Type binomial

Dans les mathématiques , un ordre polynôme , c., un ordre de des polynômes répertoriés près {0, 1, 2, 3,…} dans lequel l'index de chaque polynôme égale son degré, serait du type binomial s'il satisfait ordre de identité

$p_n (x+y)= \ sum_ {k=0} ^n {n \ choisissent} de k \, p_k de (x) \, p_ {n-k} (y).$

Beaucoup de tels ordres existent. L'ensemble de tous tels ordres constitue un groupe de Lie sous l'opération de composition umbral, expliquée ci-dessous. Chaque ordre de type binomial peut être exprimé en termes de polynômes de Bell de que chaque ordre de type binomial est un ordre de Sheffer de (mais la plupart des ordres de Sheffer ne pas être de type binomial). Les ordres polynômes ont mis dessus la pose ferme les notions vagues du 19ème siècle du calcul d'Umbral de .

Exemples le

en conséquence de cette définition le théorème binomial peut être énoncé en disant que l'ordre { n de ^{de X : n = 0, 1, 2,…} est de type binomial.
l'ordre du " ; Quot inférieur des factorials ; est défini par

$(x) _n=x (x-1) (x-2) \ cdot \ cdots \ cdot (x-n+1).$
(dans la théorie de fonctions spéciales, cette même notation dénote les factorials supérieurs mais cette utilisation actuelle est universelle parmi les combinatorialists .) On comprend que le produit est 1 si le n = 0, puisque c'est dans ce cas un produit vide . Cet ordre polynôme est de type binomial.

même le " ; Quot supérieur des factorials ; =x de $x^ de de {(n)} (x+1) (x+2) \ cdot \ cdots \ cdot (x+n-1)$ le
sont un ordre polynôme de type binomial.

les polynômes d'Abel de

$p_n (x)=x (x-an) ^ {n-1} \,$ le
sont un ordre polynôme de type binomial.

les polynômes de Touchard de $p_n de de (^n S (N, k) de x)= \ sum_ {k=1} x^k$ le
où le S ( n , k ) est le nombre de cloisons d'un ensemble de n de taille dans le k disjoignent les sous-ensembles non vides, est un ordre polynôme de type binomial. Le temple Bell d'Eric de a appelé ces derniers le " ; polynomials" exponentiel ; et cette limite également est parfois vue dans la littérature. Le S ( n , k ) de coefficients sont " ; Le Stirling numérote du deuxième kind" ;. Cet ordre a un raccordement curieux avec la loi de Poisson De : Si le X est une variable aléatoire avec une loi de Poisson Avec le &lambda de valeur prévue ; puis E ( n de ^{de X ) = n (&lambda de _{du p ;). En particulier, quand &lambda ; = 1, nous voyons que le moment de Th du n de la loi de Poisson Avec la valeur 1 prévue est le nombre de cloisons d'un ensemble de n de taille, appelé le nombre de Bell De de Th du n . Ce fait sur le moment de Th du n de cette loi de Poisson De détail est " ; " de la formule de Dobinski de ;.}}

Caractérisation par des opérateurs de delta
Il peut montrer qu'un ordre de polynôme { de _{de p n}(x) : le n = 0, 1, 2,…} est de type binomial si et seulement si chacun des trois des conditions suivantes se tient :
la transformation linéaire sur l'espace des polynômes dans le X qui est caractérisé par $p_n de de (x) \ np_ de mapsto {n-1} (x)$ le
est Décalent-equivariant , et p ₀ ( X ) = 1 de

pour tout le X , et n (0) = 0 de _{du p de}

pour le n > 0.
(Le rapport que cet opérateur est décalent-equivariant est identique que disant que l'ordre polynôme est un ordre de Sheffer de ; l'ensemble d'ordres de type binomial est correctement inclus dans l'ensemble d'ordres de Sheffer.)

Opérateurs de delta
Cette transformation linéaire est clairement un opérateur de delta de , c., décaler-equivariant la transformation linéaire sur l'espace des polynômes dans le X qui réduit des degrés de polynômes de 1. Les exemples les plus évidents des opérateurs de delta sont les opérateurs de différence et la différentiation. Il peut montrer que chaque opérateur de delta peut être écrit comme série entière du ^ de $Q= \ sum_ de de forme {n=1} \ de c_n infty D^n$ là où le D est différentiation (note que la limite inférieure de l'addition est 1). Chaque Q d'opérateur de delta a un ordre unique de " ; polynomials" de base ; , c., un satisfying $p_0 (x)=1, \, de$ d'ordre polynôme $p_n de$ de (0) =0 \ quadruples {\ pour de rm \} n \ geq 1, {\ rm \ et} $Qp_n de$
de (x)=np_ {n-1} (x). \,
Il a été montré dans le 1973 par le Rota , Kahaner, et Odlyzko , qu'un ordre polynôme est de type binomial si et seulement si c'est l'ordre des polynômes de base d'un certain opérateur de delta. Par conséquent, ce paragraphe s'élève à une recette pour produire d'autant d'ordres polynômes de type binomial pendant qu'on peut souhaiter.
Caractérisation par des polynômes de Bell
Pour n'importe quel d'ordre un ₁, un ₂, un ₃,… des grandeurs scalaires, a laissé $p_n de (, du _ de ^ du x)= \ sum_ {k=1} N. {N, k} (a_1 \ pointille, l'a_ {n-k+1}) x^k.$ Là où n , k ( de _{du B un ₁,…, un &minus de n de _{de ; le k +1}) est le Bell polynôme. Alors cet ordre polynôme est de type binomial. Noter cela pour chaque &ge du n ; 1, =a_n du}
$p_n'(0 de ). \,$
Voici le résultat principal de cette section :
Théorème de : tous des ordres polynômes de type binomial sont de cette forme.
Un résultat dans Mullin et Rota, répétés dans Rota, Kahaner, et Odlyzko (voir les références de ci-dessous) déclare que chaque ordre de polynôme { ; du n ( X ) de _{du p ;}le n} de _{du type binomial est déterminé par l'ordre { ; n}&prime de _{du p ; (0) ;}le n} de _{, mais ces sources ne mentionnent pas des polynômes de Bell.}
Cet ordre des grandeurs scalaires est également lié à l'opérateur de delta. Laissé $P de (^ de t)= \ sum_ {n=1} \ infty {a_n \ au-dessus de n !} t^n.$
Puis

$P^ {- 1} \ laissé ({d \ au-dessus de dx} \ droit) \,$
est l'opérateur de delta de cet ordre.

Caractérisation par une identité de convolution
Pour le d'ordres un n , le n , le n de _{de de _{du b = 0, 1, 2,…, définissent une sorte de convolution près _n de $b) = \ b_ d'a_j ^n du sum_ {j=0} {n \ choisissent j} {n-j}.$ Laisse le $a_n^ {} de k \ diamondsuit \,$ soit la limite de Th du n de l'ordre $de \ _ d'underbrace {a \ diamondsuit \ cdots \ diamondsuit a} {\ de k \ mathrm {facteurs}}. \,$
Alors pour tout d'ordre un i , i de _{de = 0, 1, 2,…, avec le un ₀ = 0, l'ordre défini par le p ₀ ( X ) = 1 et $p_n de (x) = \ ^n de sum_ {k=1} {x^k de ^ d'a_ {n} {k \ diamondsuit} \ au-dessus de k !}\,$}
pour le &ge du n ; 1, est de type binomial, et chaque ordre de type binomial est de cette forme. Ce résultat est dû à Alessandro di Bucchianico (voir les références ci-dessous).

Caractérisation par des fonctions se produisantes
Les ordres polynômes du type binomial sont avec précision ceux dont les fonctions se produisantes sont (pas nécessairement les séries entières formelles de de convergent) de la forme $de \ ^ du sum_ {n=0} \ infty {p_n (x) \ au-dessus de n !}t^n=e^ {xf (t)}$ là où le f ( t ) est une série entière formelle dont la limite constante est zéro et dont la limite first-degree n'est pas zéro. Il peut montrer en employant la version de puissance-séries de la formule de Faà di Bruno de cela

$f (t)= \ sum_ {n=1} ^ \ infty {p_n \, '(0) \ au-dessus de n !}t^n.$
L'opérateur de delta de l'ordre est ^{&minus du f ; 1} ( D ), de sorte que p_n de $f^ de {- 1} (D) (x)=np_ {n-1} (x).$

Une manière de penser à ces fonctions se produisantes
Les coefficients dans le produit de deux séries entières formelles $de \ ^ du sum_ {n=0} \ infty {a_n \ au-dessus de n !}t^n$ et $de \ ^ du sum_ {n=0} \ infty {b_n \ au-dessus de n !}t^n$
être $c_n= de \ b_ d'a_k ^n du sum_ {k=0} {n \ choisissent k} {n-k}$
(voir également le produit de Cauchy de ). Si nous pensons au X comme paramètre indexant une famille de telle série entière, alors l'identité binomiale indique en effet que la série entière répertoriée par le X + y est le produit de ceux répertoriés par le X et par le y . Ainsi le X est l'argument à une fonction cette des sommes de cartes aux produits : une fonction exponentielle $g de (t)^x=e^ {x f (t)}$
là où le f ( t ) a la forme donnée ci-dessus.

Composition d'Umbral des ordres polynômes
L'ensemble de tous les ordres polynômes de type binomial est un groupe dans lequel l'opération de groupe est " ; composition" umbral ; des ordres polynômes. Cette opération est définie comme suit. Supposer { n} ( X ) de _{de p : n = 0, 1, 2, 3,…} et { n} ( X ) de _{de q : le n = 0, 1, 2, 3,…} sont des ordres polynômes, et

$p_n (x)= \ sum_ {k=0} ^n a_ {n,} de k \, x^k.$
Alors le umbral q du p o de composition est l'ordre polynôme dont la limite de Th du n est

$(p_n \ circ q) (x)= \ sum_ {k=0} ^n a_ {n,} de k \, q_k (x)$
(le souscrit n apparaît dans le n de _{du p , puisque c'est la limite du n de cet ordre, mais pas dans le q , puisque ceci se rapporte à l'ordre dans son ensemble plutôt qu'une de ses limites).}
L'opérateur de delta étant défini par une série entière dans le D comme ci-dessus, le bijection normal entre les opérateurs de delta et les ordres polynômes du type binomial, également définis ci-dessus, est un isomorphisme de groupe, dans lequel l'opération de groupe sur la série entière est composition formelle de série entière formelle.

Cumulants et moments
Le &kappa d'ordre ; le n} de _{des coefficients des limites first-degree dans un ordre polynôme de type binomial peut se nommer les cumulants de l'ordre polynôme. Il peut montrer que l'ordre polynôme de totalité du type binomial est déterminé par ses cumulants, d'une manière discutée dans l'article intitulé le cumulant de . Ainsi = du $p_n'(0 de ) \ kappa_n= \,$ le cumulant de Th du n et p_n de $de (1)= \ mu_n'= \,$ le moment de Th de n .
Ce sont " ; formal" ; cumulants et " ; formal" ; moments , par opposition aux cumulants d'une distribution de probabilité et des moments d'une distribution de probabilité.
Laissé $f de (^ de t)= \ sum_ {n=1} \ infty \ frac {\ kappa_n} {n !}t^n$
être cumulant-produire (formel) de la fonction. Puis $f^ de {- 1} (d) \,$
est l'opérateur de delta lié à l'ordre polynôme, c., nous avons p_n de $f^ de {- 1} (D) (x)=np_ {n-1} (x). \,$

Applications
Le concept du type binomial a des applications dans la combinatoire , la probabilité , les statistiques , et une série d'autres domaines.
Voir également liste de de

des matières factorielles et binomiales}}
.
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