Tubulure de Poisson

Dans les mathématiques , une tubulure de Poisson de est un différentiel M de la tubulure tels que le ^{&infin du C d'algèbre ;} ( M ) des fonctions douces au-dessus du M est équipé d'une carte bilinéaire appelée la parenthèse de Poisson de , la transformant en algèbre de Poisson de .

Chaque tubulure Symplectic est une tubulure de Poisson mais pas vice versa.

Définition

Une structure de Poisson de sur le M est une carte bilinéaire $de$

\ {, \} : C^ \ infty (M) \ périodes C^ \ infty (M) \ à C^ \ infty (M),

tels que la parenthèse est le symétrique oblique : $de$

\ {f, g \} = \ {g, f \}, \,

obéit l'identité de Jacobi de : $de$

\ {f, \ {g, h \} \} + \ {g, \ {h, f \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} =0, \,

et est une dérivation de ^{&infin du C ;} ( M ) dans son premier argument :

$\backslash \; \{fg,\; h\; \backslash \}\; =f\; \backslash \; \{g,\; h\; \backslash \}\; +\; g\; \backslash \; \{f,\; h\; \backslash \}\; \backslash \; mbox\; \{pour\; tous\}\; f,\; g,\; h\; \backslash \; dans\; C^\; \backslash \; infty\; (M).$

La dernière propriété permet plusieurs formulations équivalentes. Réparation d'un   doux du g de fonction ; &isin ;   ; ^{&infin du C ;} ( M ), un a que le $f\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; \{g,\; f\; \backslash \}\; le$ de carte est une dérivation sur le ^{&infin du C ;} ( M ). Ceci implique l'existence d'un hamiltonien g de _{du X du champ de vecteur sur le M tels que $X\_g\; de$}

(f) = \ {f, g \}

pour tout le   du f ; &isin ;   ; ^{&infin du C ;} ( M ). Ceci implique que la parenthèse dépend seulement du différentiel du f . Ainsi, liée à n'importe quelle structure de Poisson est une carte du paquet T^{&lowast de Cotangent de ; de} M au M du paquet T de tangente de ,

$B\_M\; :\; \backslash \; ^*\; M\; \backslash \; \backslash \; mathrm\; \{T\}\; M,$ du mathrm {T}

quel des cartes d f au f de _{du X .}

Bivector de Poisson

La carte entre le cotangent et les paquets de tangente implique l'existence d'un &eta de de champ de Bivector ; sur le M , le bivector , un $biaiser-symétrique\; \backslash \; eta\; \backslash \; dans\; de\; 2\; tenseurs\; \backslash \; bigwedge^2\; TM$, tels de Poisson de que $de$

\ {f, g \} = \ langle \ mathrm {d} f \ otimes \, du mathrm {d} g \ eta \ rangle

là où, de $\backslash \; langle\; \backslash \; rangle$ est l'appareillement entre le paquet de tangente et son duel. Réciproquement, donné un η doux champ de bivector sur le M , cette formule peut être employée pour définir une parenthèse biaiser-symétrique qui est une dérivation dans chaque argument. Cette parenthèse obéit l'identité de Jacobi, et par conséquent définit une structure de Poisson si et seulement si le Schouten&ndash ; La parenthèse de Nijenhuis est zéro.

Dans des coordonnées locales, le bivector à un   du X de point ; =  ; ( X ₁,   ; …,   ; le m de _{du X ) a l'expression $de$}

\ ^m d'eta_x= \ sum_ {I, j=1} \ eta_ {ij} (x) \ frac {\ partiel} {\ x_i partiel} \ otimes \ frac {\ partiel} {\ x_j partiel}

de sorte que $de$

\ {f, g \} (x)= \ ^m du sum_ {I, j=1} \ eta_ {ij} (x) \ frac {\ f partiel} {\ x_i partiel} \ otimes \ frac {\ g partiel} {\ x_j partiel}.

Pour une tubulure symplectic, le η de n'est rien autre que l'appareillement entre la tangente et le paquet de cotangent induits par le ω Symplectic la forme , qui existe parce que c'est le Nondegenerate. La différence entre une tubulure symplectic et une tubulure de Poisson est que la forme symplectic doit être nulle part singulier, tandis que le bivector de Poisson n'a pas besoin d'être de plein rang partout. Quand le bivector de Poisson est zéro partout, on dit que la tubulure possède la structure insignifiante de Poisson de .

Carte de Poisson

Une carte de Poisson de est définie comme $\backslash \; phi\; douxde\; carte:\; M\; \backslash \; à\; N$, qui trace le divers M de Poisson au divers N de Poisson, de telle manière que la structure de produit soit préservée : $de$

\ {f_1, f_2 \} _N \ circ \ = de phi \ {f_1 \ circ \ phi, f_2 \ circ \ phi \} _M

là où {  ; ,   ;} M de _{et {  ; ,   ;}le N} de _{sont les parenthèses de Poisson sur le M et le N respectivement.}

Tubulure de produit

Le donné M de deux tubulures de Poisson et le N , une parenthèse de Poisson de peuvent être définis sur la tubulure de produit. En laissant le f ₁ et le f ₂ être deux fonctions douces définies sur le   du M de tubulure de produit ; × ;   ; Le N , un définit la parenthèse de Poisson {  ; ,   ;}× du M de _{; N} sur la tubulure de produit en termes de parenthèses {  ; ,   ;} M de _{et {  ; ,   ;} N} de sur chacune des différentes tubulures : $de$

\ {f_1, f_2 \} _ {M \ périodes N} (x, y)

\ {f_1 (, de x \ cdot), f_2 (x, \) de cdot \} _N (y)

+ \ {f_1 (\ cdot, y), (\ cdot, y) \} _M f_2 (x)

là où   du X ; &isin ;   ;   du M et du y ; &isin ;   ; Le N sont jugés constant ; c'est-à-dire, de sorte que quand $f\; de$

(\, de cdot \ cdot) : M \ périodes N \ \ mathbb {R}

puis $f\; de$

(, de x \ cdot) : N \ \ mathbb {R}

et $f\; de$

(\ cdot, y) : M \ \ mathbb {R}

est impliqué.

Feuilles Symplectic

Une tubulure de Poisson peut être coupée en collection de feuilles symplectic . Chaque feuille est un submanifold de la tubulure de Poisson, et chaque feuille est une tubulure symplectic elle-même. Deux points se situent dans la même feuille s'ils sont joints par la courbe intégrale d'un champ de vecteur hamiltonien. C'est-à-dire, les courbes intégrales des champs de vecteur hamiltoniens définissent une relation d'équivalence sur la tubulure. Les classes d'équivalence de cette relation sont les feuilles symplectic.

Exemple

Si le $\backslash \; mathfrak\; \{g\}$ est une algèbre de Lie fini-dimensionnelle , et le $\backslash \; mathfrak\; \{g\}\; ^*$ est son espace de vecteur duel, alors la parenthèse de mensonge induit une structure de Poisson sur le $\backslash \; mathfrak\; \{g\}\; ^*$. Ainsi, en laissant le f ₁ et le f ₂ être des fonctions sur le $\backslash \; mathfrak\; \{g\}\; ^*$, et le $x\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathfrak\; \{g\}\; ^*$ par point, un peuvent définir $\backslash \; \{f\_1,\; f\_2\; \backslash \}\; (x)\; =\; de$

\ langle \ ; \ a laissé le _x (df_2) \ droit \, x \ rangle

là où le $\backslash \; mathrm\; \{d\}\; f\; \backslash \; dans\; (\backslash \; ^*\; de\; mathfrak\; \{g\})\; le\; ^*\; \backslash \; simeq\; \backslash \; mathfrak\; \{g\}$, et est la parenthèse de mensonge. Si le k de _{du e sont les coordonnées locales sur le $d\text{'}algèbre\; de\; Lie\; \backslash \; mathfrak\; \{g\}$, alors le bivector de Poisson est donné près $de$}

\ eta_ {ij} (x) = \ ^k c_ de sum_k {ij} \ langle X, e_k \ rangle

là où le c_ de $\{ij\}\; ^k$ sont les constantes de structure de l'algèbre de Lie.

Structure complexe

Une tubulure complexe de Poisson de est une tubulure de Poisson avec un presque complexe J de la structure de complexe ou de tels que la structure complexe préserve le bivector : le $de$

\ est parti (J \ otimes J \ droit) (\ eta) du = \ eta. \,

Les feuilles symplectic d'une tubulure de Poisson de complexe sont les Pseudo-Kähler tubulures

Voir également

Le Poisson-Se trouvent le groupe
Supermanifold de Poisson de
Tubulure de Nambu-Poisson de

.

Random links:

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