module Fini-produit

Dans les mathématiques , un module est un le module fini-produit s'il a un ensemble se produisant fini.

Introduction intuitive

Officieusement, les modules sont une abstraction du concept d'un certain nombre de directions, ainsi que des distances (ou des coefficients) dans chaque direction. Un ensemble se produisant est une liste qui enjambe toutes les directions possibles. Un module fini-produit est un pour lequel il y a un ensemble se produisant fini.

Cette image devrait néanmoins être employée avec soin, parce que dans un " donné de module ; distance" ; force ne pas être interprété comme quantité continue du (voir les exemples 2 et 3 ci-dessous de modules où " ; distance" ; est toujours un nombre entier ). Dans des quelques modules les choses contre-intuitives pourraient se produire si vous voyagez assez loin dans une direction (par exemple dans des quelques modules que vous récupérerez à où vous avez commencé). Voir également les modules de torsion de . : Considérer la carte ordinaire coordonne, est-ouest et au nord-sud. Seulement deux directions sont exigées pour enjamber la carte entière. Ignorant des obstructions, vous pourriez obtenir à n'importe quel point sur la carte en voyageant une certaine distance est-ouest et puis une autre distance au nord-sud. Ainsi nous disons que le secteur entier de la carte est produit par l'ensemble {1 mille d'est, 1 mille de du nord} ainsi que des coefficients des vrais nombres que la carte peut être décrite comme module de façon finie produit (en fait, un module de 2 générateurs) -- bien que pour des raisons techniques elle doive aller jusque vous aimer dans toutes les directions. (module pas de façon finie produit) de . Considérer le positif les nombres raisonnables écrit comme puissances des nombres premiers ainsi par exemple nous exprimons 18 comme 2.3², 7/6 comme 7.3^-1 et ainsi de suite. Ici, les nombres premiers sont le " ; directions" ; , et l'exposant de chacun perfection est le coefficient. Une fois décrits de cette façon, les nombres rationnels positifs forment un module (au-dessus des nombres entiers). Un ensemble se produisant fini serait un ensemble fini de nombres raisonnables qui pourraient, en les soulevant à n'importe quelle puissance de nombre entier et en les multipliant ensemble, être employé pour exprimer tout nombre raisonnable. Aucun un tel ensemble n'existe, parce qu'il y a infiniment beaucoup de nombres premiers, et aucun ensemble fini de nombres raisonnables ne peut produire de eux tous. Par conséquent le ceci n'est pas par module fini-produit. prennent les nombres raisonnables positifs que (après simplification) contenir seulement amorce 2 et 3. Ainsi par exemple 6, 10/45=2/9 et 1/12 appartiennent à cet ensemble. C'est un module au-dessus des nombres entiers, qui est également de façon finie produit. Un ensemble de générateurs est, par exemple, {2.

Définition formelle

Le gauche R - le M de module est fini-produit si et seulement si là existent un ₁, un ₂,…, un n de _{de dans le M tels que pour tout le X dans le M , là existent le r ₁, le r ₂,…, le n} de _{du r dans le R avec le X = du r ₁ un ₁ + du r ₂ un ₂ +… + du n} de _{du r un de _{de n}.}

L'ensemble { un ₁, un ₂,…, un n de _{de } est mentionné comme un produisant de l'ensemble pour le M dans ce cas-ci.}

Dans le cas où le M du module est un espace de vecteur au-dessus d'un R du champ , et l'ensemble se produisant est le linéairement indépendant, le n est le bien défini et est désigné sous le nom de la dimension du M (le bien défini signifie que n'importe quel linéairement indépendant produisant de l'ensemble a des éléments du n : c'est le théorème de dimension de pour les espaces de vecteur ).

Quelques faits

Les modules de façon finie produits au-dessus de l'anneau du Z des nombres entiers coïncident avec les groupes abéliens de façon finie produits que ceux-ci sont complètement classifiés. Le même est vrai pour les modules de façon finie produits au-dessus de n'importe quel domaine d'idéal principal ; voir le structurer le théorème .

Chaque image homomorphe d'un module de façon finie produit est de façon finie produite. Généralement les sous-modules des modules de façon finie produits n'ont pas besoin d'être de façon finie produits. (Comme exemple, considérer le R d'anneau = Z de tous les polynômes dans le comptable beaucoup de variables de . Le R lui-même est un fini-produit R - le module {1} car produisant de l'ensemble. Considérer le K de sous-module se composant de tous ces polynômes sans limite constante. Puisque chaque polynôme contient seulement de façon finie beaucoup de variables, le R - le K de module n'est pas de façon finie produit.) Cependant, si le R d'anneau est le noethérien, puis chaque sous-module d'un module de façon finie produit encore est de façon finie produit (et en effet cette propriété caractérise les anneaux noethériens).

Si le M est un module qui a un fini-produit K de sous-module tels que le M du module de facteur de / K est de façon finie produit, alors le M lui-même fini-est produit.

modules Fini-présentés et logiques

Une autre formulation est ceci : un fini-produit M de module est un pour lequel il y a un homomorphisme surjectif de module de du

φ : M de → du R^k .

Un fini-présenté le M du module est un pour lequel le grain de φ peut également être pris fini-pour être produit. Si c'est le cas, nous avons essentiellement le M spécifique using de façon finie beaucoup de générateurs (les images des générateurs de k de R^k ) et de façon finie beaucoup de relations (les générateurs de ker (φ)). Un logique M du module est un qui fini-est produit et tels que le grain de n'importe quel M de → du R^k de carte (pas nécessairement surjectif) fini-est également produit.

Au-dessus de n'importe quel R d'anneau, des modules logiques fini-sont présentés, et des modules fini-présentés fini-sont produits. Pour un noethérien R de l'anneau , chacune des trois conditions est réellement équivalente.

Bien que la concordance semble comme une condition plus encombrante que les autres deux, il fait plus beau qu'ils puisque la catégorie des modules logiques est une catégorie abélienne , alors que, ni généralement fini-produits ni fini-présentés les modules ne forment une catégorie abélienne.

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