Triangle

Une triangle est l'une des formes de base de la géométrie : un polygone avec trois coins ou sommets et trois côtés ou bords qui sont ligne les segments droite du

Dans le euclidien trois points situés sur la même droite quelconques du non- de la géométrie déterminent une triangle et un avion unique , c. l'espace cartésien de bidimensionnel.

Types de triangles < ! -- Cette section est liée du théorème pythagorien -->

Des triangles peuvent être classifiées selon les longueurs relatives de leurs côtés :
Dans une triangle équilaterale de de , tous les côtés sont de longueur égale. Une triangle équilaterale est également un polygone isagone de de , c. tous ses angles internes sont equal&mdash ; à savoir, 60° ; c'est un polygone régulier
Dans une triangle isocèle , deux côtés sont de longueur égale. Une triangle isocèle a également deux angles égaux (à savoir, les angles vis-à-vis des côtés égaux). Une triangle équilaterale est une triangle isocèle, mais non toutes les triangles isocèles sont les triangles équilaterales.
Dans une triangle scalène , tous les côtés ont différentes longueurs. Les angles internes dans une triangle scalène sont tous différents.

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Equilateral	Isosceles	Scalene

Des triangles peuvent également être classifiées selon leurs angles internes, décrits ci-dessous using les degrés d'arc :
Triangle de de une bonne (ou triangle rectangle , autrefois appelée une triangle rectangled par ) a un angle interne de 90° (un à angle droit). Le côté vis-à-vis l'à angle droit est la hypoténuse ; c'est le plus long côté dans la bonne triangle. Les deux autres côtés sont les jambes de ou le catheti (singulier de : cathetus de de ) de la triangle.
Une triangle obtuse a un angle interne plus en grande partie que 90° (un angle obtus ).
Une triangle aiguë a les angles internes qui sont tous plus petit que 90° (trois angles aigus . Une triangle équilaterale est une triangle aiguë, mais non toutes les triangles aiguës sont les triangles équilaterales.
Une triangle oblique a seulement les angles qui sont plus petits ou plus en grande partie que 90°.

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Right	Obtuse	Acute
; colspan=" de	$\backslash \; underbrace\; \{\backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\}\; \{\}$
; colspan=" de	Oblique

Faits de base

Des faits élémentaires sur des triangles ont été présentés par le Euclid dans les livres 1-4 de ses éléments de autour du 300 BCE . Une triangle est un polygone et des 2 de - le recto (voir le Polytope ). Toutes les triangles sont deux le dimensionnel

Les angles d'une triangle ajoutent à 180 degrés. Un angle extérieur d'une triangle (un angle qui complète adjacente et à un angle interne) est toujours égal aux deux angles d'une triangle qu'il ne complète pas adjacent/à. Comme tous les polygones convexes du , les angles extérieurs d'une triangle ajoutent à 360 degrés.

La raison il a le " nommé ; triangle" ; est parce que son un mot composé avec des mots au sujet de la triangle. Significations : Triangle : Le Tri-Le mot pour le numéro 3, comme 1 est uni, 2 est Bi et etceteria. Angle : Chacun sait probablement ce mot, il signifie une ligne diagonale de n'importe quel angle.

La somme des longueurs de deux côtés quelconques d'une triangle dépasse toujours la longueur du troisième côté. C'est l'inégalité de triangle de . (Dans le cas spécial de l'égalité, deux des angles se sont effondrés pour classer zéro, et la triangle s'est dégénérée à une ligne segment.)

Deux triangles serait le semblable de si et seulement si les angles d'un sont égaux aux angles correspondants de l'autre. Dans ce cas-ci, les longueurs de leurs côtés correspondants sont le proportionnel. Ceci se produit par exemple quand deux triangles partagent un angle et les côtés vis-à-vis cet angle sont parallèles.

Quelques postulats et théorèmes de base au sujet des triangles semblables :
Deux triangles sont semblables si au moins deux angles correspondants sont égaux.
Si deux côtés correspondants de deux triangles sont dans la proportion, et leurs angles inclus sont égale, les triangles sont semblables.
Si trois côtés de deux triangles sont dans la proportion, les triangles sont semblables.

Pour que deux triangles soient conformes, chacun de leurs angles correspondants et les côtés doivent être égale (6 totaux). Quelques postulats et théorèmes de base au sujet des triangles conformes :
Postulat de SAS : Si deux côtés et les angles inclus de deux triangles sont également égaux, les deux triangles sont conformes.
Postulat de SSS : Si chaque côté de deux triangles sont également égal, les triangles sont conformes.
Postulat d'asa : Si deux angles et les côtés inclus de deux triangles sont également égaux, les deux triangles sont conformes.
Théorème d'aas : Si deux angles et n'importe quel côté de deux triangles sont également égaux, les deux triangles sont conformes.
Théorème de Hypoténuse-Jambe : Si les hypoténuses et une jambe de deux bonnes triangles sont également égales, les triangles sont conformes.

Using de bonnes triangles et le concept de la similitude, le sinus et le cosinus des fonctions trigonométriques peuvent être définis. Ce sont des fonctions d'un angle qui sont étudiées en trigonométrie .

Dans la géométrie euclidienne, la somme des angles internes d'une triangle est égale à 180°. Ceci permet la détermination du troisième angle de n'importe quelle triangle dès que deux angles seront connus.

Un théorème central est le théorème pythagorien , qui de énonce dans n'importe quelle bonne triangle, la place de la longueur des égales de la hypoténuse la somme des places des longueurs des deux autres côtés. Si la hypoténuse a le c de longueur, et les jambes ont le de longueurs un et le b , alors le théorème déclare cela

$a^2\; +\; b^2=c^2\; \backslash ,$

L'inverse est vraie : si les longueurs des côtés d'une triangle satisfont l'équation ci-dessus, alors la triangle est une bonne triangle.

Quelques autres faits sur de bonnes triangles :
Les angles aigus d'une bonne triangle sont le complémentaire.
Si les jambes d'une bonne triangle sont égales, alors les angles vis-à-vis des jambes sont égaux, aigus et complémentaires, et sont ainsi les deux 45 degrés. Par le théorème pythagorien, la longueur de la hypoténuse est la racine carrée de deux fois la longueur d'une jambe.
Dans une bonne triangle 30-60, dans laquelle les angles aigus mesurent 30 et 60 degrés, la hypoténuse est deux fois la longueur du côté plus court.
Dans toutes les bonnes triangles, la médiane sur la hypoténuse est la moitié de la hypoténuse. Pour toutes les triangles, des angles et les côtés sont rapportés par la loi de des cosinus et la loi de des sinus .

Les points, les lignes et les cercles se sont associés à une triangle

Il y a des centaines de différentes constructions qui trouvent un point spécial à l'intérieur d'une triangle, satisfaisant une certaine propriété unique : voir la section de références pour un catalogue de elles. Souvent elles sont construites en trouvant trois lignes associées d'une manière symétrique aux trois côtés (ou aux sommets) et puis en montrant que les trois lignes se réunissent dans un unique : un outil important pour prouver l'existence de ces derniers est le théorème de Ceva de , qui donne un critère pour déterminer quand trois telles lignes sont le concourant. De même, des lignes liées à une triangle sont souvent construites en montrant que trois points symétriquement construits sont le situé sur la même droite : ici le théorème de Menelaus de donne un critère général utile. Dans cette section juste uns des constructions commun-rencontrées sont expliqués.

Un bissecteur perpendiculaire d'une triangle est une ligne droite passant par le point médian d'un côté et étant perpendiculaire à lui, c. formant un à angle droit avec lui. Les trois bisectors perpendiculaires se réunissent dans un unique, le Circumcenter de la triangle ; ce point est le centre du Circumcircle , le cercle passant par chacun des trois sommets. Le diamètre de ce cercle peut être trouvé de la loi des sinus indiqués ci-dessus.

Le théorème de Thales de implique que si le circumcenter est situé d'un côté de la triangle, alors l'angle opposé est droit. Plus est vrai : si le circumcenter est situé à l'intérieur de la triangle, alors la triangle est aiguë ; si le circumcenter est situé en dehors de la triangle, alors la triangle est obtuse.

Une altitude d'une triangle est une ligne droite par un sommet et une perpendiculaire (c. formant un à angle droit avec) le côté opposé. Ce côté opposé s'appelle la base l'altitude, et le point où l'altitude intersecte la base (ou sa prolongation) s'appelle le pied l'altitude. La longueur de l'altitude est la distance entre la base et le sommet. Les trois altitudes intersectent dans un unique, appelé le Orthocenter de la triangle. L'orthocenter se trouve à l'intérieur de la triangle si et seulement si la triangle est aiguë. On dit que les trois sommets ainsi que l'orthocenter forment un système orthocentrique .

Un angle bissecteur de d'une triangle est une ligne droite par un sommet qui coupe l'angle correspondant dans la moitié. Les trois bisectors d'angle intersectent dans un unique, le Incenter , le centre du Incircle de la triangle. L'incircle est le cercle que les mensonges à l'intérieur de la triangle et touche chacun des trois côtés. Il y a trois autres cercles importants, le Excircles ils se trouvent en dehors du côté de triangle et de contact un aussi bien que les prolongements des autres deux. Les centres de l'in- et des excircles forment un système orthocentrique . clear=left> de
Un médian d'une triangle est une ligne droite par un sommet et le point médian du côté opposé, et divise la triangle en deux secteurs égaux. Les trois médianes intersectent dans un unique, le centroïde de la triangle. C'est également le centre du de la triangle de la gravité : si la triangle étaient fabriquées à partir de le bois par exemple vous pourriez l'équilibrer sur son centre de surface, ou sur n'importe quelle ligne par le centre de surface. Le centre de surface coupe chaque médiane dans le 2:1 de rapport, c. la distance entre un sommet et le centre de surface est deux fois plus grande que la distance entre le centre de surface et le point médian du côté opposé.

Les points médians tous des trois côtés et des pieds des trois altitudes se trouvent sur un cercle simple, le cercle de Neuf-point du de la triangle. Les trois points demeurants pour lesquels il est appelé sont les points médians de la partie d'altitude entre les sommets et le Orthocenter . Le rayon du cercle de neuf-point est moitié cela du circumcircle. Il touche l'incircle (au point de Feuerbach de ) et trois le Excircles clear=left> de
Le centre de surface (jaune), l'orthocenter (bleu), le circumcenter (vert) et le barycenter du cercle de neuf-point (point rouge) tous se trouvent sur une ligne simple, connue sous le nom de ligne (ligne rouge) d'Euler de . Le centre du cercle de neuf-point se trouve au point médian entre l'orthocenter et le circumcenter, et la distance entre le centre de surface et le circumcenter est moitié cela entre le centre de surface et l'orthocenter.

Le centre de l'incircle en général n'est pas situé sur la ligne d'Euler.

Si on reflète une médiane à l'angle bissecteur qui traverse le même sommet, on obtient un Symmedian . Les trois symmedians intersectent dans un unique, le point de Symmedian de de la triangle. clear=all> de

Calcul du secteur d'une triangle

Le calcul du secteur d'une triangle est un problème élémentaire produit souvent dans beaucoup de différentes situations. La formule la plus connue et et la plus simple est $S=\; de\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; bh$ là où $S$ est secteur, $b$ est la longueur de la base de la triangle, et $h$ est la taille ou l'altitude de la triangle. Le terme « base » dénote n'importe quel côté, et la « taille » dénote la longueur d'une perpendiculaire du point vis-à-vis du côté sur le côté elle-même.

Bien que simple, cette formule est seulement utile si la taille peut être aisément trouvée. Par exemple, l'arpenteur d'un champ triangulaire mesure la longueur de chaque côté, et peut trouver le secteur de ses résultats sans devoir construire une « taille ». De diverses méthodes peuvent être employées dans la pratique, selon ce qui est connu au sujet de la triangle. Ce qui suit est un choix des formules fréquemment utilisées pour le secteur d'une triangle.

Using des vecteurs

Le secteur d'un parallélogramme peut être calculé using les vecteurs . Laisser le ab de vecteurs et le point à C. de respectivement d'A à B et d'A à C. Le secteur du parallélogramme ABDC est alors |   du ab ; ×  ; C. de |, qui est l'importance du produit en travers du ab de vecteurs et du C. |   du ab ; ×  ; C. de | est égal à |   du h ; ×  ; C. de |, où le h représente le h d'altitude comme vecteur.

La région de l'ABC de triangle est moitié de ceci, ou   du S ; =  ; ½|   du ab ; ×  ; C.

La région de l'ABC de triangle peut également être exprimée en limite des produits scalaires comme suit :

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash racinecarré\; \{(\backslash \; mathbf\; \{ab\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{ab\})\; (\backslash \; mathbf\; \{\}\; à\; C.\})\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{\}\; d\text{'}ab\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{C.\})\; ^2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; racine\; carrée\; \{\; |\backslash \; mathbf\; \{ab\}|^2\; |\backslash \; mathbf\; \{C.\}|^2\; -\; (\backslash \; mathbf\; \{\}\; d\text{'}ab\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{C.$

Using la trigonométrie

L'altitude d'une triangle peut être trouvée par une application de la trigonométrie . Using l'étiquetage comme dans l'image du côté gauche, l'altitude est   du h ; =  ; un   de ; sin  ; γ. Substitution de ceci dans le   du S de formule ; =  ; le BH de ½ que a dérivé en haut, le secteur de la triangle peut être exprimé comme : = de $S\; de$

\ frac {1} {2} ab \ péché \ gamma = \ avant Jésus Christ du frac {1} {2} \ = de péché \ alpha \ frac {1} {2} Ca \ péché \ beta.

En outre, depuis le α de péché = le péché (π - α de ) = péché (β + γ), et pareillement pour les deux autres angles : = de $S\; de$

\ frac {1} {2} = d'ab \ péché (\ alpha+ \ bêta) \ frac {1} {2} avant Jésus Christ \ = de péché (\ beta+ \ gamma) \ frac {1} {2} Ca \ péché (\ gamma+ \ alpha).

Using des coordonnées

Si le sommet A est situé à l'origine (0,   ; 0) d'un système du même rang cartésien et les coordonnées les deux des autres sommets sont donnés par B  ; =  ; ( X _B,   ; y _B) et C  ; =  ; ( X _C,   ; le y _C), alors le S de secteur peut être calculé comme temps de ½ la valeur absolue du déterminant le $S=\; de$

\ frac {1} {2} \ sont partis|\ det \ commencent {\ de x_B et de x_C de pmatrix} \ y_B et y_C \ extrémité {pmatrix} \ droit| = \ frac {1} {2}|y_C de x_B - y_B de x_C|.

Pour trois sommets généraux, l'équation est : le $S=\; de$

\ frac {1} {2} \ sont partis| \ det \ commencent {\ de x_A et de x_B et de x_C de pmatrix} \ \ de y_A et de y_B et de y_C \ 1 et 1 et 1 \ extrémité {pmatrix} \ droit| = \ frac {1} {2} \ grand| y_C de x_A - y_B de x_A + y_A de x_B - y_C de x_B + y_B de x_C - y_A de x_C \ grand|.

Dans trois dimensions, le secteur d'une triangle de général {A  ; =  ; ( X _A,   ; y _A,   ; z _A), B  ; =  ; ( X _B,   ; y _B,   ; z _B) et C  ; =  ; ( X _C,   ; y _C,   ; z _C)} est la somme pythagorienne des domaines des projections respectives sur les trois principaux avions (c. X = 0, y = 0 et z = 0) :

$S=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; estparti(\backslash \; det\; \backslash \; commencent\; \{\backslash \; de\; x\_A\; et\; de\; x\_B\; et\; de\; x\_C\; de\; pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; de\; y\_A\; et\; de\; y\_B\; et\; de\; y\_C\; \backslash \; 1\; et\; 1\; et\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; droit)\; ^2\; +\; \backslash \; parti\; (\backslash \; det\; \backslash \; commencent\; \{\backslash \; de\; y\_A\; et\; de\; y\_B\; et\; de\; y\_C\; de\; pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; de\; z\_A\; et\; de\; z\_B\; et\; de\; z\_C\; \backslash \; 1\; et\; 1\; et\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; droit)\; ^2\; +\; \backslash \; (\backslash \; det\; \backslash \; commencent\; \{\backslash \; de\; z\_A\; et\; de\; z\_B\; et\; de\; z\_C\; de\; pmatrix\}\; \backslash \; \backslash \; de\; x\_A\; et\; de\; x\_B\; et\; de\; x\_C\; \backslash \; 1\; et\; 1\; et\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; droit)\; ^2\; laissé\}.$

Using la formule du héron

La forme de la triangle est déterminée par les longueurs seuls des côtés. Par conséquent le S de secteur peut également être dérivé des longueurs des côtés. Par la formule du héron de : = de $S\; de\; \backslash \; racine\; carrée\; \{s\; (SA)\; (Sb)\; (Sc)\}$

là où   du s ; =  ;   de ½ ; ( un   de ; +  ;   du b ; +  ; le c ) est le semiperimeter , ou moitié du périmètre de la triangle.

Une manière équivalente de la formule du héron d'écriture est

$S\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; \backslash \; racine\; carrée\; \{2\; (a^2\; b^2+a^2c^2+b^2c^2)\; -\; (a^4+b^4+c^4)\}.$

Triangles non plan

Une triangle non plan est une triangle qui n'est pas contenue dans l'avion (plat) d'a. Les exemples des triangles non plan dans les géométries noneuclidean sont les triangles sphériques dans la géométrie sphérique et les triangles hyperboliques dans la géométrie hyperbolique .

Tandis que tout le militaire de carrière, les triangles (bidimensionnelles) planaires contiennent les angles qui ajoutent à 180°, il y a des cas dans lesquels les angles d'une triangle peuvent être plus grands qu'ou moins que 180°. Dans les figures incurvées, une triangle sur une figure négativement incurvée (" ; saddle" ;) fera ajouter ses angles à moins que 180° tandis qu'une triangle sur une figure franchement incurvée (" ; sphere" ;) fera ajouter ses angles à plus que 180°. Ainsi, si on étaient de tracer une triangle géante sur la surface de la terre, on constaterait que la somme de ses angles étaient plus grande que 180°.

Voir également

liste des matières de triangle
Nombre triangulaire
Triangles spéciales bonnes
Point de Fermat de
Inégalité de Hadwiger-Finsler de
L'inégalité de Pedoe de
L'inégalité d'Ono de
Le théorème de Lester de
Congruence de (la géométrie)
Loi de des sinus
Loi de des cosinus
Loi de des tangentes

.

Random links:

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