mesure Risque-neutre

Dans les finances mathématiques , une mesure risque-neutre est la mesure de probabilité que des résultats quand on suppose que le futur la valeur prévue de tous les actifs financiers sont égal au futur profit des capitaux escompté par au taux Risk-free . Le concept est employé dans l'évaluation des dérivés

Fond

Dans une économie réelle, le prix des capitaux est affecté par les investisseurs de quantité sont disposé à payer pour assumer ou éliminer le risque. Cependant, il est parfois possible de calculer les prix des capitaux supposant qu'il n'y avait aucun risque. Quand les prix des actifs sont corrigés de sorte qu'il n'y ait aucun risque, la probabilité que le résultat sont ceux de la mesure risque-neutre.

La mesure est soi-disant parce que, sous cette mesure, tous les capitaux financiers dans l'économie ont le même taux de rendement prévu, indépendamment du « risque - c. la variabilité dans le prix - des capitaux. Ce contraste avec la mesure physique - c. la distribution de de probabilité réelle des prix où (presque universellement) des capitaux plus risqués (ces capitaux avec une volatilité de prix plus élevé) ont un plus grand taux de rendement prévu que les capitaux moins risqués.

les mesures Risque-neutres le rendent facile d'exprimer en formule la valeur d'un dérivé. Supposer que à un moment donné le T à l'avenir un dérivé (par exemple, une option d'achat sur des actions ) éponge des unités de $H_T$ , où $H_T$ est une variable aléatoire sur l'espace de probabilité décrivant le marché. Supposer plus loin que le temps zéro) du facteur d'escompte de ( dès maintenant jusqu'à ce que le T de temps soit P (0, T ), puis la juste valeur d'aujourd'hui du dérivé est

$H_0 = P (0, T) \ _Q d'operatorname {E} (H_T).$

là où la mesure risque-neutre est dénotée par $Q$ . Ceci peut être redit en termes de physique P de mesure As

$H_0 = \ _P de l'operatorname {E} \ (\ frac {dQ} {DP} H_T \ droit)$ laissé

là où le $\ frac {dQ} {DP}$ est le dérivé de Radon-Nikodym de du Q en ce qui concerne le P .

Un autre nom pour la mesure risque-neutre est la mesure équivalente de martingale de . Un marché financier particulier peut avoir une ou plusieurs mesures risque-neutres. S'il y a juste d'un puis il y a un arbitrage-libre unique évaluent pour chaque capitaux sur le marché. C'est le théorème fondamental de de de l'évaluation arbitrage-libre . S'il y a plus d'une telle mesure il y a alors un intervalle des prix dans lesquels aucun arbitrage n'est possible. Dans ce cas-ci la terminologie équivalente de mesure de martingale est généralement employée.

&mdash de l'exemple 1 ; Modèle binomial des cours des actions d'actions

Supposer que nous avons une économie de deux états : le cours des actions d'actions initiales $S$ peut aller jusqu'à $S^u$ ou vers le bas à $S^d$ . Si le taux d'intérêt est R-1>0, et nous avons le $S^d suivant de relation < RS < S^u$ , alors la probabilité risque-neutre d'un mouvement de stocks ascendant est donnée par le nombre $de \ pi = \ frac {RS - S^d} {S^u - S^d}.$

Donné un dérivé qui a le profit $X^u$ quand le cours des actions d'actions se déplace vers le haut et $X^d$ quand le cours des actions d'actions va en bas, nous pouvons évaluer le dérivé par l'intermédiaire de = de $X de \ frac {\ pi X^u + (1 - \ pi) X^d} {R}.$

&mdash de l'exemple 2 ; Modèle de mouvement brownien des cours des actions d'actions

Supposer que notre économie se compose d'un courant, un lien Risk-free et que notre modèle décrivant l'évolution du monde est le modèle Noir-Scholes . Dans le modèle les actions ont la dynamique = de dS_t de

de  \ MU S_t \, décollement + \ sigma S_t \, dW_t

là où $W_t$ est un mouvement brownien standard en ce qui concerne le physique mesurent. Si nous définissons $de \ _t du tilde {W} = + de W_t \ frac {\ MU - r} {\ sigma} t,$

alors le théorème de Girsanov de déclare que là existe une mesure $Q$ sous laquelle le $\ tilde {W} _t$ est un mouvement brownien.

Le prix du marché de du risque est reconnaissable As $\ frac de {\ MU - r} {\ sigma}.$

Nous substituant dedans avons dS_t de $+ \ sigma S_t \, _t de d \ tilde {W}.$

Le Q est la mesure risque-neutre unique pour le modèle. Le processus (escompté) de profit d'un dérivé sur le $H_t courant = \ _Q de l'operatorname {E} (H_T| F_t)$ est une martingale sous le Q . Depuis le S et le H sont le Q - martingales nous pouvons appeler le théorème de représentation de martingale de pour trouver un repliant la stratégie - une exploitation des stocks et les liens qui éponge le $à tout moment \ leq T$ .

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