , exigeant les deux conditions soient accomplis simultanément. Il est souvent remplacé par un point-virgule de virgule (,) (;) ou écrit comme et . Alternativement, ensembles du $\ {x : X \ dans X \ et \ phi (x) \}$ peut être écrit comme $\ {x \ dans X : \ phi (x) \}$ . L'ensemble de vrais nombres positifs serait alors $\ mathbb {R} : X > 0 \}$ .

Le paradoxe de Russell

Laissé { S : Le S est un ensemble et le S n'appartient pas au S } dénotent l'ensemble de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. Cet ensemble ne peut pas exister ; Le paradoxe de Russell de explique pourquoi.

Les solutions au paradoxe limitent l'ensemble - notation de constructeur de certaines manières. Laisser le X = { X dans A : P ( X )} dénoter l'ensemble de chaque élément du A satisfaisant le P ( X ) d'attribut. La restriction canonique à la notation de constructeur d'ensemble affirme que le X est un ensemble seulement si le A est déjà connu pour être un ensemble. Cette restriction est codifiée dans le schéma d'axiome de de la séparation actuelle dans la théorie des ensembles axiomatique standard. Noter que ce schéma d'axiome de exclut { S : Le S est un ensemble et le S n'appartient pas au S } de sethood.

D'autres problèmes

La notation peut être compliquée, particulièrement comme dans l'exemple précédent, et des abréviations sont souvent utilisées quand le contexte indique la nature d'une variable. Par exemple :
{ X : le X > 0}, dans un contexte où le variable X est employé seulement pour de vrais nombres, indique l'ensemble de tous les vrais nombres positifs ;
{ p / q : le q n'est pas zéro}, dans un contexte où le p de variables et le q sont employés seulement pour des nombres entiers, indique l'ensemble de tous les nombres raisonnables ; et
{ S : Le S n'appartient pas au S }, dans un contexte où le variable S est employé seulement pour des ensembles, indique l'ensemble de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. Car le dernier exemple montre, une notation si abrégée encore ne pourrait pas dénoter un ensemble nonparadoxical réel, à moins qu'il y ait en fait un ensemble de tous les objets qui pourraient être décrits par la variable en question.

Variations

Définition des ensembles en termes de d'autres ensembles

Une autre variation sur la notation de placer-constructeur décrit les membres de l'ensemble en termes de membres d'un autre ensemble. Spécifiquement, { F ( X ) : le X dans le A }, où le F est un symbole de fonction de et le A est un ensemble précédemment défini, indique l'ensemble de toutes les valeurs des membres du A sous le F . Par exemple :
{2 n : le n dans le N }, où le N est l'ensemble de tous les nombres normaux, est l'ensemble de tous les nombres même normaux. Dans la théorie des ensembles axiomatique, cet ensemble est garanti pour exister par le schéma d'axiome de du remplacement .

Ces notations peuvent être combinées sous la forme { F ( X ) : X dans le A , P ( X )}, qui indique l'ensemble de toutes les valeurs sous le F de ces membres du A qui satisfont le P . Par exemple :
{ p / q : le p dans le Z , le q dans le Z , le q n'est pas zéro}, où le Z est l'ensemble de tous les nombres entiers, est l'ensemble de tous les nombres raisonnables ( Q ). Cet exemple montre également comment des variables multiples peuvent être employées ( p et q dans ce cas-ci). Cette notation est acceptable quoique par exemple 2/3 et 4/6 soient les deux inclus dans cette définition, et un ensemble ne peut pas contenir les copies multiples d'un élément ; le p =4, le q =6 de cas indique avec la redondance inoffensive que 2/3 est dans l'ensemble.

Parallèles dans des langages de programmation

voient également :

la compréhension de liste de la notation de Placer-constructeur est étroitement liée à une construction dans quelques langages de programmation, spécialement le python et le Haskell , appelé la compréhension de liste de .

Dans le python, des compréhensions de liste sont dénotées par les crochets, et ont une syntaxe différente au placer-constructeur, mais sont fondamentalement identiques. Considérer ces exemples, donnés dans la compréhension de notation de placer-constructeur et de liste de python.
Placer-constructeur :
{ l : l dans le L }
Voir également

Voir également

SQL - langage d'interrogation structuré, employé pour mettre en application des opérations réglées sur une base de données relationnelle

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