Tubulure de Whitehead

Dans les mathématiques , la tubulure de Whitehead de est un ouvert 3 divers qui est Contractible , mais pas le homéomorphe au R ³. Le Henry Whitehead a découvert cet objet incompréhensible tandis qu'il essayait de prouver la conjecture de Poincaré de .

Une tubulure contractible est un qui peut sans interruption être rétréci à un point à l'intérieur de la tubulure lui-même. Par exemple, une boule ouverte est une tubulure contractible. Toutes les tubulures homéomorphes à la boule sont contractible, aussi. On peut demander si le toutes les tubulures contractible de sont homéomorphe à une boule. Pour les dimensions 1 et 2, la réponse est classique et c'est " ; yes" ;. Dans la dimension 2, il découle, par exemple, du Riemann traçant le théorème . La dimension 3 présente le premier contre-exemple : la tubulure de Whitehead.

Construction

Prendre une copie du S ³, la sphère tridimensionnelle . Trouver maintenant un plein unknotted compact T ₁ du tore à l'intérieur de la sphère. (Le tore plein d'A est un beignet tridimensionnel ordinaire , c. a de remplir-dans le tore , qui est topologiquement les temps d'un du cercle par disque .) Le complément du tore plein à l'intérieur du S ³ est un autre tore plein.

Prendre maintenant un deuxième plein T ₂ de tore à l'intérieur du T ₁ de sorte que le T ₂ et un voisinage tubulaire de la courbe méridienne du T ₁ soit un lien épaissi de Whitehead de .

Noter que le T ₂ est le Nul-homotope dans le complément du méridien du T ₁. Ceci peut être vu en considérant le S ³ comme &cup du R ³ ; &infin ; et la courbe méridienne comme z - &cup d'axe ; &infin ;. Le T ₂ a le nombre zéro d'enroulement de autour du z - axe. Ainsi le nul-homotopy nécessaire suit. Puisque le lien de Whitehead est symétrique, c. une homéomorphie des 3 composants de commutateurs de sphère, il est également vrai que le méridien du T ₁ soit également nul-homotope dans le complément du T ₂.

Inclure maintenant le T ₃ à l'intérieur du T ₂ comme le T ₂ se trouve à l'intérieur du T ₁, et ainsi de suite ; à l'infini. Définir le W , le continuum de Whitehead de , pour être _{&infin du T ;}, ou plus avec précision l'intersection de tout le k de _{du T pour le k = 1.}

La tubulure de Whitehead est définie comme X = S ³ \ W qui est une tubulure non-compacte sans frontière. Il découle de notre observation précédente, du théorème de Hurewicz de , et du théorème de Whitehead de sur l'équivalence homotopy, que le X est contractible. En fait, une analyse plus étroite comportant un résultat de Morton Brown prouve que des × du X ; &cong du R ; R ⁴ ; cependant le X n'est pas homéomorphe au R ³. La raison est que ce n'est pas simplement relié à l'infini .

L'un compactification de point du X est le W du S ³/de l'espace (le W cruched à un point). Ce n'est pas une tubulure. De quelque manière que ( W de R ³/) × ; Le R est homéomorphe au R ⁴.

Les espaces relatifs

Plus d'exemples 3 des tubulures ouvertes et contractible peuvent être construits la marche à suivre de mode semblable et en sélectionnant différents embeddings du i +1 de _{du T dans le i} de _{du T dans le processus itératif. Chacun qui enfonce devrait être un tore plein unknotted dans la sphère 3. Les propriétés essentielles sont que le méridien du i} de _{du T devrait être le Nul-homotope dans le complément du i +1} de _{du T , et en outre la longitude du i +1} de _{du T ne devrait pas être nul-homotope dans le &minus du i} de _{du T ; i +1} de _{du T . Une autre variation est de sélectionner plusieurs le subtori à chaque étape au lieu juste d'une. Les cônes au-dessus de certains de ces continuum apparaissent comme compléments de Le casson de manipule dans une boule 4.
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