Vecteur d\'unité

Dans les mathématiques , un vecteur d'unité de dans un espace de vecteur de Normed est un vecteur (souvent un vecteur spatial de ) dont la longueur, (ou la grandeur) est 1 (l'unité de longueur). Un vecteur d'unité est souvent écrit avec un signe d'omission ou un « chapeau » superscribed, comme ce $\{\backslash \; chapeau\; \{\backslash \; imath\}\}$ (" prononcé ; i-hat" ;).

Dans l'espace euclidien , le produit scalaire des vecteurs à deux unités est simplement le cosinus de l'angle entre eux. Ceci suit de la formule pour le produit scalaire, puisque les longueurs sont les deux 1.

Le vecteur normalisé par ou le $du\; versor\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{u\}\}$ d'un $de\; vecteur\; \backslash \; d\text{'}boldsymbol\; différents\; de\; zéro\; \{u\}$ est le vecteur d'unité codirectional avec le $\backslash \; boldsymbol\; \{u\}$, c., = de $\backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau {u}} \ frac {\ boldsymbol {u}} {\|\ boldsymbol {} d'u \|}.

là où $\backslash |\backslash \; boldsymbol\; \{\}\; d\text{'}u\; \backslash |$ est la norme (ou longueur) du $\backslash \; du\; boldsymbol\; \{u\}$. Le vecteur normalisé par de limite est parfois employé comme synonyme pour le vecteur d'unité de .

Preuve ; $1\; =\; \backslash |\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \}\; de\; chapeau\; \{u\}\; \backslash |$ devrait être vrai. $de\; \backslash \; boldsymbol\; \{u\}\; =\; (a,\; b)$ = de $\backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau {u}} \ frac {(a, b)} {\|(a, b) \|} = \ (\ frac {a} {\ racine carrée {a^2+b^2}}, laissé \ frac {b} {\ racine carrée {a^2+b^2}} \) droit

$\backslash |\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \}\; de\; chapeau\; \{u\}\; \backslash |\; =\; \backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{a^2+b^2\}\}\; \backslash )\; ^2\; =\; droit\; =\; ^2\}\; \backslash \; racine\; carrée\; +\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{b\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{a^2+b^2\}\}\; \backslash \; droit)\; \{\backslash \; frac\; \{a^2+b^2\}\; \{a^2+b^2\}\}\; \backslash \; racine\; carrée\; \{1\}\; =\; 1$

Les éléments d'une base sont habituellement choisis pour être des vecteurs d'unité. Chaque vecteur dans l'espace peut être écrit comme combinaison linéaire des vecteurs d'unité. Les bases le plus généralement produites sont le cartésien, le polaire, et les coordonnées sphériques du . Chacun emploie différents vecteurs d'unité selon la symétrie du système du même rang. Puisque ces systèmes sont produits dans tant de différents contextes, il n'est pas rare de rencontrer différentes conventions de nomination que ceux utilisés ici. Habituellement, un petit contexte devrait permettre au lecteur astucieux de substituer les noms étant employés pour ceux donnés ici.

Coordonnées cartésiennes

Au système du même rang cartésien à trois dimensions, les vecteurs d'unité codirectional avec les haches du X , du y , et du z sont souvent mentionnés comme les versors du système du même rang et du dénoté i de , du j de , et du k de , respectivement. le $\backslash \; mathbf\; de$

{\ chapeau {\ imath}} = \ commencent {bmatrix} 1 \ \ 0, \ \ 0 \ extrémité {bmatrix} \, \, \ mathbf {\ chapeau {\ jmath}} = \ commencent {bmatrix} 0 \ \ 1, \ \ 0 \ extrémité {bmatrix} \, \, \ mathbf {\ chapeau {k}} = \ commencent {bmatrix} 0 \ \ 0 \ \ 1 \ extrémité {bmatrix}

Ceux-ci sont parfois écrits using la notation normale de vecteur plutôt que la notation de chapeau/signe d'omission, et il peut généralement supposer que le $\backslash \; vec\; \{\backslash \; imath\},\; \backslash ,\; de\; vec\; \{\backslash \; jmath\}\; \backslash \; vec\; \{k\}$ sont des versors dans la plupart des contextes. Le $de\; notations\; (\backslash ,\; de\; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; \{x\}\; \backslash ,\; de\; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; \{y\}\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; \{z\})$, le $(\backslash ,\; \_1\; \backslash ,\; \_2\; \backslash \; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; \{x\}\; de\; boldsymbol\; de\; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; \{x\}\; \backslash \; chapeau\; \{x\}\; \_3)$, ou le $(\backslash ,\; \_x\; de\; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; \{e\}\; \backslash ,\; \_y\; de\; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; \{e\}\; \backslash \; \_z\; de\; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; \{e\})$ sont également employés, en particulier dans les contextes à où le i , le j , le k de de de pourrait mener confusion avec une autre quantité (par exemple avec des symboles d'index tels que i , j , k , employé pour identifier un élément d'un ensemble ou choix ou ordre des variables). Ces vecteurs représentent un exemple de la base standard .

Quand un vecteur d'unité dans l'espace est exprimé, avec la notation cartésienne , comme combinaison linéaire du i de , le j , le k de de , ses trois composants scalaires peut désigné sous le nom du " ; " des cosinus de direction de ;. La valeur de chaque composant est égale au cosinus de l'angle constitué par le vecteur d'unité avec le vecteur respectif de base. C'est l'une des méthodes employées pour décrire l'orientation (position angulaire) de d'une ligne droite, le segment de la ligne droite, l'axe orienté, ou le segment de l'axe orienté (vecteur ).

Coordonnées de cylindrique

Les vecteurs d'unité appropriés à la symétrie cylindrique sont : $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{s\}\}$ (également indiqué $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{r\}\}$ ou $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \backslash \; rho\}$), la distance de l'axe de la symétrie ; $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \backslash \; phi\}$, l'angle mesuré dans le sens contraire des aiguilles d'une montre à partir du positif X - axe ; et $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{z\}\}$. Ils sont liés au $de\; base\; \backslash \; au\; chapeau\; cartésiens\; \{x\},\; \backslash ,\; du\; chapeau\; \{y\}\; \backslash \; chapeau\; \{z\}$ par : $\backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau {s}} = $\backslash \; cos\; \backslash \; +\; de\; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{x\}\}\; \backslash \; péché\; \backslash \; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{y\}\}$ $\backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau \ phi} + de = de $-\; \backslash \; péché\; \backslash \; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{x\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{y\}\}$ = de $\backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau {z}} \ boldsymbol {\ chapeau {z}}

Il est important de noter que le $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{s\}\}$ et $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \backslash \; phi\}$ sont des fonctions du $\backslash \; phi$, et sont le pas constant dans la direction. En différenciant ou en intégrant dans des coordonnées de cylindrique, ces vecteurs d'unité eux-mêmes doivent également être opérés. Pour une description plus complète, voir le Jacobian . Les dérivés en ce qui concerne le $\backslash \; phi$ sont : $\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau {s}}} {\ partiel \ phi} = - \ + de péché \ phi \ boldsymbol {\ chapeau {x}} \ cos \ = de phi \ boldsymbol {\ chapeau {y}} \ boldsymbol {\ chapeau \ phi}

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \backslash \; phi\}\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; phi\}\; =\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; -\; de\; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{x\}\}\; \backslash \; péché\; \backslash \; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{y\}\}\; =\; -\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{s\}\}$ $\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau {z}}} {\ partiel \ phi} = 0

Coordonnées sphériques

Les vecteurs d'unité appropriés à la symétrie sphérique sont : $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{r\}\}$, la distance radiale de l'origine ; $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{\backslash \; phi\}\}$, l'angle dans le X - avion du y dans le sens contraire des aiguilles d'une montre du positif X - axe ; et $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \backslash \; thêta\}$, l'angle de l'axe positif du z . Pour réduire au minimum la dégénérescence, l'angle polaire est habituellement pris $0\; \backslash \; leq\; \backslash thêta\backslash \; leq\; 180^\; \backslash \; circ$. Il est particulièrement important de noter le contexte de n'importe quel triplet commandé écrit dans des coordonnées sphériques, car les rôles du $\backslash \; du\; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \backslash \; phi\}$ et le $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \backslash \; thêta\}$ sont souvent renversés. Ici, la convention de nomination américaine est employée. Ceci part du $azimutal\; d\text{'}angle\; \backslash \; phi$ a défini les mêmes que dans des coordonnées de cylindrique. Les relations cartésiennes du sont : = de $\backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau {r}} \ péché \ thêta \ cos \ + de phi \ boldsymbol {\ chapeau {x}} \ + de péché \ thêta \ péché \ phi \ boldsymbol {\ chapeau {y}} \ cos \ thêta \ boldsymbol {\ chapeau {z}} = de $\backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau \ thêta} \ cos \ thêta \ cos \ + de phi \ boldsymbol {\ chapeau {x}} \ cos \ - de thêta \ péché \ phi \ boldsymbol {\ chapeau {y}} \ péché \ thêta \ boldsymbol {\ chapeau {z}} $\backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau \ phi} = - \ + de péché \ phi \ boldsymbol {\ chapeau {x}} \ cos \ phi \ boldsymbol {\ chapeau {y}}

Les vecteurs d'unité sphériques dépendent du $\backslash \; phi$ et du $\backslash \; theta$, et par conséquent il y a 5 dérivés différents de zéro possibles. Pour une description plus complète, voir le Jacobian . Les dérivés différents de zéro sont : $\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; boldsymbol\; de$

{\ chapeau {r}}} {\ partiel \ phi} = - \ + de péché \ thêta \ péché \ phi \ boldsymbol {\ chapeau {x}} \ péché \ thêta \ cos \ = de phi \ boldsymbol {\ chapeau {y}} \ péché \ thêta \ boldsymbol {\ chapeau \ phi} de
$\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; boldsymbol\; de$

= {\ chapeau {r}}} {\ partiel \ thêta} \ cos \ thêta \ cos \ + de phi \ boldsymbol {\ chapeau {x}} \ cos \ - de thêta \ péché \ phi \ boldsymbol {\ chapeau {y}} \ = de péché \ thêta \ boldsymbol {\ chapeau {z}} \ boldsymbol {\ chapeau \ thêta} de
$\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; boldsymbol\; de$

= {\ chapeau {\ thêta}}} {\ partiel \ phi} \ cos \ + de thêta \ péché \ phi \ boldsymbol {\ chapeau {x}} \ cos \ thêta \ cos \ = de phi \ boldsymbol {\ chapeau {y}} \ cos \ thêta \ boldsymbol {\ chapeau \ phi}

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{\backslash \; thêta\}\}\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; =\; -\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; cos\; \backslash \; -\; de\; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{x\}\}\; \backslash \; -\; de\; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; péché\; \backslash \; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{y\}\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{z\}\}\; =\; -\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{r\}\}$

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{\backslash \; phi\}\}\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; phi\}\; =\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{x\}\}\; -\; \backslash \; péché\; \backslash \; phi\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{y\}\}\; =\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; -\; de\; thêta\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{\backslash \; thêta\}\}\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{r\}\}$

Coordonnées curvilignes

Généralement un système du même rang peut être uniquement spécifié using un certain nombre d'égale indépendante de $\backslash \; boldsymbol\; \backslash \; chapeau\; de\; vecteurs\; d\text{'}unité\; du\; linéairement\; \{e\}\; \_n$ aux degrés de liberté de l'espace. Pour l'espace de l'ordinaire 3, ces vecteurs peuvent être $\backslash \; boldsymbol\; dénotés\; \{\backslash \; chapeau\; \{e\}\; \_1\},\; \backslash ,\; de\; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{e\}\; \_2\}\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{e\}\; \_3\}$. Il est presque toujours commode de définir le système pour être orthonormal et le droitier :

$\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \}\; \_i\; de\; chapeau\; \{e\}\; \backslash \; =\; de\; cdot\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; \_j\; de\; chapeau\; \{e\}\}\; \backslash \; delta\_\; \{ij\}$

$\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \}\; de\; chapeau\; \{e\}\; \_1\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{e\}\; \_2\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; chapeau\; \{e\}\; \_3\})\; =\; 1$

là où &delta ; l'ij de de _{est le delta de Kronecker de .}

Random links:

Boonton, New Jersey | Évelyne Thomas | Yury Luzhkov | Howard R. Hughes, Sr. | Banque de Houghton | Vector_de_unidad

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