Vrai avion projectif
Construction
Considérer une sphère , et laisser les grands cercles de la sphère être " ; lines" ; , et laisser les paires de points antipodaux de que soit " ; points" ;. Il est facile de vérifier qu'il obéit les axiomes exigés d'un avion projectif :
toutes paires de rassemblement distinct de grands cercles à une paire de points antipodaux ;
et deux paires distinctes quelconques de mensonge antipodal de points sur un grand cercle simple.
C'est le vrai avion projectif .
Si nous identifions chaque point sur la sphère avec son point antipodal, alors nous obtenons une représentation du vrai avion projectif en lequel le " ; points" ; de l'avion projectif sont vraiment les points.
Il est peu une difficile de visualiser la surface en résultant, une tubulure non-orientable de du à deux dimensions du contrat , parce qu'elle ne peut pas être enfoncée dans l'espace euclidien à trois dimensions sans s'intersecter.
La carte de quotient de la sphère sur le vrai avion projectif est en fait la carte de bâche de d'a (deux-à-un). Elle suit que le groupe fondamental du vrai avion projectif est le groupe cyclique d'ordre 2, c. On peut prendre le de boucle ab de la figure ci-dessus pour être le générateur.
Immerger le vrai avion projectif dans le trois-espace
L'avion projectif ne peut pas être incorporé par (qu'est à dire sans intersection) dans l'espace tridimensionnel. Cependant, ce peut être immergé par (les voisinages locaux n'ont pas des individu-intersections). La surface du garçon de est un exemple d'une immersion.
La surface romaine est une carte plus dégénérée de l'avion projectif dans l'espace 3, contenant un Croix-chapeau . Il en va de même pour une sphère avec un Croix-chapeau .
La preuve que l'avion projectif n'inclut pas dans l'espace euclidien tridimensionnel va comme ceci : Si elle enfonçait, elle bondirait une région compacte dans l'espace euclidien tridimensionnel par le théorème de courbe de la Jordanie généralisé par . Le champ de vecteur normal de extérieur-pointage d'unité donnerait alors une orientation de la tubulure de frontière, mais la tubulure de frontière serait l'espace projectif , qui n'est pas orientable.
Une représentation polyèdre du est le Tetrahemihexahedron .
Regardant dans la direction opposée, le hemi-cube en , le Hemi-dodecahedron , et le Hemi-icosahedron , les polytopes réguliers abstraits de peuvent être construits comme figure régulière dans l'avion projectif de .
Coordonnées homogènes
L'ensemble de lignes dans l'avion peut être représenté using les coordonnées homogènes . Une ligne hache de + par + c =0 peut être représentée comme ( un : b : c ). Ces coordonnées ont la relation d'équivalence ( un : b : c ) = ( DA : DB de : C.C de ) pour toutes les valeurs nulles non du d . Par conséquent une représentation différente de la même ligne dax de + dby + C.C =0 de a les mêmes coordonnées. L'ensemble de coordonnées ( un : b : 1) donne au habituel le vrai avion , et à l'ensemble de coordonnées ( un : b : 0) définit une ligne de à l'infini .
Encastrement dans l'espace 4 dimensionnel
L'avion projectif enfonce dans l'espace 4 euclidien dimensionnel. Using des coordonnées homogènes, l'avion projectif correspond au tels que sujet au . Un encastrement dans est donné par le . Noter que ceci qui enfonce admet une projection dans qui est la surface romaine .
Un genre plus élevé
L'article sur le polygone fondamental prévoit une description des vrais plans projectifs d'un genre plus élevé .
Voir également
L'espace projectif Inégalité d'unités centrales de pour le vrai avion projectif
.
| Random links: | Lee Lawrie | Tamaraw | Disques désespérés | Mongoliensis d'Andrewsarchus | Radio de câble | Plano_descriptivo_verdadero |