Tubulure Riemannian

Dans la géométrie Riemannian , une tubulure Riemannian ( M , g ) de (avec métrique Riemannian g de ) est un divers M du vrai différentiable du dans lequel chaque espace de tangente est équipé d'un g du produit intérieur en quelque sorte qui varie sans à-coup de point par point. Ceci permet à on de définir de diverses notions telles que des longueurs des angles des secteurs des courbes (ou les volumes , la courbure , les gradients des fonctions et la divergence des champs de vecteur en d'autres termes, une tubulure Riemannian est une tubulure différentiable en laquelle l'espace de tangente à chaque point est un espace de Hilbert fini-dimensionnel . Les limites sont baptisées du nom de Bernhard Riemann .

Introduction

Le paquet de tangente de d'un lissent le divers M de (ou en effet, tout paquet de vecteur de au-dessus d'une tubulure) est, à un point fixe, juste un espace de vecteur et chaque un tel espace peut porter un produit intérieur. Si une telle collection de produits intérieurs sur le paquet de tangente d'une tubulure varie sans à-coup en tant qu'une traverse la tubulure, alors des concepts qui étaient seulement pointwise défini à chaque espace de tangente peuvent être prolongés pour rapporter des notions analogues au-dessus des régions finies de la tubulure. Par exemple, un α doux de courbe ( t ) : 1 M de → a le α&prime de vecteur de tangente ; ( t ₀) dans le ∈ du t ₀ du M ( t ₀) de l'espace de tangente T à un point quelconque (0, 1), et chaque un tel vecteur a la longueur ||α&prime ; ( t ₀)||, où ||·|| dénote la norme induite par le produit intérieur sur le M ( t ₀) de T. Le intégral de ces longueurs donne la longueur du α de courbe : = de

L de  (\ alpha) \ int_0^1 {\|\ alpha^ {\ perfection} (t) \|\, \ mathrm {d} t}.

Dans beaucoup de cas, afin de passer d'un concept linéaire-algébrique à différentiel-géométrique, la condition de douceur est très importante.

Chaque submanifold doux du n de ^{du R a un métrique Riemannian induit g : le produit intérieur sur chaque espace de tangente est la restriction du produit intérieur sur le n} de ^{du R . En fait, comme suit du Nash incluant le théorème , toutes les tubulures Riemannian peuvent être réalisées de cette façon. En particulier on pourrait définir la tubulure Riemannian de comme espace métrique qui est le isométrique à un submanifold doux du n} de ^{du R avec le induit métrique intrinsèque, où isometry ici est signifié dans le sens de préserver la longueur des courbes. Cette définition ne pourrait pas théoriquement être assez flexible, mais il est tout à fait utile d'établir les premières intuitions géométriques dans la géométrie Riemannian .}

Tubulures Riemannian en tant qu'espaces métriques

Habituellement une tubulure Riemannian est définie comme tubulure douce avec une section douce des formes quadratiques positif-définies sur le paquet de tangente de . Alors on doit fonctionner pour prouver qu'il peut être tourné à un espace métrique :

Si γ : le M de → de '' b '' est une courbe sans interruption différentiable dans le divers Riemannian M , puis nous définissons son de longueur L (γ) dans l'analogie avec l'exemple ci-dessus près = de $L de (\ gamma) \ int_a^b \|\ gamma'(t) \|\, \ mathrm {d} t.$

Avec cette définition de longueur, chaque divers Riemannian M de relié par devient un espace métrique (et même un espace métrique de longueur de ) d'une mode normale : le de distance d ( X , y ) entre le X de points et le y du M est défini As d ( X , y ) de

= FNI {L (&gamma ;) : &gamma ; est un la jointure X de courbe sans interruption différentiable et le y }.

Quoique Riemannian les tubulures sont habituellement " ; curved" ; , il y a toujours une notion de " ; line" droit ; sur eux : les données géodésiques ceux-ci sont des courbes qui joignent localement leurs points le long des chemins les plus courts

Assumer la tubulure est le compact, deux points quelconques du X et le y peut être relié à un géodésique dont la longueur est le d ( X , y ). Sans compacité, ce besoin être vrai. Par exemple, dans le plat R ² de perforé par ; \ ; {0}, la distance entre les points (&minus ; 1, ; 0) et (1, ; 0) est 2, mais il n'y a aucun géodésique réalisant cette distance.

Propriétés

Dans des tubulures Riemannian, les notions de la perfection géodésique du , la perfection topologique du et la perfection métrique du sont les mêmes : que chacun implique l'autre est le contenu du théorème de Hopf-Rinow de .

Dans la culture populaire

Dans son Lobachevsky , Tom Lehrer de chanson de comédien est invité à écrire un papier sur le " ; Topologie analytique et algébrique de Metrizations localement euclidien des tubulures Riemannian infiniment différentiables, " ; à ce qu'il répond, " ; Ceci, je sais de nothing." ;

Voir également

la géométrie Riemannian
Tubulure de Finsler de
Tubulure Secondaire-Riemannian
Tubulure Pseudo-Riemannian
Tenseur métrique
De l'espace Riemannian symétrique faiblement

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