Utilisations de la trigonométrie

rigonometry la trigonométrie de de a une énorme variété d'applications. Celui mentionné explicitement dans les manuels et les cours sur la trigonométrie est ses utilisations dans des efforts pratiques tels que la navigation , de de terre examinant , le bâtiment , et semblable. Il est également employé intensivement dans un certain nombre de domaines d'universitaire, principalement les mathématiques , la Science et la technologie .

Parmi le public de configuration des non-mathématiciens et des non-scientifiques, la trigonométrie est connue principalement pour son application aux problèmes de mesure, pourtant est également employée souvent des manières qui sont bien plus subtiles, comme son endroit dans la théorie de la musique ; d'autres utilisations sont toujours plus techniques, comme dans la théorie des nombres . Les matières mathématiques des séries de Fourier De et du Fourier transforme comptent fortement sur la connaissance des fonctions trigonométriques et trouvent l'application dans un certain nombre de secteurs, y compris les statistiques .

Quelques champs auxquels la trigonométrie est appliquée

Parmi les domaines scientifiques qui se servent de la trigonométrie sont ceux-ci : acoustique , architecture , astronomie (et par conséquent navigation de de de , sur les océans, dans des avions, et dans l'espace ; à cet égard, voir la grande distance de cercle ), la biologie , la cartographie , la chimie , le génie civil , les infographies , la géophysique , la cristallographie , les sciences économiques (en particulier dans l'analyse de marchés financiers ), l'électrotechnique , l'électronique , le de terre examinant et la géodésie , beaucoup la construction mécanique , de de des sciences physiques de usinant , la formation image médicale (balayages de CAT et ultrason de ), la météorologie , la théorie , la théorie des nombres (et par conséquent la cryptographie de musique de de ), océanographie , systeme optique , pharmacologie , phonétique , théorie des probabilités , psychologie , séismologie , statistiques , et perception visuelle .

Comment ces champs agissent l'un sur l'autre avec la trigonométrie

Le fait que ces champs se servent de la trigonométrie ne signifie pas que la connaissance de la trigonométrie est nécessaire afin d'apprendre n'importe quoi au sujet de eux. Il fait le moyen de que le des choses d'un certain dans ces domaines ne peut pas être compris sans trigonométrie. Par exemple, un professeur de la musique peut peut-être ne savoir rien de mathématiques, mais saurait probablement que le Pythagore était le premier contribuant connu à la théorie mathématique de musique.

Dans le qu'un certain des champs de l'effort a énuméré au-dessus de lui est facile d'imaginer comment la trigonométrie pourrait être employée. Par exemple, dans la navigation et la terre examinant, les occasions pour l'usage de la trigonométrie sont dans au moins quelques cas assez simples qu'elles peuvent être décrit dans un manuel de trigonométrie de commencement. Dans le cas de la théorie de musique, l'application de la trigonométrie est liée au travail commencé par Pythagore, qui a observé que les bruits faits en plumant deux cordes de différentes longueurs sont harmonieux si les deux longueurs sont de petits multiples de nombre entier d'une longueur commune. La ressemblance entre la forme d'une corde vibrante et le graphique de la fonction du sinus n'est aucune seule coïncidence. En océanographie, la ressemblance entre les formes d'un certain ondule et le graphique de la fonction de sinus n'est également pas coïncident. Dans quelques autres domaines, parmi eux la climatologie , biologie de , et les sciences économiques, là sont des périodicités saisonnières. L'étude de ces derniers implique souvent la nature périodique des fonctions de sinus et de cosinus.

Série de Fourier

Beaucoup de champs se servent de la trigonométrie d'une manière plus avancée que peut être discuté dans un article simple. Souvent ceux impliquent ce qui s'appellent la série de Fourier De , après le le 18ème Joseph Fourier du 19ème du siècle de et de mathématicien français et du physicien. Les séries de Fourier Ont un choix d'applications étonnant divers dans beaucoup de domaines scientifiques, en particulier dans tous les phénomènes impliquant des périodicités saisonnières mentionnées ci-dessus, et dans le mouvement de vague, et par conséquent dans l'étude du rayonnement, de l'acoustique, de la séismologie, de la modulation des ondes radio dans l'électronique, et de la technologie de courant électrique.

Une série de Fourier Est une somme de cette forme : le $de \ commencent {matrice} \ square+ \ + _ d'underbrace {\ place \ cos \ theta+ \ place \ péché \ thêta} {1} \ underbrace {\ + de place \ cos (2 \ thêta) \ place \ péché (2 \ thêta)}2} + de _ {\ \ \ \ \ underbrace {\ + de place \ cos (3 \ thêta) \ place \ péché (3 \ thêta)}3} + de _ {\, \ \ de cdots \ \ extrémité {matrice}$

là où chacune des places ( $\ square$ ) est un différent nombre, et un ajoute infiniment beaucoup de limites. Fourier a employé ces derniers pour étudier la chaleur coulent et les diffusions (la diffusion est le processus par lequel, quand vous laissez tomber un cube en sucre de dans un gallon de l'eau, le sucre écarte graduellement par l'eau, ou des diffusions d'un polluant par l'air, ou n'importe quelle substance dissoute écarte par n'importe quel fluide).

Les séries de Fourier S'appliquent également aux sujets dont le raccordement avec le mouvement de vague est loin d'évident. Un exemple omniprésent est la compression de Digitals de par lequel les images , le audio et les données visuelles du soient comprimés dans une taille beaucoup plus petite qui rend leur transmission faisable au-dessus du pour téléphoner à , à Internet et à pour annoncer les réseaux de . Un autre exemple, mentionné ci-dessus, est la diffusion . Être notamment : la géométrie de des nombres , problèmes isopérimètres , répétition de de la réciprocité quadratique , le théorème de limite centrale , l'inégalité des marches aléatoires de Heisenberg de .

Fourier transforme

Un concept plus abstrait que la série de Fourier Est l'idée de la transformée de Fourier . Fourier transforme impliquent les intégrales plutôt que des sommes, et sont employés dans un choix pareillement divers de domaines scientifiques. Beaucoup de lois normales sont exprimées en rapportant des taux de du changement des quantités aux quantités eux-mêmes. Par exemple : Le taux de changement de population est parfois conjointement proportionnel (1) à la population actuelle et (2) à la quantité par lesquelles la population fait défaut à la capacité de charge . Ce genre de rapport s'appelle une équation . Si, fourni cette information, nous essayons d'exprimer la population en fonction du temps, nous essayons au " ; solve" ; l'équation. Fourier transforme peut être employé pour convertir quelques équations en équations algébriques pour lesquelles des méthodes de les résoudre sont connues. Fourier transforme ont beaucoup d'utilisations. Dans presque n'importe quel contexte scientifique dans lequel le spectre de mots, le harmonique, ou la résonance sont produits, Fourier transforme ou les séries de Fourier Sont voisines.

Statistiques, y compris la psychologie mathématique

Quelques psychologues ont réclamé que des quotiens intellectuels sont distribués selon la courbe en forme de cloche célébrée . Environ 40% du secteur sous la courbe est dans l'intervalle de 100 à 120 ; également, environ 40% des points de population entre 100 et 120 sur des essais de Q. Environ 9% du secteur sous la courbe est dans l'intervalle de 120 à 140 ; également, environ 9% des points de population entre 120 et 140 sur le Q. De même beaucoup d'autres choses sont distribuées selon le " ; curve" en forme de cloche ; , y compris des erreurs de mesure dans beaucoup de mesures physiques et le nombre de fois vous obtenez des têtes quand vous jetez une pièce de monnaie 10. Pourquoi l'ubiquité du " ; curve" en forme de cloche ; ? Il y a une raison théorique de ceci, et il implique Fourier transforme et par conséquent les fonctions trigonométriques . C'est l'une d'une série d'applications de Fourier transforme aux statistiques .

Des fonctions trigonométriques sont également appliquées quand les statisticiens étudient les périodicités saisonnières, qui sont souvent représentées par série de Fourier.

Une expérience simple avec les lunettes de soleil polarisées

Obtenir deux paires de lunettes de soleil de polarisées par identique (lunettes de soleil polarisées par l'ONU ne fonctionnera pas ici). Mettre l'objectif gauche d'une paire placé sur l'objectif droit de l'autre, tous les deux de alignés identiquement. Tourner lentement une paire, et vous observez que la quantité de lumière qui obtient par des diminutions jusqu'à ce que les deux objectifs soient aux angles droits entre eux, quand aucune lumière n'obtient à travers. Quand est-ce que l'angle par lequel l'une paire est tournée est le θ, quelle fraction de la lumière qui pénètre quand l'angle est 0, obtient à travers ? Réponse : c'est cos² ; θ. Par exemple, quand l'angle est de 60 degrés, seulement 1/4 autant lumière pénètre la série de deux objectifs comme quand l'angle est de 0 degrés, puisque le cosinus de 60 degrés est 1/2.

Théorie des nombres

Il y a un conseil d'un raccordement entre la trigonométrie et la théorie des nombres . Lâchement parlant, on pourrait indiquer que la théorie des nombres traite qualitatif plutôt que les propriétés quantitatives des nombres. Une théorie centrale de concept en nombre est la divisibilité de (comme dans : 42 est divisible par 14 mais pas par 15). L'idée de mettre une fraction en plus bas termes emploie également le concept de la divisibilité : par exemple, 15/42 n'est pas en plus bas termes parce que 15 et 42 sont les deux divisibles par le regard 3. à l'ordre des fractions

$\ 42}, du frac {1} {\ 42}, de qquad \ frac {2} {\ 42}, de qquad \ frac {3} {\ qquad \ points \, de points \ 42}, de qquad \ frac {39} {\ 42}, de qquad \ frac {40} {\ qquad \ frac {41} {42}.$

Jeter ceux qui ne sont pas en plus bas termes ; garder seulement ceux qui sont en plus bas termes :

$\ 42}, de qquad \ frac {31} {\ 42}, de qquad \ frac {37} {\ qquad \ frac {41} {42}.$

Apporter alors la trigonométrie :

$\ cos \ parti (2 \ pi \ cdot \ frac {1} {42} \ droit) + \ cos \ parti (2 \ pi \ cdot \ frac {5} {42} \ droit) + \ cdots+ \ cos \ parti (2 \ pi \ cdot \ frac {37} {42} \ droit) + \ cos \ parti (2 \ pi \ cdot \ frac {41} {42} \ droit)$

La valeur de la somme est &minus ; 1. Comment savons-nous cela ? Puisque 42 a un nombre impair du de facteurs principaux et aucun de eux n'est répété : 42 = 2 × ; 3 × ; 7. (s'il y avait eu un nombre du même de facteurs non-répétés alors que la somme aurait étés 1 ; s'il y avait eu des × principaux répétés des facteurs (par exemple, 60 = 2 ; 2 × ; 3 × ; 5) alors la somme aurait été 0 ; la somme est la fonction de Möbius de évaluée à 42.) Ceci laisse entendre la possibilité de s'appliquer l'analyse de Fourier à la théorie des nombres.

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