Trellis (groupe)

Dans les mathématiques , particulièrement dans la géométrie et la théorie de groupe , un trellis dans le n de ^{du R est un sous-groupe discret du n} de ^{du R que le enjambe le vrai n} de ^{du R de l'espace de vecteur de du . Chaque trellis dans le n} de ^{du R peut être produit d'une base pour l'espace de vecteur en formant toutes les combinaisons linéaires avec des coefficients intégraux du . Un trellis peut être regardé comme carrelage régulier d'un espace par une cellule élémentaire .}

Les trellis ont beaucoup d'applications significatives dans des mathématiques pures, en particulier dans le raccordement à la théorie des nombres de des algèbres de Lie et à la théorie de groupe. Ils surgissent également dans des mathématiques appliquées en liaison avec la théorie de codage , et sont employés dans diverses manières en sciences physiques. Par exemple, en science des matériaux et physique solide , un trellis est un synonyme pour une structure cristalline , un choix à trois dimensions de points régulièrement espacés coïncidant avec l'atome ou des positions de la molécule dans un cristal . Plus généralement, les modèles de trellis de sont étudiés dans la physique , souvent par les techniques de la physique informatique .

Considérations et exemples de symétrie

Un trellis est le groupe de symétrie de de la symétrie de translation discret dans des directions du n . Un modèle avec ce trellis de symétrie de translation ne peut pas avoir plus, mais peut avoir moins de symétrie que le trellis lui-même.

Un trellis dans le sens des 3 - le choix dimensionnel du de points régulièrement espacés coïncidant avec par exemple l'atome ou des positions de la molécule dans un cristal , ou plus généralement, l'orbite d'une action de groupe sous la symétrie de translation, est une traduction du trellis de traduction : un Coset , qui n'a pas besoin de contenir l'origine, et n'a pas besoin donc d'être un trellis dans le sens précédent. Un exemple simple d'un trellis dans le n de ^{du R est le n} de ^{du Z de sous-groupe. Un exemple plus compliqué est le trellis de sangsue de , qui est un trellis dans le R ²⁴. Le trellis de période de dans le R ² est central à l'étude des fonctions elliptiques , développée dans des mathématiques du 19ème siècle ; il généralise à des dimensions plus élevées dans la théorie des fonctions abéliennes}

Division de l'espace selon un trellis

Un &Lambda typique de trellis ; dans le ^{du R le n} a ainsi le $de de forme \ Lambda = \ est parti \ {\ v_i d'a_i ^n de sum_ {i=1} \ ; | \ ; a_i \ dans \ Bbb {Z} \ droits \}$ là où { v ₁,…, n de _{de v } est une base pour le n de ^{du R . Les différentes bases peuvent produire du même trellis, mais la valeur absolue du déterminant du i}} de _{du v de vecteurs est uniquement déterminée par &Lambda ; , et est dénoté par d (&Lambda ;). Si on pense à un trellis en tant que division de la totalité de n de ^{du R en polyèdres égaux (copies de d'un n - parallélépipède dimensionnel , connues sous le nom de région fondamentale de du trellis), puis d (le &Lambda ;) est égal au n - le volume dimensionnel de ce polyèdre. C'est pourquoi d (&Lambda ;) s'appelle parfois le covolume de du trellis.}}

Points de trellis dans les ensembles convexes

Le théorème de Minkowski de rapporte le nombre d (le &Lambda ;) et le volume d'un symétrique de l'ensemble convexe S au nombre de points de trellis contenus dans le S . Le nombre de points de trellis a contenu dans un Polytope tout lequel des sommets sont les éléments du trellis est décrits par le Ehrhart polynôme des polytope. Les formules pour certains des coefficients de ce polynôme impliquent d (le &Lambda ;) aussi bien.

Calcul avec des trellis

La réduction de base de trellis de est le problème de trouver une base courte de trellis. L'algorithme de réduction de trellis de Lenstra-Lenstra-Lovász (LLL) trouve une base courte de trellis dans le temps polynôme ; il a trouvé de nombreuses applications, en particulier dans la cryptographie de Public-clef de .

Trellis dans deux dimensions : discussion détaillée

Il y a les cinq 2D types de trellis comme donné par le théorème cristallographique de restriction de . Au-dessous du groupe de papier peint du trellis est donné entre parenthèses ; noter qu'un modèle avec ce trellis de symétrie de translation ne peut pas avoir plus, mais peut avoir moins de symétrie que le trellis lui-même. Si le groupe de symétrie d'un modèle contient un n - rotation de pli puis le trellis a le n - plient la symétrie pour le n et 2 n même de - plier pour le impair n .
un trellis rhombique du de , également appelé par le trellis rectangulaire centré ou isocèle trellis triangulaire de (cmm), avec des rangées également espacées des points également espacés, avec les rangées un demi- alternatingly décalé espaçant (rangées symétriquement décalées) ; les cas spéciaux sont :
un trellis hexagonal de de ou trellis triangulaire équilateral (p6m) de
un trellis carré (voir ci-dessous, et tourner 45°) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
un trellis rectangulaire du de , également appelé le le trellis rectangulaire primitif (PMM), avec en tant que cas spécial un trellis carré (p4m) de de : * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
plus généralement, un trellis de Parallelogrammic de , également appelé le le trellis oblique (p2) (avec des rangées asymétriquement décalées) : * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Pour la classification d'un trellis donné, commencer par un point et accepter un deuxième point de vue le plus proche. Pour le troisième point, pas sur la même ligne, considérer ses distances aux deux points. Parmi les points pour lesquels le plus petit de ces deux distance est mineur, choisit un point pour lequel le plus grand des deux est mineur. (Pas logiquement l'équivalent mais dans le cas des trellis donnant le même résultat est juste " ; Choisir un point pour lequel le plus grand des deux est least" ;.)

Les cinq cas correspondent à la triangle étant isocèles, exacts équilateral et droit, isocèles, et scalènes. Dans un trellis rhombique, la distance la plus courte peut être une diagonale ou un côté du losange, c., la ligne segment reliant les deux premiers des points mai ou mai pour ne pas être l'un des côtés égaux de la triangle isocèle. Ceci dépend de l'angle plus petit du losange étant moins que 60° ou entre 60° et 90°.

Le cas général est connu comme trellis de période de . Si le p de vecteurs et le q produisent du trellis, au lieu du p et du q nous pouvons également prendre le p et le p - le q , etc. En général dans le 2D, nous pouvons prendre à un p de + q du b et p du c + du d q pour le de nombres entiers un , le b , le c et le d tels que l'annonce-avant Jésus Christ de est 1 ou -1. Ceci s'assure que le p et le q eux-mêmes sont des combinaisons linéaires de nombre entier les deux des autres vecteurs. Chaque p , le q de paires définit un parallélogramme, tout avec le même secteur, l'importance du produit en travers . Un parallélogramme définit entièrement l'objet entier. Sans davantage de symétrie, ce parallélogramme est un parallélogramme fondamental .

Le p de vecteurs et le q peuvent être représentés par des nombres complexes. Jusqu'à la taille et à l'orientation, une paire peut être représentée par leur quotient. Exprimé géométriquement : si deux points de trellis sont 0 et 1, nous considérons la position d'un troisième point de trellis. L'équivalence dans le sens de produire du même trellis est représentée par le groupe modulaire : $T : z \ mapsto z+1$ représente choisir un troisième point différent dans la même grille, $S : z \ mapsto -1/z$ représente choisir un côté différent de la triangle comme côté de référence 0-1, qui implique en général changer la graduation du trellis, et le tourner. Chaque " ; triangle" incurvé ; dans l'image contient pour chaque 2D nombre complexe de la forme une de trellis, les zones grises sont une représentation canonique, correspondant à la classification ci-dessus, à 0 et 1 deux treillagent les points qui sont les plus étroits entre eux ; la duplication est évitée en incluant seulement la moitié de la frontière. Les trellis rhombiques sont représentés par les points sur sa frontière, avec le trellis hexagonal comme sommet, et le i pour le trellis carré. Les trellis rectangulaires sont à l'axe imaginaire, et le secteur restant représente les trellis parallelogrammetic, avec l'image de miroir d'un parallélogramme représenté par l'image de miroir à l'axe imaginaire.

Trellis dans trois dimensions

Les 14 que le trellis dactylographie dedans 3D s'appellent le des trellis de Bravais de de . Ils sont caractérisés par leur groupe d'espace . les modèles 3D avec la symétrie de translation d'un type particulier ne peuvent pas avoir plus, mais peuvent avoir moins de symétrie que le trellis lui-même.

Trellis dans l'espace complexe

Un trellis dans le n de ^{du C est un sous-groupe discret du n} de ^{du C qui enjambe 2 le n - le vrai dimensionnel n} de ^{du C de l'espace de vecteur. Par exemple, la forme gaussienne des nombres entiers un trellis dans le C .}

Chaque trellis dans le n de ^{du R est un groupe abélien libre n du grade ; chaque trellis dans le n} de ^{du C est un groupe abélien libre de n du grade 2.}

Dans des groupes de Lie

Plus généralement, un &Gamma du trellis ; dans un G du groupe de Lie est un sous-groupe discret , tels de que le G /&Gamma du quotient ; est de la mesure finie, parce que la mesure là-dessus a hérité de la mesure de Haar de sur le G (gauche-invariable, ou la définition droit-invariable-le est l'indépendant de ce choix). Ce sera certainement le cas quand le G /&Gamma ; est le compact, mais cet état suffisant n'est pas nécessaire, comme est montré par le cas du groupe modulaire dans le '' SL '' ₂ (''' de ''' R) , qui est un trellis mais où le quotient n'est pas compact (il a les tranchants de ). Il y a des résultats généraux énonçant l'existence des trellis dans des groupes de Lie.

Un trellis serait l'uniforme ou le cocompact si le G /&Gamma ; est compact ; autrement le trellis s'appelle le non-uniforme.

Trellis au-dessus des vecteur-espaces généraux

Tandis que nous considérons normalement des trellis de $\ mathbb {Z}$ dans le $\ mathbb {R} ^n$ ce concept peut être généralisé à n'importe quel espace de vecteur dimensionnel fini au-dessus de n'importe quel champ . Ceci peut être fait comme suit :

Laisser $K$ être un champ , laisser $V$ être un espace de vecteur de de $n$ -dimensional $K$ - , laisser = de $B \ {\ mathbf {v} _1, \ ldots, \ _n de mathbf {v} \}$ soit une base de $K$ - pour $V$ et laisser $R$ soit un anneau contenu dans $K$ . Puis le $de trellis de R \ {L}$ mathcal dans $V$ produit par $B$ est donné par :

$de mathbf {v} | \ a_i de quadruple \ dans R, \ _i du mathbf {v} \ à B \ droit \}.$

Les différentes bases $B$ produiront en général de différents trellis. Cependant, si la matrice de transition $T$ entre les bases est dans le $GL_n (R)$ - le groupe linéaire général de R (en termes simples ceci signifie que toutes les entrées de $T$ sont dans $R$ et toutes les entrées du $T^ {- 1}$ être dans $R$ - qui est équivalent à dire que le que déterminant de $T$ est dans le $R^ {*}$ - le groupe de base des éléments dans $R$ avec des inverses multiplicatifs) alors les trellis produits par ces bases sera isomorphe puisque $T$ induit un isomorphisme entre les deux trellis.

Les cas importants se produisent en nombre théorie avec le K un champ de P-adic de et le R les nombres entiers de P-adic de

Voir également

Trellis réciproque
Trellis Unimodular
Système en cristal
Théorème de la compacité de Mahler de

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