Vraie ligne

Dans les mathématiques , la vraie ligne est simplement le R d'ensemble des vrais nombres Cependant, ce terme est habituellement employé quand le R doit être traité comme espace de d'une certaine sorte, telle qu'un espace topologique ou un espace de vecteur . La vraie ligne a été étudiée au moins depuis les jours des grecs anciens, mais elle n'a pas été rigoureusement définie jusqu'en 1872. Avant et depuis cette date, c'a été un exemple prolifique qui a joué un rôle significatif dans beaucoup de branches des mathématiques.

La vraie ligne porte une topologie standard qui peut être présentée dans deux différents, manières équivalentes. D'abord, puisque les vrais nombres sont le totalement commandé, ils portent une topologie d'ordre de . En second lieu, les vrais nombres peuvent être transformés en espace métrique en employant le métrique donné par la valeur absolue : $d (x, y) : = |y - x|$ . Ce métrique induit une topologie sur le R équivalent à la topologie d'ordre.

Comme espace topologique, la vraie ligne est une tubulure topologique de la dimension . C'est Paracompact et deuxième-comptable aussi bien que le Contractible et le localement compact. Il a également une structure différentiable standard là-dessus, lui faisant un la tubulure différentiable . (Jusqu'au Diffeomorphism , là est seulement une structure différentiable que l'espace topologique soutient.) En effet, le R était historiquement le premier exemple à étudier de chacune de ces structures mathématiques, de sorte qu'il serve d'inspiration à ces branches des mathématiques modernes. (En effet, plusieurs des limites ci-dessus ne peuvent pas même être définies jusqu'à ce que le R soit déjà in place.)

Comme espace de vecteur, la vraie ligne est un espace de vecteur au-dessus du R du champ de vrais nombres (c'est-à-dire, au-dessus de lui-même) de la dimension . Elle a un produit intérieur standard, lui faisant un l'espace euclidien . (Le produit intérieur est la multiplication simplement ordinaire de vrais nombres.) Car un espace de vecteur, il n'est pas très intéressant, et ainsi lui était en fait l'espace euclidien à deux dimensions qui a été étudié la première fois comme espace de vecteur. Cependant, nous pouvons encore dire que le R a inspiré le champ de l'algèbre linéaire , puisque les espaces de vecteur ont été étudiés la première fois au-dessus du R .

Le R est également un exemple premier d'un anneau , même un champ de . C'est en fait un vrai champ complet , et était le premier un tel champ à étudier, de sorte qu'il ait inspiré cette branche de l'algèbre d'abrégé sur aussi bien. Cependant, dans de tels contextes purement algébriques, le R s'appelle rarement un " ; line" ;.

Pour plus d'information sur le R en tout de ses apparences, voir le vrai nombre .

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