Ultrafiltre

Dans le domaine mathématique du de la théorie des ensembles , un ultrafiltre sur un X d'ensemble est une collection de sous-ensembles X qui est un filtre , qui ne peut pas être agrandi (comme filtre). Un ultrafiltre peut être considéré comme mesure de façon finie additive. Alors chaque sous-ensemble de X est l'un ou l'autre " considéré ; presque everything" ; (a la mesure 1) ou le " ; presque nothing" ; (a la mesure 0). Si le A est un sous-ensemble de X , alors le A ou le X \ A est un élément de l'ultrafiltre (ici le X \ A est le complément relatif du A dans le X ; c'est-à-dire, l'ensemble de tous les éléments du X qui ne sont pas dans le A ). Le concept peut être généralisé aux algèbres booléennes ou même aux ordres partiels général et a beaucoup d'applications dans la théorie des ensembles, la théorie des modèles , et la topologie .

Définition formelle

Donné un X d'ensemble, un ultrafiltre sur le X est un U d'ensemble se composant des sous-ensembles de X tels que L'ensemble vide n'est pas un élément de

du U Si le A et le B sont des sous-ensembles de X , le A est un sous-ensemble de B , et le A est un élément du U , alors le B est également un élément du U .

Si le A et le B sont des éléments du U , alors est ainsi l'intersection du A et du B .

Si le A est un sous-ensemble de X , alors le A ou le $X\; \backslash \; setminus\; A$ est un élément du U . (Note : les axiomes 1 et 3 impliquent que le A et le $X\; \backslash \; setminus\; A$ ne peuvent pas les deux être des éléments du U .)

Une caractérisation est donnée par le théorème suivant. Un du filtre U sur un X d'ensemble est un ultrafiltre si une des conditions suivantes est vraie. Il n'y a aucun F de filtre plus fin que le U , $U\; \backslash \; sous-ensemble\; F$ implique $U=F$.

le $A\; \backslash tasseB\; \backslash \; dans\; U$ implique le $A\; \backslash \; dans\; U$ ou $B\; \backslash \; dans\; U$.

$\backslash \; forall\; A\; \backslash \; sous-ensemble\; X\; :\; A\; \backslash \; dans\; U$ ou $X\; \backslash \; setminus\; A\; \backslash \; dans\; U$. Une autre manière de regarder des ultrafiltres sur un X d'ensemble est de définir un de fonction m sur la puissance réglé de du X en plaçant le m ( A ) = 1 si le A est un élément du U et du m ( A ) = 0 autrement. Alors le m est une mesure de façon finie additive sur le X , et chaque propriété des éléments du X est le vrai presque partout ou faux presque partout. Noter que ceci ne définit pas une mesure dans le sens habituel, qui est exigé pour être l'additif de comptable.

Pour un F qui n'est pas un ultrafiltre, un de filtre dirait le m ( A ) = 1 si   du A ; &isin ;   ; F et m ( A ) = 0 si   du X \ A ; &isin ;   ; Le F , partant du m a éliminé ailleurs.

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La perfection d'un d'ultrafiltre U sur un ensemble est le plus petit &kappa cardinal ; tels qu'il y a de &kappa ; éléments du U dont l'intersection n'est pas dans le U . La définition implique que la perfection de n'importe quel ultrafiltre est au moins le $\backslash \; aleph\_0$. Un ultrafiltre dont la perfection est le un plus grand que le $\backslash \; aleph\_0$ - c., l'intersection de toute collection comptable d'éléments du U est toujours dans le U - s'appelle le le comptable complet de ou de $\backslash \; sigma$ - complet.

La perfection d'un ultrafiltre nonprincipal du comptable complet sur un ensemble est toujours un cardinal mesurable .

Généralisation aux ordres partiels

Dans la théorie d'ordre de , un ultrafiltre est un sous-ensemble d'un ensemble partiellement commandé (un poset de ) qui est le maximal parmi tous les filtres appropriés formellement, ceci déclare que n'importe quel filtre qui contient correctement un ultrafiltre doit être égal au poset entier. Un cas spécial important du concept se produit si le poset considéré est un l'algèbre booléenne , comme dans le cas d'un ultrafiltre sur un ensemble (défini comme filtre du correspondant Powerset ). Dans ce cas-ci, des ultrafiltres sont caractérisés en contenant, pour chaque d'élément un de l'algèbre booléenne, exactement un du d'éléments un et ¬ ; un (ce dernier étant le complément booléen du par ).

Des ultrafiltres sur une algèbre booléenne peuvent être identifiés avec les idéaux maximaux des idéaux de perfection de et les homomorphisms à l'algèbre booléenne de 2 éléments {vrai, faux}, comme suit :
Les idéaux maximaux d'une algèbre booléenne sont identiques que des idéaux principaux.
Donné un homomorphisme d'une algèbre booléenne sur {vrai, faux}, l'image inverse du " ; true" ; est un ultrafiltre, et l'image inverse du " ; false" ; est un idéal maximal.
Donné un idéal maximal d'une algèbre booléenne, son complément est un ultrafiltre, et il y a un homomorphisme unique sur {vrai, faux} prendre l'idéal maximal au " ; false" ;.
Donné un ultrafiltre d'une algèbre booléenne, son complément est un idéal maximal, et il y a un homomorphisme unique sur {vrai, faux} prendre l'ultrafiltre au " ; true" ;.

Voyons un autre théorème qui pourrait être employé pour la définition du concept « ultrafiltre ». Laisser le B dénoter une Bool-algèbre et un F un filtre approprié dans lui. Le F est un ultrafiltre IFF : pour tout le $a,\; b\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbf\; B$, si $a\; \backslash \; vé\; b\; \backslash \; dans\; F$, puis $a\; \backslash \; dans\; f$ ou $b\; \backslash \; dans\; f$ (Pour éviter la confusion : signe $0$, le $\backslash \; vee$ sont employés ici pour dénoter des opérations de l'algèbre booléenne, et des liaisons logiques sont rendues par des circonlocutions anglaises.) Voir les détails (et la preuve) dedans.

Types et existence d'ultrafiltres

Il y a deux types très différents d'ultrafiltre : principal et libre. Un ultrafiltre principal du (ou le fixe, ou le insignifiant) est un filtre contenant un moindre élément . En conséquence, les principaux ultrafiltres sont du de _{du F de forme des} = { X | un de ≤ de X } pour de quelques (mais non tous les) éléments un du poset donné. Dans ce cas-ci le un s'appelle l'élément principal l'ultrafiltre. Pour la caisse de filtres sur des ensembles, les éléments qui qualifient car les principaux sont exactement les ensembles d'un élément. Ainsi, un ultrafiltre principal sur un S d'ensemble se compose de tous les ensembles contenant un point particulier de S . Un ultrafiltre sur un ensemble fini est principal. N'importe quel ultrafiltre qui n'est pas principal s'appelle un ultrafiltre libre du (ou le non-principal).

On peut prouver que chaque filtre (ou plus généralement, tout sous-ensemble avec la propriété d'intersection finie ) est contenu dans un ultrafiltre (voir le ultrafiltrer le lemme ) et que les ultrafiltres libres existent donc, mais les preuves impliquent l'axiome de du choix sous forme de lemme de Zorn de . Des exemples en conséquence explicites des ultrafiltres libres ne peuvent pas être donnés. Néanmoins, presque tous les ultrafiltres sur un ensemble infini sont libres. En revanche, chaque ultrafiltre d'un poset fini (ou sur un ensemble fini) est principal, puisque n'importe quel filtre fini a un moindre élément.

Applications

Les ultrafiltres sur des ensembles sont utiles dans la topologie , particulièrement par rapport aux espaces de Hausdorff du contrat , et dans la théorie des modèles dans la construction des ultraproducts de et ultrafiltrent . Chaque ultrafiltre sur un espace de Hausdorff de contrat converge à exactement un point. De même, les ultrafiltres sur des posets sont les plus importants si le poset est une algèbre booléenne, puisque dans ce cas-ci les ultrafiltres coïncident avec les ultrafiltres des filtres de perfection de dans ce jeu de forme un rôle central dans le théorème de la représentation de la pierre de pour les algèbres booléennes .

Le G d'ensemble de tous les ultrafiltres d'un P de poset peut topologized d'une manière normale, celle en fait est étroitement lié au théorème mentionné ci-dessus de représentation. Pour n'importe quel d'élément un du P , a laissé le de _{du D un} = { U dans G | un dans le U }. C'est le plus utile quand le P est encore une algèbre booléenne, puisque dans cette situation l'ensemble de tout le de _{du D un} est une base pour une topologie compacte de Hausdorff sur le G . En particulier, quand vu les ultrafiltres sur un S (c. le cas d'ensemble que le P est le powerset du S commandé par l'intermédiaire de l'inclusion de sous-ensemble), l'espace topologique en résultant est le Stone-Č ; compactification d'ech d'un espace discret de la cardinalité | S |.

La construction d'Ultraproduct dans la théorie des modèles utilise des ultrafiltres pour produire les prolongements élémentaires des structures. Par exemple, en construisant le Hyperreal numérote comme ultraproduct des vrais nombres , nous prolongent d'abord le domaine du discours des vrais nombres aux ordres de vrais nombres. Cet espace d'ordre est considéré comme un superjeu des reals en identifiant chacun vrai avec l'ordre constant correspondant. Pour prolonger les fonctions et les relations de familier (par exemple, + et <) des reals aux hyperreals, l'idée normale est de les définir pointwise. Mais ceci perdrait les propriétés logiques importantes des reals ; par exemple, le pointwise < n'est pas une commande totale. Tellement à la place nous définissons les fonctions et le " de relations ; " du U de modulo de pointwise ; , où le U est un ultrafiltre sur l'ensemble d'index des ordres ; par le théorème de Łoś de , ceci préserve toutes les propriétés des reals qui peuvent être énoncés dans la logique de premier ordre . Si le U est nonprincipal, alors la prolongation obtenue de ce fait est non triviale.

Dans la théorie de groupe géométrique , des ultrafiltres non-principaux sont utilisés pour définir le cône asymptotique d'un groupe. Ces rendements de construction une manière rigoureuse de considérer le regardant le groupe de l'infini , celui est la géométrie de large échelle du groupe.

La preuve ontologique de Gödel de des utilisations de l'existence de Dieu comme axiome ce l'ensemble de tout le " ; properties" positif ; est un ultrafiltre.

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