fonction douce Non-analytique

Dans les mathématiques , les fonctions douces (également appelé les fonctions infiniment différentiables) et les fonctions analytiques sont deux types très importants de fonctions . On peut facilement montrer que n'importe quelle fonction analytique d'un vrai argument du est lisse. L'inverse n'est pas vraie, avec cet article construisant un contre-exemple .

Définition de la fonction

Considérer la fonction

$f (x)= \ commencent {} de cas \ exp (- 1/x)& \ texte {si} x>0, \ \ 0& \ texte {si} x \ le0, \ extrémité {cas}$

défini pour chaque X du vrai nombre .

La fonction est lisse

Le f de fonction a les dérivés continus de tous les ordres dans tout le X de points de la vraie ligne , donné près

$f^ {(n)} (x) = \ commencent {cas} \ displaystyle \ frac {p_n (x)} {} de x^ {2n} \, f (x) et \ texte {si} x>0, \ \ 0 et \ texte {si} x \, de le 0 \ extrémité {cas}$

là où le p_n ( X ) est un polynôme de du n de degré ; &minus ; ; 1 donné périodiquement par le du p ₁ ( X ) ; = ; 1 et p_n du $p_ de {n+1} (x)=x^2p_n'(X) - (2nx-1) (x), \ qquad n \ dans \ mathbb {N}.$

Contour de la preuve

La preuve, par induction, est basée sur le fait qui pour tout du nombre normal m comprenant zéro,

$\} x \ searrow0 \ frac de lim_ {{e^ {- 1/x}} {x^m} = 0,$

ce qui implique que tout le ^{du f ; ( n )} sont continus et différentiables dans le x ; = ; 0, parce que

$\} x \ searrow0 \ frac de lim_ {{f^ {(n)} (x) - f^ {(n)} (0)}{x-0} = \ lim_ {x \ searrow0} \ frac {p_n (x)} {} de x^ {2n+1} \, e^ {- 1/x} = 0.$

Preuve détaillée

Par la représentation de série entière de de la fonction exponentielle , nous prenons pour chaque m de nombre normal (zéro y compris)

$\ frac1 {x^m} =x \ Bigl (\ frac1 {} de x \ Bigr) ^ {m+1} \ le (m+1) ! \, ^ de x \ sum_ {n=0} \ infty \ frac1 {n !}\ ^n$

de Bigl (\ frac1x \ Bigr) (m+1) ! \, x \ exp \, de Bigl (\ frac1x \ Bigr) \ qquad x>0,

parce que toutes les limites positives pour le du n ; ≠ ; du m ; + ; 1 sont additionnés. Par conséquent, using l'équation fonctionnelle de la fonction exponentielle ,

$\} x \ searrow0 \ frac de lim_ {{e^ {- 1/x}} {x^m} \ le (m+1) ! \ lim_ {x \ searrow0} x=0.$

Nous prouvons maintenant la formule pour le dérivé du n ^th du f par l'induction mathématique . Using la règle à chaînes , la règle réciproque , et le fait, que le dérivé de la fonction exponentielle est encore la fonction exponentielle, nous voyons que la formule est correcte pour la première dérivée du f pour tout le du X ; > ; 0 et ce p ₁ ( X ) est un polynôme du degré 0. Naturellement, le dérivé du f est zéro pour le du X ; < ; 0. Il reste pour montrer à cela le dérivé de côté droit du f au du X ; = ; 0 est zéro. Using la limite ci-dessus, nous voyons cela

$f'(0) = \} x \ searrow0 \ frac de lim_ {{f (x) - f (0)}{x-0} = \} x \ searrow0 \ frac de lim_ {{e^ {- 1/x}} {x} =0.$

L'étape d'induction du du n au n ; + ; 1 est semblable. Pour le du X ; > ; 0 que nous obtenons pour le ${aligner} le f^ {(n+1)} (x) &= \ biggl (\ frac {p'_ n (x)} {x^ {2n}} - 2n \ frac {p_n (x)} {x^ {2n+1}} + \ frac {p_n (x)} {} de x^ {2n+2} \ biggr) f (x) \ \ &= \ frac {x^2p'_ n (x) - p_n (2nx-1) (x)} {x^ {2n+2}} f (x) \ \ &= \ frac {p_ {n+1} (x)} {x^ {2 (n+1)}} f (x), \ extrémité {aligner}$

là où le n +1 ( X ) de _{du p est un polynôme de du n de degré ; = (n ; + ; 1) ; &minus ; ; 1. Naturellement, ( de n ; + ; le dérivé 1)^st du f est zéro pour le du X ; < ; 0. Pour le dérivé de côté droit du ^{du f ; ( n )} au du X ; = ; 0 que nous obtenons avec la limite ci-dessus}

$\} x \ searrow0 \ frac de lim_ {{f^ {(n)} (x) - f^ {(n)} (0)}{x-0} = \ lim_ {x \ searrow0} \ frac {p_n (x)} {} de x^ {2n+1} \, e^ {- 1/x} = 0.$

La fonction n'est pas analytique

Comme vu plus tôt, le f de fonction est lisse, et tous ses dérivés à l'origine sont 0. Par conséquent, la série de Taylor de f à l'origine converge partout à la fonction du zéro, $de \ ^ du sum_ {n=0} \ infty \ frac {f^ {(n)} (0)}{n !}^ de x^n= \ sum_ {n=0} \ infty \ frac {0} {n !}x^n = 0, \ qquad X \ dans \ mathbb {R},$

et ainsi la série de Taylor n'égale pas le f ( X ) pour le du X ; > ; 0. En conséquence, le f n'est pas le analytique à l'origine. Cette pathologie ne peut pas se produire avec des fonctions différentiables de d'une variable complexe plutôt que d'une vraie variable. En effet, toutes les fonctions holoèdres de sont analytiques, de sorte que le manque du f d'être analytique malgré son être infiniment différentiable soit une indication d'une des différences les plus dramatiques entre l'analyse vrai-variable et complexe-variable.

Noter cela bien que le f de fonction ait des dérivés de tous les ordres au-dessus de la vraie ligne, la suite analytique du f du positif du X de half-line ; > ; 0 au plan complexe , c., la fonction de

$\ mathbb {C} \ setminus \ {0 \} \ Ni z \ mapsto \ exp (- 1/z) \ dans \ mathbb {C},$

a une singularité essentielle à l'origine, et par conséquent n'est pas même continu, beaucoup moins analytique. Par le grand théorème de Picard de , elle atteint chaque valeur complexe (excepté zéro) infiniment souvent dans chaque voisinage d'origine.

Utilisations

Pour chaque du r de rayon ; > ; 0,

de  \ ^n du mathbb {R} \ Ni X \ mapsto \ Psi_r (x)=f (r^2- \|X \|^2)

avec la norme euclidienne || X || définit une fonction douce sur le n - l'espace euclidien dimensionnel avec l'appui dans la boule du r de rayon.

Une des applications les plus importantes des fonctions douces avec l'appui de contrat de est la construction du soi-disant Mollifiers qui sont importants dans les théories des fonctions généralisées comme par exemple le théorie de s de Schwartz Laurent 'des distributions

L'existence des fonctions douces mais non-analytiques représente une des différences principales entre la géométrie différentielle et la géométrie analytique . En termes de théorie de gerbe de , cette différence peut être énoncée comme suit : la gerbe de fonctions différentiables sur une tubulure différentiable est le fin, contrairement au cas analytique.

Les fonctions ci-dessus sont généralement employées pour accumuler des cloisons de de l'unité sur les tubulures différentiables.

Voir également

Fonction de bosse de

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