Vecteur de Darboux

Dans la géométrie différentielle , particulièrement la théorie de courbes d'espace, le vecteur de Darboux de est le vecteur régional de la vitesse de l'armature de Frenet de d'une courbe d'espace. Elle est baptisée du nom du Gaston Darboux qui l'a découverte. Ce s'appelle également le le vecteur de moment angulaire, parce qu'il est directement proportionnel au moment angulaire .

En termes d'appareillage de Frenet-Serret, le &omega de de vecteur de Darboux ; peut être exprimé comme

$\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; =\; \backslash \; tau\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; +\; \backslash \; kappa\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; B\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (1)$ et il a les propriétés symétriques du suivant : $de\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; =\; du\; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\text{'}\},$ $de$

\ boldsymbol {\ Omega} \ périodes \ = du mathbf {N} \ mathbf {N'}, $de$

\ boldsymbol {\ Omega} \ périodes \ = du mathbf {B} \ mathbf {B'}, ce qui peut être dérivé de l'équation (1) au moyen du théorème de Frenet-Serret de (ou vice versa).

Laisser un objet rigide se déplacer le long d'une courbe régulière décrite paramétriquement par &beta de ; ( t ). Cet objet a son propre système du même rang intrinsèque. Comme l'objet se déplace le long de la courbe, laisser son système du même rang intrinsèque se maintenir aligné avec l'armature de Frenet de la courbe. Comme le fait cela il, le mouvement de l'objet sera décrit par deux vecteurs : un vecteur de traduction, et un &omega de de vecteur de rotation ; , qui est un vecteur régional de vitesse : le vecteur de Darboux.

Noter que cette rotation est le cinématique, plutôt que l'examen médical, parce qu'habituellement quand les mouvements rigides d'un objet librement dans l'espace sa rotation est indépendant de sa traduction. L'exception serait si la rotation de l'objet est physiquement contrainte pour s'aligner avec la traduction de l'objet, comme c'est le cas (par exemple) avec le chariot des montagnes russes .

Considérer l'objet rigide se déplaçant sans à-coup le long de la courbe régulière. Une fois que la traduction est " ; out" factorisé ; , l'objet est vu pour tourner la même manière que son armature de Frenet. Toute la rotation de l'armature de Frenet est la combinaison des rotations de chacun des trois vecteurs de Frenet : $\backslash \; boldsymbol\; de\; \{\backslash \; Omega\}\; =\; \backslash \; \_\; de\; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; +\; \backslash \; \_\; de\; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; +\; \backslash \; \_\; de\; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}.$

Chaque vecteur de Frenet se déplace au sujet d'un " ; origin" ; ce qui est le centre de l'objet rigide (sélectionner un certain point dans l'objet et l'appeler son centre). La vitesse régionale du vecteur de tangente est : $de\; \backslash \; =\; de\; \_\; \backslash \; mathbf\; de\; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \{T\}\; \backslash \; lim\_\; \{\backslash \; delta\; t\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; mathbf\; \{T\}\; (t)\; \backslash \; périodes\; \backslash ,\; de\; mathbf\; \{T\}\; (t\; +\; \backslash \; delta\; t)\; \backslash \; plus\; de\; 2\; \backslash \; \backslash \; delta\; t\}$ $de$

de
= {\ mathbf {T} (t) \ périodes \ mathbf {T'} (t) \ plus de 2}.

De même, $de\; \backslash \; \_\; de\; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; (t)\; \backslash \; périodes\; \backslash \; mathbf\; \{N\text{'}\}\; (t),$ $de$

\ _ de boldsymbol {\ Omega} \ mathbf {B} = {1 \ plus de 2} \ \ mathbf {B} (t) \ périodes \ mathbf {B'} (t).

Appliquer maintenant le théorème de Frenet-Serret pour trouver les composants régionaux de vitesse :

$\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \_\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; période\; \backslash \; mathbf\; \{T\text{'}\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; kappa\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; période\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; kappa\; \backslash \; mathbf\; \{B\}$

$\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \_\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; mathbf\; \{N\text{'}\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; (-\; \backslash \; kappa\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; +\; du\; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; tau\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; (\backslash \; +\; de\; kappa\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; tau\; \backslash \; mathbf\; \{T\})$

$\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; \_\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; période\; \backslash \; mathbf\; \{B\text{'}\}\; =\; -\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; tau\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; période\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; tau\; \backslash \; mathbf\; \{T\}$ de sorte que

$\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; Omega\}\; =\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; kappa\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; (\backslash \; +\; de\; kappa\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; tau\; \backslash \; mathbf\; \{T\})\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; =\; de\; tau\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; \backslash \; +\; de\; kappa\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; tau\; \backslash \; mathbf\; \{T\},$ comme réclamé.

Le vecteur de Darboux fournit une manière concise d'interpréter le &kappa de de la courbure ; et &tau de de la torsion ; géométriquement : la courbure est la mesure de la rotation de l'armature de Frenet au sujet du vecteur d'unité binormal, tandis que la torsion est la mesure de la rotation de l'armature de Frenet au sujet du vecteur d'unité de tangente.

Random links:

Collines de Marshfield, le Massachusetts | Ministre des affaires étrangères | Rebecca Herbst | Ressource All-Star des sports de Disney | les années 1900 dans les jeux | Vector_de_Darboux

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org