Tubulure topologique

Le voient également : Liste de des tubulures

Propriétés

La propriété d'être localement euclidienne est préservée par les homeomorphisms locaux c'est-à-dire, si le X est localement euclidien du n de dimension et du f : &rarr du X ; Le Y est un local Y d'homéomorphie alors est localement euclidien du n de dimension. En particulier, être localement euclidien est une propriété topologique .

Les tubulures héritent de plusieurs des propriétés locales de l'espace euclidien. En particulier, elles sont le localement compact, le localement localement relié, le le premier comptable, le contractible, et le localement metrizable. Sont localement les tubulures compactes des espaces de Hausdorff nécessairement les espaces de Tychonoff de

Un divers n'a pas besoin d'être relié, mais chaque divers M est un disjoignent l'union des tubulures reliées (toute les même dimension). Ce sont juste les composants reliés par du M , qui sont les ensembles ouverts puisque des tubulures local-sont reliées. Être localement chemin s'est relié, une tubulure chemin-est reliée si et seulement si elle est reliée. Elle suit que les chemin-composants sont identiques que les composants.

L'axiome de Hausdorff

La propriété de Hausdorff n'est pas locale ; ainsi quoique l'espace euclidien soit Hausdorff, un espace localement euclidien n'a pas besoin d'être. Il est vrai, cependant, que chaque espace localement euclidien est le T₁ .

Un exemple de non-Hausdorff d'un espace euclidien localement est la ligne de avec deux origines . Cet espace est créé en remplaçant l'origine de la vraie ligne par des points du deux , un voisinage ouvert de l'un ou l'autre dont inclut tous les nombres différents de zéro dans un certain intervalle ouvert centré à zéro. Cet espace pas Hausdorff parce que les deux origines ne peuvent pas être séparées.

Axiomes de compacité et de countability

Une tubulure est le metrizable si et seulement si c'est Paracompact . Puisque le metrizability est une propriété si souhaitable pour un espace topologique, il est commun pour ajouter le paracompactness à la définition d'une tubulure. En tous cas, des tubulures de non-paracompact sont généralement considérées comme le pathologique. Un exemple d'une tubulure de non-paracompact est donné par la longue file . Les tubulures de Paracompact ont toutes les propriétés topologiques des espaces métriques. En particulier, elles sont les espaces de Hausdorff parfaitement normaux

Des tubulures sont également généralement exigées pour être le deuxième-comptable. C'est avec précision la condition exigée pour s'assurer que le divers enfonce dans un certain espace euclidien fini-dimensionnel (voir le Whitney inclure le théorème ). Pour toute tubulure les propriétés d'être deuxième-comptable, de Lindelöf , et de &sigma de ; - compacts sont tous équivalents.

Chaque tubulure deuxième-comptable est paracompact, mais pas vice-versa. Cependant, l'inverse est presque vraie : une tubulure de paracompact est deuxième-comptable si et seulement si elle a un nombre comptable du des composants reliés par en particulier, une tubulure reliée est paracompact si et seulement si elle est deuxième-comptable. Chaque tubulure deuxième-comptable est le séparable et le paracompact. D'ailleurs, si une tubulure est séparable et paracompact puis elle est également deuxième-comptable.

Chaque tubulure du contrat est deuxième-comptable et paracompact.

Dimensionnalité

La dimension d'une tubulure est une propriété topologique , signifiant que n'importe quelle tubulure homéomorphe à un n - la tubulure a également le n de dimension. Il découle de l'invariance de du domaine qu'un n - tubulure ne peut pas être homéomorphe à un m - tubulure pour le &ne du n ; m .

Une tubulure à une dimension s'appelle souvent une courbe de de tandis qu'une tubulure à deux dimensions s'appelle une surface de de . Des tubulures dimensionnelles plus élevées habituellement s'appellent juste le n - tubulures. Pour le n = 3, 4, ou 5 voient le 3 divers, le 4 divers, et le 5 divers.

Diagrammes du même rang

Par définition, chaque point d'un espace localement euclidien a un voisinage homéomorphe à un sous-ensemble ouvert de n de ^{du R . De tels voisinages s'appellent les voisinages euclidiens . Il découle de l'invariance de du domaine que les voisinages euclidiens sont toujours les ensembles ouverts. On peut toujours trouver les voisinages euclidiens qui sont homéomorphes au " ; nice" ; ouvrir les ensembles dans le n} de ^{du R . En effet, un M de l'espace est localement euclidien si et seulement si l'une ou l'autre des conditions équivalentes suivantes se tient :
chaque point de M a un voisinage homéomorphe à une boule ouverte dans le n} de ^{du R .
chaque point de M a un voisinage homéomorphe au n} lui-même de ^{du R . Un voisinage euclidien homéomorphe à une boule ouverte dans le n} de ^{du R s'appelle une boule euclidienne . Les boules euclidiennes forment une base pour la topologie d'un espace localement euclidien.}

Pour tout euclidien U de voisinage un &phi d'homéomorphie ; : &rarr du U ; &phi ; ( U ) &sub ; Le n de ^{du R s'appelle un diagramme de coordonnée de sur le U (bien que le diagramme mot est fréquemment employé pour se rapporter au domaine ou à la gamme d'une telle carte). Un M de l'espace est localement euclidien si et seulement si ce peut être couvert par par les voisinages euclidiens. Un ensemble de voisinages euclidiens qui couvrent le M , ainsi que leurs diagrammes du même rang, s'appelle un atlas de de sur le M . (La terminologie vient d'une analogie avec la cartographie par lequel un globe sphérique puisse être décrit par un atlas des cartes ou des diagrammes plats).}

&phi donné de deux diagrammes ; et &psi ; avec le de recouvrement U de domaines et le V il y a un &psi de de la fonction de transition de ; &phi ; ^{&minus ; 1} : &phi ; (&cap de U ; &rarr du V ) ; &psi ; (&cap de U ; V ). Une telle carte est une homéomorphie entre les sous-ensembles ouverts de n de ^{du R . C'est-à-dire, les diagrammes du même rang conviennent sur des chevauchements jusqu'à l'homéomorphie. Différents types sur des tubulures peuvent être définis en imposant des restrictions aux types de cartes de transition permises. Par exemple, parce que les tubulures différentiables les cartes de transition sont exigées pour être un Diffeomorphisms}

Classification des tubulures

Des 0 tubulures sont juste un espace discret . De tels espaces sont classifiés par leur cardinalité . Chaque espace discret est paracompact. Un espace discret est deuxième-comptable si et seulement si c'est le comptable.

Chaque paracompact, relié 1 tubulure est homéomorphe au R ou le cercle . Le non lié est juste disjoint les syndicats de ces derniers.

Chaque contrat, relié, la tubulure 2 (ou le extérieur) est homéomorphe à la sphère , à une somme reliée par de tores , ou à une somme reliée d'avions projectifs de que voient le théorème de classification de pour les surfaces pour plus de détails.

Le cas à trois dimensions peut être résolu. La conjecture de la géométrisation de Thurston de , si vraie, ainsi que les connaissances actuelles, impliquerait une classification de 3 tubulures. Le Grigori Perelman a esquissé une preuve de cette conjecture dans 2003 qui (à partir de 2006) semble être essentiellement correct.

La classification du n - tubulures pour le n plus considérablement que trois est connue pour être impossible ; elle est équivalente au soi-disant problème de mot de dans la théorie de groupe , qui s'est avérée Undecidable . En d'autres termes, il n'y a aucun algorithme pour décider si une tubulure donnée est le simplement relié. Il y a, cependant, une classification des tubulures simplement reliées du ≥ 5.

Tubulures avec la frontière

Une notion légèrement plus générale est parfois utile. Une tubulure topologique de avec la frontière est un espace de Hausdorff dans lequel chaque point a un voisinage homéomorphe à un sous-ensemble ouvert du demi-espace euclidien (pour un fixe n ) :

$\backslash \; mathbb\; R^n\_\; \{+\}\; =\; \backslash \; \{(x\_1,\; \backslash \; ldots,)\; de\; x\_n\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; R^n\; :\; x\_n\; \backslash \; GE\; 0\; \backslash \}.$ La terminologie est légèrement embrouillante : chaque tubulure topologique est une tubulure topologique avec la frontière, mais pas vice-versa.

Laisser le M être une tubulure avec la frontière. Le intérieur du M , le dénoté M d'international, est l'ensemble de points dans le M qui ont des voisinages homéomorphes à un sous-ensemble ouvert de n de ^{du R . La frontière du M , &part dénoté ; Le M , est le complément du d'international M dans le M . Les points de frontière peuvent être caractérisés en tant que ces points qui débarquent sur l'hyperplan de frontière ( n de _{de X} = 0) du n} ₊ de ^{du R sous un certain diagramme du même rang.}

Si le M est une tubulure avec la frontière du n de dimension, alors le M d'international est une tubulure (sans frontière) du n de dimension et du &part ; Le M est une tubulure (sans frontière) de &minus du n de dimension ; 1.

Voir également

4 divers
5 divers

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