Tuile de Wang
Le Wang couvre de tuiles (ou dominos de Wang de ), d'abord proposés par le Hao Wang en 1961, sont une classe des systèmes formels qu'ils sont modelés visuellement par les places equal-sized avec une couleur sur chaque bord qui peut être arrangé côte à côte (sur une grille carrée régulière) de sorte que les bords de aboutement des tuiles adjacentes aient la même couleur ; les tuiles ne peuvent pas être tournées ou reflétées. Les expositions suivantes un ensemble d'exemple de 13 tuiles de Wang :
La question fondamentale au sujet des ensembles de tuiles de Wang prouve si elles peuvent la tuile l'avion ou pas. Ceci signifie que des copies des tuiles peuvent être arrangées un pour remplir avion infini, sans n'importe quelle position de grille où aucune tuile dans l'ensemble ne peut assortir les couleurs latérales des tuiles adjacentes déjà présentées.
En 1961, Wang a présenté un algorithme pour prendre l'ensemble de tuiles fini et pour décider s'ils ont couvert de tuiles l'avion. Dans le sien a prétendu la preuve de l'exactitude de l'algorithme, il a supposé que n'importe quel ensemble qui pourrait couvrir de tuiles l'avion pourrait couvrir de tuiles le plat périodiquement (avec un modèle qui des répétitions, comme le papier peint standard).
Cependant, en 1966 le Robert Berger s'est avéré que la conjecture de Wang était erroné. Il a présenté un ensemble de tuiles de Wang qui pourraient seulement couvrir de tuiles le plat aperiodically de . Ceci a signifié qu'il pourrait remplir avion sans trous, mais le carrelage ne pourrait pas être une répétition simple d'un modèle fini. C'est semblable à un carrelage de Penrose de , ou à l'arrangement des atomes dans un Quasicrystal . Bien que l'ensemble de l'original de Berger ait contenu 20.426 tuiles, il a présumé que de plus petits ensembles fonctionneraient, y compris des sous-ensembles de son ensemble. En années postérieures, des ensembles de plus en plus plus petits ont été trouvés. Par exemple, l'ensemble de 13 tuiles indiquées ci-dessus est un ensemble apériodique édité par Karel Culik, II, en 1996. Il peut couvrir de tuiles l'avion, mais pas périodiquement.
L'algorithme de Wang pour déterminer si un ensemble indiqué de tuiles peut couvrir de tuiles l'avion n'était pas correct. En fait, le aucun un tel algorithme peut exister . Il est possible de traduire n'importe quelle machine en ensemble de tuiles de Wang, tels de Turing de que les tuiles de Wang peuvent couvrir de tuiles l'avion si et seulement si la machine de Turing ne s'arrêtera jamais. Le problème d'arrêt est undecidable, donc le problème de carrelage de Wang est également uncomputable. Dans une certaine mesure, les tuiles de Wang ont la puissance informatique équivalente à celle d'une machine de Turing.
Le fait que le procédé de Wang ne peut pas théoriquement fonctionner pour de grands ensembles arbitraires de tuile ne le rend pas inutile pour des buts pratiques. Using une version optimisée de la méthode Sergio Demian d'original Lerner a montré qu'aucun ensemble apériodique n'existe avec 7 tuiles ou moins. Cette limite inférieure part seulement d'un petit espace pour des améliorations attachées plus élevées.
Des tuiles de Wang peuvent être généralisées dans diverses manières, qui sont également undecidable dans le sens ci-dessus. Par exemple, les cubes en Wang de sont les cubes equal-sized avec les visages colorés et des couleurs de côté peuvent être assorties sur n'importe quel Tessellation polygonal . Culik et Kari ont démontré les ensembles apériodiques de cubes en Wang. Winfree et autres ont démontré la praticabilité de créer le " moléculaire ; tiles" ; fait à partir d'ADN (acide désoxyribonucléique) de qui peut agir en tant que Wang couvre de tuiles. Al ont prouvé que ces tuiles peuvent également se composer d'acide nucléique (PNA) de peptide de , un imitateur artificiel stable de l'ADN.
Les tuiles de Wang sont récemment devenues un outil populaire pour la synthèse procédurale des textures, des heightfields, et d'autres grands et nonrepeating ensembles de données bi-dimensionnels ; un petit ensemble de tuiles precomputed ou fabriquées à la main de source peut être assemblé très à bon marché sans répétitions trop évidentes et sans périodicité. Dans ce cas-ci, les carrelages apériodiques traditionnels montreraient leur structure très régulière ; beaucoup moins d'ensembles contraints qui garantissent au moins deux choix de tuile pour deux couleurs latérales indiquées quelconques sont communs parce que le tileability est facilement assuré et chaque tuile peuvent être choisis pseudorandomly. Les articles importants au sujet de cette nouvelle application incluent :
Jos Stam (1997), '' texture apériodique traçant '' présente l'idée d'utiliser des tuiles de Wang pour la variation de texture, par rapport à un système de substitution déterministe. Cohen, ombre Jonathan, Stefan Hiller, Oliver Deussen (2003), '' tuiles de Wang pour la génération d'image et de texture '' présente le carrelage stochastique et est très populaire.
Li-Yi Wei (2004), " ; Texture Tuile-Basée traçant sur des graphiques Hardware" ; applique des tuiles de Wang pour la texturisation en temps réel sur un GPU
Johannes Kopf, Daniel Cohen-Ou, Oliver Deussen, Dani Lischinski (2006), '' les tuiles récursives de Wang pour le bruit bleu en temps réel '' montre des applications avancées.
Les tapis de Wang de d'histoire courte, plus tard augmentés aux Diaspora originaux , par le Greg Egan , postule un univers, accomplit les organizations résidentes et les êtres intelligents, incorporés comme des tuiles de Wang mis en application par des modèles des molécules complexes.
Voir également
Tessellation .
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