Valeur principale

En considérant le complexe les fonctions Multiple-valued dans l'analyse complexe , les principales valeurs d'une fonction sont les valeurs le long d'une branche choisie de cette fonction, ainsi c'est le single-valued.

Motivation

Considérer le le complexe z de notation de fonction du logarithme . Il est défini comme W du nombre complexe tels que $e^w\; de\; =\; z\; \backslash ,\; \backslash \; !$ Maintenant, par exemple, dire que nous souhaitons trouver la notation i. Ceci signifie que nous voulons résoudre le $e^w\; de\; =\; l\text{'}I\; \backslash ,\; \backslash \; !$ pour le W . Clairement i&pi ; /2 est une solution. Mais est-ce la seule solution ?

Naturellement, il y a d'autres solutions, qui est démontré en considérant la position d'I dans le Argand plat et ainsi son argument. Nous pouvons tourner le &pi en sens inverse des aiguilles d'une montre ; /2 radian de 1 pour atteindre I au commencement, mais si nous tournons plus loin un autre 2&pi ; nous atteignons l'again> d'I. Ainsi, nous pouvons conclure qu'I (&pi ; /2 + 2&pi ;) est le également par solution pour la notation i. Il apparaît clairement que nous pouvons ajouter n'importe quel multiple de 2&pi ; i à notre solution initiale pour obtenir toutes les valeurs pour la notation i.

Mais ceci a une conséquence qui peut être étonnante dans la comparaison des fonctions à valeurs réelles - la notation i n'a pas une valeur définie ! Pour le z de notation, nous prenons le $de\; \backslash \; notation\; \{z\}\; =\; \backslash$

du ln Cas général

Généralement si le f ( z ) est multiple-valued, principal branche de f est dénoté

$\backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; picovolte\; \backslash \; f\; (z)$ tels que pour le z dans le domaine du f , le f ( z ) est single-valued.

Principales valeurs des fonctions standard

Les fonctions élémentaires évaluées complexes peuvent être multiple évalué au-dessus de quelques domaines. La détermination de la valeur principale de certaines de ces fonctions peut être obtenue en décomposant la fonction dans la plus simple par lequel la valeur principale des fonctions simples soient franche pour obtenir.

Nous avons examiné la fonction logarithmique ci-dessus, IE., $de\; \backslash \; =\; de\; la\; notation\; \{z\}\; \backslash \; ln$

Voir également

Valeur principale de des racines carrées des nombres négatifs et complexes
Branche principale
Point de branchement

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Random links:

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