Vie moyenne

Donné un ensemble des éléments, le nombre dont les diminutions finalement à zéro, la vie (également appelé la vie de moyen de ) est un certain nombre qui caractérise le taux de réduction (" ; decay" ;) de l'assemblée. Spécifiquement, si la vie individuelle de d'un élément de l'assemblée est le temps s'est écoulé entre un certain moment de référence et le déplacement de cet élément de l'assemblée, la vie moyenne est la moyenne arithmétique des différentes vies.

Typiquement, la notion de la vie moyenne est employée en liaison avec l'affaiblissement exponentiel . Le reste de cet article se confine à ce modèle particulier d'affaiblissement.

Vie moyenne dans l'affaiblissement exponentiel

Le &tau moyen de de vie ; des éléments dans une décomposition exponentiellement est égal au réciproque de la constante d'affaiblissement (cf. affaiblissement exponentiel). Ainsi, c'est le moment nécessaire pour que l'assemblée soit réduite par un facteur du e de . On le lie au $t\_\; de\; lademi\; vie\{1/2\}$ près $de$

\ tau \ cdot \ ln 2 = t_ {1/2}. \,

Ainsi la vie moyenne est 44% plus long que la demi vie, par exemple le polonium -210 de a une demi vie de 138 jours, et une vie moyenne de 200 jours.

Dérivation

Dans l'affaiblissement exponentiel, la population est régie par la formule suivante :

$N\; =\; N\_0\; e^\; \{\}\; -\; \backslash \; lambda\; t\; \backslash ,$

là où le t est le temps, le N est le nombre d'éléments dans l'assemblée à ce moment-là, $N\_0$ est la population à la référence initiale $t=0$, et le $\backslash \; lambda$ est un paramètre caractéristique de l'affaiblissement appelé la constante d'affaiblissement . Le $moyende\; vie\; \backslash \; tau$ est la valeur prévue du nombre de heures avant qu'un objet instable subisse un affaiblissement. D'abord, nous avons laissé le c être le facteur de normalisation à convertir en espace de probabilité .

$1\; =\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\; \backslash \; cdot\; N\_0\; e^\; \{\}\; -\; \backslash \; lambda\; t\; \backslash ,décollement=\; c\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{N\_0\}\; \{\backslash \; lambda\}$ = de $c\; de$

\ frac {\ lambda} {N_0}.

Nous voyons que l'affaiblissement exponentiel est un multiple scalaire de la distribution exponentielle , qui a une valeur prévue bien connue . Nous pouvons la calculer ici using l'intégration de par les pièces .

$\backslash \; tau\; =\; \backslash \; langle\; t\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; \backslash \; cdot\; c\; \backslash \; cdot\; N\_0\; e^\; \{-\; \backslash lambdat\}\; \backslash ,\; décollement\; =\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; lambda\; t\; e^\; \{\}\; -\; \backslash \; lambda\; t\; \backslash ,\; décollement\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; lambda\}.$

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