axe Semi-principal

Dans la géométrie , l'axe semi-principal (aussi axe de limite de semimajor de ) est employé pour décrire les dimensions des ellipses et des hyperboles.

Ellipse

L'axe principal d'une ellipse est son plus long diamètre, une ligne qui fonctionne par le centre et les deux foyers , ses extrémités étant aux points les plus larges de la forme. L'axe semi-principal est la moitié de l'axe principal, et fonctionne ainsi du centre, par un foyer , et au bord de l'ellipse. Pour le cas spécial d'un cercle, l'axe semi-principal est juste le rayon.

Le $des axes semi-principaux \ !$ est lié au $b Semi-mineur de l'axe \, \ !$ par le $e de l'excentricité \, \ !$ et le $\ aune du rectum de Semi-latus de \, \ !$ , comme suit :

$\ ell=a (1-e^2) \, \ !$ . $a de \ ell=b^2 \, \ !$ .

Une parabole peut être obtenue comme limite d'un ordre des ellipses où un foyer est maintenu fixe pendant que l'autre est permis de déplacer arbitrairement lointain dans une direction, gardant le $\ aune \, \ !$ a fixé. Ainsi $a \, \ !$ et $b \, \ !$ tendent à l'infini, $a \, \ !$ plus rapidement que le $b \, \ !$ .

L'axe semi-principal est la valeur moyenne des plus petites et plus grandes distances d'un foyer aux points sur l'ellipse. Considérer maintenant l'équation dans les coordonnées polaires , avec un foyer à l'origine et l'autre sur le positif X - axe, =l de $r de (1-e \ cos \ thêta) \, \ !$ . Moyen valeur de $r= {\ aune \ plus de {1+e}} \, \ !$ et $r= {\ aune \ plus de {1-e}} \, \ !$ , est $a= {\ aune \ plus de {1-e^2}} \, \ !$ .

Hyperbole

L'axe semi-principal de d'une hyperbole de est la moitié de la distance entre les deux branches ; si c'est par dans la x-direction l'équation est :

- de $\ frac {\ (x-h \ droit) ^2 laissé} {a^2} \ frac {\ (y-k \ droit) ^2 laissé} {b^2} = 1$

En termes de rectum de semi-latus et excentricité nous avons

$a= {\ aune \ au-dessus d'e^2-1}$

L'axe transversal d'une hyperbole fonctionne dans la même direction que l'axe Semi-principal.

Astronomie

Période orbitale

Dans l'Astrodynamics le $T de la période orbitale \,$ d'un petit corps satellisant un organisme central dans une orbite circulaire ou elliptique est : $T de = 2 \ pi \ racine carrée {a^3/\ MU}$

là où : le $a de \,$ est la longueur du $semi-principal l'axe de l'orbite \ mu$ est le paramètre de la gravité standard de

Noter que pour toutes les ellipses avec un axe semi-principal indiqué, la période orbitale est la même, indépendamment de l'excentricité.

Dans l'astronomie , l'axe semi-principal est l'un des éléments orbitaux du le plus important d'une orbite , avec sa période orbitale . Pour des objets du système solaire , l'axe semi-principal est lié à la période de l'orbite par loi de Kepler de la troisième (à l'origine empiriquement dérivé),

$T^2=a^3 de \,$

là où le T est la période en années, et le qu'un est l'axe de semimajor dans le astronomique cette forme des unités s'avère être une simplification de la forme générale pour le problème de Deux-corps de , comme déterminé par le Newton :

$T^2= \ frac {4 \ pi^2} {G (M+m)} a^3 \,$

là où le G est la constante de la gravité , et le M est la masse de l'organisme central, et le m est la masse du corps orbital. Typiquement, la masse de l'organisme central est tellement plus grande que le corps orbital, que le m peut être ignoré. La fabrication de cette prétention et l'utilisation des unités d'astronomie typiques a comme conséquence la forme plus simple Kepler découvert.

Remarquablement, le chemin du corps orbital autour du Barycentre et son chemin relativement à son primaire sont les deux ellipses. L'axe semi-principal utilisé dans l'astronomie est toujours la distance primaire-à-secondaire ; ainsi, les paramètres orbitaux des planètes sont donnés en termes héliocentriques. La différence entre le primocentric et le " ; absolute" ; des orbites peuvent mieux être illustrées en regardant le système de Terre-Lune. Le rapport de masse est dans ce cas-ci 81. La distance caractéristique de Terre-Lune, l'axe semi-principal de l'orbite lunaire géocentrique du , est de 384. L'orbite lunaire barycentrique du , d'une part, a un axe semi-principal de 379.700 kilomètres, la compteur-orbite de la terre prenant la différence, 4. La vitesse orbitale barycentrique moyenne de la lune est 1.010 km/s, tandis que la terre est 0. Le total de ces vitesses donne la vitesse orbitale moyenne lunaire géocentrique, 1.022 km/s ; la même valeur peut être obtenue en considérant juste la valeur semi-principale géocentrique d'axe.

Distance moyenne

On lui dit souvent que l'axe semi-principal est le " ; average" ; distance entre le corps primaire (le centre de l'ellipse) et orbital. Ce n'est pas tout à fait précis, car il dépend au-dessus de ce que la moyenne est prise.
le

faisant la moyenne de la distance au-dessus de l'anomalie excentrique (q.) de a en effet comme conséquence l'axe semi-principal.
faisant la moyenne au-dessus de vrai anomalie (le véritable angle orbital, mesuré au foyer) résultat, curieusement assez, dans Semi-mineur axe $b = a \ racine carré {1-e^2} \, \ !$ .
établissement d'une moyenne au-dessus de l'anomalie de moyen de (la fraction de la période orbitale qui s'est écoulée depuis le pericentre, exprimé comme un angle), en conclusion, donne le temps-moyen (qui est ce qui " ; average" ; habituellement moyens au laïque) : $a (1 + \) de frac {e^2} {2} \, \ !$ .

Moyen rayon de ellipse, mesuré en ce qui concerne son géométrique centre, est $carré {ab} = a \ racine carré {1-e^2} \, \ !$ .

Temps-moyen de inverse de rayon, $r^ {- 1} \, \ !$ , est $a^ {- 1} \, \ !$ .

Énergie ; calcul d'axe semi-principal des vecteurs d'état

Dans le $a semi-principal de l'axe de l'Astrodynamics \,$ peut être calculé à partir des vecteurs d'état orbitaux :

$a = {- \ MU \ plus de {2 \ epsilon}} \,$ pour elliptique orbite et $a = {\ MU \ plus de {2 \ epsilon}} \,$ pour une trajectoire hyperbolique

$\ epsilon = {v^2 \ plus de {2}} - {\ MU \ au-dessus de \ est parti | \ mathbf {r} \ droit |}$ (énergie orbitale spécifique )

$\ MU = GM \,$ (paramètre de la gravité standard ),

là où :
le $v \,$ est vitesse orbitale du vecteur de vitesse de d'un objet orbital,
$\ mathbf {} de r \,$ est le vecteur de position cartésien de du d'un objet orbital dans les coordonnées d'une armature de référence en ce qui concerne laquelle les éléments de l'orbite doivent être calculés (par exemple l'écliptique équatoriale pour une orbite autour de la terre et ou héliocentrique géocentrique pour une orbite autour du Sun),
Le $G \,$ est la constante de la gravité ,
$M \,$ la masse de l'organisme central.

Noter que pour un organisme central donné et une énergie spécifique totale, l'axe semi-principal est toujours le même, indépendamment de l'excentricité. Réciproquement, pour un organisme central donné et un axe semi-principal, toute l'énergie spécifique est toujours la même.

Exemple

La Station Spatiale Internationale a une période orbitale de 91.74 minutes, par conséquent l'axe semi-principal est de 6738 kilomètres. Correspond chaque minute davantage au CA 50 kilomètres de plus : les frais supplémentaires que 300 kilomètres de longueur d'orbite prennent 40 secondes, la vitesse inférieure expliquent des 20 secondes additionnelles.

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