Wronskian

Dans les mathématiques , le Wronskian est une fonction appelée après que le Józef Hoene-Wroński de mathématicien du polonais . Il est particulièrement important dans l'étude des équations .

Donné un ensemble de f₁ de fonctions du n ,…, le f_n , le W (f₁,…, f_n) de Wronskian est donné par :

$W (f_1, \ ldots, f_n) = \ commencer {le vmatrix} f_1 et f_2 et \ cdots et \ de f_n \ f_1 et f_2 et \ cdots et \ de f_n \ \ vdots et \ vdots et \ ddots et \ \ de vdots \ f_1^ {(n-1)} et f_2^ {(n-1)} et \ cdots et f_n^ {(n-1)} \ extrémité {vmatrix}$

C'est-à-dire, c'est le déterminant de la matrice construite en plaçant les fonctions dans la première rangée, la première dérivée de chaque fonction dans la deuxième rangée, et ainsi de suite par le dérivé du n-1 , de ce fait formant une matrice carrée parfois appelée un la matrice fondamentale .

Dans des équations linéaires, le Wronskian peut être calculé plus facilement par l'identité d'Abel de .

Le Wronskian et l'indépendance linéaire

Le Wronskian peut être employé pour déterminer si un ensemble de fonctions différentiables du est le linéairement indépendant sur un intervalle indiqué :
Si le Wronskian est différent de zéro à un certain point dans un intervalle, alors les fonctions associées sont le linéairement indépendant sur l'intervalle. C'est utile dans beaucoup de situations. Par exemple, si nous souhaitons vérifier que deux solutions d'une équation de second ordre sont indépendantes, nous pouvons employer le Wronskian. Noter cela si le Wronskian est uniformément zéro pendant l'intervalle, des fonctions les mai ou mai pour ne pas être linéairement indépendant. Une idée fausse commune est que le $W = le 0$ partout implique la dépendance linéaire ; le troisième exemple ci-dessous prouve que ce n'est pas vrai.

Exemples

considèrent les fonctions $x^2, le x de, le$ et le $1,$ définis pour le X un vrai nombre . Prendre le Wronskian :

$W = \ commencer {le vmatrix} x^2 et x et 1 \ \ 2x et 1 et 0 \ \ 2 et 0 et 0 \ extrémité {vmatrix}$

-2.

nous voyons que $W$ n'est pas uniformément zéro, ainsi ces fonctions doivent être linéairement indépendant.

considèrent les fonctions $2x^2+3$ , $x^2$ , et $1$ . Ces fonctions sont clairement dépendantes, depuis $2x^2 + 3 = 2 (x^2) + 3 (1).$ ainsi, le Wronskian doit être zéro, qui suit d'un calcul rapide :

$W = \ commencer {le vmatrix} 2x^2 + 3 et x^2 et 1 \ \ 4x et 2x et 0 \ \ 4 et 2 et 0 \ extrémité {vmatrix}$

8x-8x 0.

comme mentionné ci-dessus, si le Wronskian est zéro, il ne fait pas moyen de en général que les fonctions impliquées sont linéairement dépendantes. Considérer les fonctions $x^3$ et le $|x^3|$ ; c'est-à-dire, la valeur absolue de $x^3$ . La deuxième fonction peut être écrite comme :

$|x^3| = \ laissé \ { \ commencer {la matrice} - x^3, et \ mathrm {si} \ ; X < 0 \ \ x^3, et \ mathrm {si} \ ; X \ geq 0 \ extrémité {matrice} \ droit.$ le

un de peut vérifier que ces deux fonctions sont indépendant linéaire au-dessus de l'ensemble de vrais nombres ; cependant, leur Wronskian est vu pour être zéro :

$W = \ laissé \ { \ commencer {la matrice} \ commencer {le vmatrix} x^3 et - x^3 \ \ 3x^2 et -3x^2 \ extrémité {vmatrix}$

-3x^5 + 3x^5 0, et \ mathrm {si} \ ; X < 0 \ \

\ commence {le vmatrix} x^3 et x^3 \ \ 3x^2 et 3x^2 \ extrémité {vmatrix}

3x^5 - 3x^5 0, et \ mathrm {si} \ ; X \ geq 0

\ extrémité {matrice} \ droit.

Définition abstraite

Il y a un sens dans lequel le Wronskian d'un n - équation linéaire d'ordre de Th est son n - la puissance extérieure de Th. Pour que cette idée soit mise en application une doit travailler avec une certaine formulation dans laquelle les équations sont suffisamment comme les espaces de vecteur : par exemple dans la langue du le vecteur empaquette portant un raccordement .

Preuve : Wronskian et indépendance linéaire

Supposer que les fonctions sont linéairement dépendantes pendant l'intervalle. Alors les colonnes de la matrice associée de Wronskian sont également linéairement personne à charge, parce que la différentiation est une opération linéaire . En conséquence, la cause déterminante de Wronskian est zéro à tous les points de l'intervalle. Elle suit que si la cause déterminante de Wronskian est différente de zéro à un certain point, les fonctions sont linéairement indépendant.

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