Transformation projective

= t_s (D).

Laissé t_s de $de$

(x) = {\ alpha X + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma X \ delta},

alors les trois conditions pour le t_s(x) sont remplies quand t_s de $de$

(A) = {\ alpha A + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma A \ delta} = \, infty \ t_s $de\; qquad\; \backslash$
de qquad (7) (B) = {\ alpha B + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma B \ delta} = 0, \ t_s $de\; qquad\; \backslash$
de qquad (8) (C) = {\ alpha C + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma C \ delta} = 1. \ qquad \ qquad (9)

L'équation (7) implique ce $\backslash \; +\; de\; gamma\; A\; \backslash \; delta\; =\; 0$, donc le $\backslash \; delta\; =\; -\; \backslash \; gamma\; A$. L'équation (8) implique ces $\backslash \; alpha\; B\; +\; \backslash \; bêta\; =\; 0$, de sorte que $\backslash \; bêta\; =\; -\; \backslash \; alpha\; B$. L'équation (9) devient $de$

{\ alpha C - \ alpha B \ au-dessus de \ - du gamma C \ gamma A} = 1,

ce qui implique = de $\backslash \; gamma\; de$

\ alpha {C - B \ au-dessus de C - A}.

Par conséquent - des t_s de $de$

(D) = {\ alpha D - \ alpha B \ au-dessus de \ alpha \ parti ({C - B \ au-dessus de C - A} \ droit) D \ gamma A} = {\ alpha (D - B) \ au-dessus de \ alpha \ parti ({C - B \ au-dessus de C - A} \ droit) D - \ d'alpha \ laissé ({C - B \ au-dessus de C - A} \ droit) $de\; d\text{'}A\}$ = {D - B \ au-dessus de C - B} {C - A \ au-dessus de D - A} = {A - C \ au-dessus d'A - D} {B - D \ au-dessus de B - C}. \ qquad \ qquad (10)

Dans l'équation (10), on le voit que le t_s ( D ) ne dépend pas des coefficients du t_s de projection. Il dépend seulement des positions des points sur le " ; subjective" ; ligne projective. Ceci signifie que le croix-rapport dépend seulement des distances relatives parmi quatre points situés sur la même droite , et pas sur la transformation projective qui a été employée pour obtenir (ou définir) le croix-rapport. Le rapport en travers est donc $de\; =\; \{A\; -\; C\; \backslash \; au-dessus\; d\text{'}A\; -\; D\}\; \{B\; -\; D\; \backslash \; au-dessus\; de\; B\; -\; C\}.\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (11)$

Conservation de croix-rapport

(x) = {\ alpha X + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma X \ delta}

là où $\backslash \; alpha\; \backslash \; delta\; \backslash \; Ne\; \backslash \; bêta\; \backslash \; gamma$. Puis $S\; de$

(B) S (C) S (D) = alpha A + \ bêta \ au-dessus de \ gamma A + \ delta} - {\ alpha C + \ bêta \ au-dessus de \ gamma C + \} de delta \ plus de {\ alpha A + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma A \ delta} - {\ alpha D + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma D \ delta \ cdot alpha B + \ bêta \ au-dessus de \ gamma B + \ delta} - {\ alpha D + \ bêta \ au-dessus de \ gamma D + \} de delta \ plus de {\ alpha B + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma B \ delta} - {\ alpha C + \ bêta \ au-dessus de \ + de gamma C \ delta $de$

de
= {A + \ bêta) (\ + de gamma C \ delta) - (\ alpha C + \ bêta) (\ + de gamma A \ delta) B + \ bêta) (\ + de gamma D \ delta) - (\ alpha D + \ bêta) (\ gamma B + \) de delta \ au-dessus de A + \ bêta) (\ + de gamma D \ delta) - (\ alpha D + \ bêta) (\ + de gamma A \ delta) B + \ bêta) (\ + de gamma C \ delta) - (\ alpha C + \ bêta) (\ + de gamma B \ delta)} $de$

de
= {A \ delta + \ bêta \ gamma C - \ alpha C \ delta - \ bêta \ gamma A B \ delta + \ bêta \ gamma D - \ alpha D \ delta - \ bêta \ gamma B \ au-dessus d'A \ de delta + \ bêta \ gamma D - \ alpha D \ delta - \ bêta \ gamma A B \ delta + \ bêta \ gamma C - \ alpha C \ delta - \ bêta \ gamma B} $de$

de
= {\ delta (A - C) + \ bêta \ gamma (C - A) \ delta (B - D) + \ bêta \ gamma (D - B) \ au-dessus de \ delta (A - D) + \ bêta \ gamma (D - A) \ delta (B - C) + \ bêta \ gamma (C - B)} $de$

de
= {(\ alpha \ delta - \ bêta \ gamma) (A - C) (\ alpha \ delta - \ bêta \ gamma) (B - D) \ au-dessus de (\ alpha \ delta - \ bêta \ gamma) (A - D) (\ alpha \ delta - \ bêta \ gamma) (B - C)}

$=\; \{A\; -\; C\; \backslash \; au-dessus\; d\text{'}A\; -\}\; de\; D\; \backslash \; cdot\; \{B\; -\; D\; \backslash \; au-dessus\; de\; B\; -\; C\}$ Par conséquent S (B) S (C) S (D) = B C D, Q.

Transformations sur l'avion projectif

Des transformations planaires peuvent être définies synthétiquement comme suit : de point X sur un " ; subjective" ; l'avion doit être transformé à un de point T également sur l'avion subjectif. Les transformations utilise ces outils : une paire de " ; points" d'observation ; P et Q , et un " ; objective" ; avion. Les avions subjectifs et objectifs et les deux points tout le mensonge dans l'espace tridimensionnel, et les deux avions peuvent intersecter à une certaine ligne.

Tracer la ligne le l ₁ par le P de points et le X . La ligne le l ₁ intersecte l'avion objectif au R de point. Tracer la ligne le l ₂ par le Q de points et le R . La ligne le l ₂ intersecte l'avion projectif au T de point. Alors le T est le projectif transforment du X .

Analyse

z = f (x, y) = m X + n y + b

là où le m de constantes et le n sont partiels les pentes et le b est le z - interception.

Laissé il y ait des paires de " ; observation" ; P de points et Q , $P\; de$

: (P_x, P_y, P_z), $Q$ : (Q_x, Q_y, Q_z).

Laisser le mensonge du X de point sur le " ; subjective" ; avion : $X\; de$

: (x, y, 0).

Le X de point doit être transformé à un T de point, $T\; de$

: (T_x, T_y, 0)

également sur le " ; subjective" ; avion.

Les résultats analytiques sont des paires d'équations, une pour le T_x de l'abscisse et une pour le T_y de l'ordonnée :

$T\_x\; =\; \{x\; (-\; m\; Q\_x\; P\_z\; -\; n\; Q\_z\; P\_y\; +\; Q\_z\; (P\_z\; -\; b))\; +\; (n\; y\; +\; b)\; ()\; de\; Q\_z\; P\_x\; -\; de\; Q\_x\; P\_z\; \backslash \; plus\; de\; (m\; X\; +\; n\; y)\; (Q\_z\; -\; P\_z)\; -\; (\_x\; de\; M.\; +\; n\; P\_y)\; Q\_z\; +\; (Q\_z\; -\; b)\; P\_z\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (12)$

$T\_y\; =\; \{y\; (-\; n\; Q\_y\; P\_z\; -\; m\; Q\_z\; P\_x\; +\; Q\_z\; (P\_z\; -\; b))\; +\; (m\; X\; +\; b)\; ()\; de\; Q\_z\; P\_y\; -\; de\; Q\_y\; P\_z\; \backslash \; plus\; de\; (n\; y\; +\; m\; x)\; (Q\_z\; -\; P\_z)\; -\; (\_x\; de\; n\; P\_y\; +\; de\; M.)\; Q\_z\; +\; (Q\_z\; -\; b)\; P\_z\}.\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (13)$

Il y a (tout au plus) neuf degrés de liberté pour définir une 2D transformation : P_x , P_y , P_z , Q_x , Q_y , Q_z , m , n , b . Noter que les équations (12) et (13) ont les mêmes dénominateurs, et que le T_y peut être obtenu à partir du T_x en échangeant le m avec le n , et le X avec le y (indices inférieurs y compris de P et de Q ).

Transformations trilinéaires

= - m Q_x P_z - n Q_z P_y + Q_z (P_z - b), $$ \ bêta = n (Q_z P_x - Q_x P_z), $$ \ gamma = b (Q_z P_x - Q_x P_z), $$ \ delta = m (Q_z - P_z), $$ \ epsilon = n (Q_z - P_z), $$ \ zéta = - (_x de M. + n P_y) Q_z + (Q_z - b) P_z,

de sorte que $T\_x\; de$

= {\ alpha X + \ bêta y + \ gamma \ au-dessus de \ delta X + \ y + epsilon \ zéta}. \ qquad \ qquad (14)

Laisser également $\backslash \; eta\; =\; m\; de$

(Q_z P_y - Q_y P_z), $$ \ thêta = - m Q_z P_x - n Q_y P_z + Q_z (P_z - b), $$ \ kappa = b (Q_z P_y - Q_y P_z),

de sorte que $T\_y\; de$

= {\ eta X + \ + de thêta y \ kappa \ au-dessus de \ delta X + \ y + epsilon \ zéta}. \ qquad \ qquad (15)

Les équations (14) et (15) décrivent ensemble la transformation trilinéaire.

Composition des transformations trilinéaires

$M\_T\; =\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; alpha\; et\; \backslash \; bêta\; et\; \backslash \; gamma\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; eta\; et\; \backslash \; et\; de\; thêta\; \backslash \; kappa\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; delta\; et\; \backslash \; et\; d\text{'}epsilon\; \backslash \; zéta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$

S'il y a un T ₁ de paires et le T ₂ des transformations planaires dont les matrices de coefficient sont $M\_\; \{T\_1\}$ et $M\_\; \{T\_2\}$, alors la composition de ces transformations est un autre planaire T ₃ de transformation, $de$

T_3 = T_2 \ circ T_1,

tels que $T\_3\; (x\; de$

, y) = T_2 (T_1 (x, y)).

La matrice de coefficient du T ₃ peut être obtenue en multipliant les matrices de coefficient du T ₂ et du T ₁ :

$M\_\; \{T\_3\}\; =\; M\_\; \{T\_2\}\; \backslash ,\; M\_\; \{T\_1\}.$

Preuve

= {\ alpha_1 X + \ beta_1 y + \ gamma_1 \ au-dessus de \ delta_1 X + \ epsilon_1 y + \ zeta_1}, $T\_\; \{1y\}$ = {\ eta_1 X + \ theta_1 y + \ kappa_1 \ au-dessus de \ delta_1 X + \ epsilon_1 y + \ zeta_1}, et donné T₂ défini par le $T\_\; \{2x\}\; de\; =\; \{\backslash \; alpha\_2\; X\; +\; \backslash \; beta\_2\; y\; +\; \backslash \; gamma\_2\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\_2\; X\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; y\; +\; \backslash \; zeta\_2\},$ T\_\; \{2y\}$=\; \{\backslash \; eta\_2\; X\; +\; \backslash \; theta\_2\; y\; +\; \backslash \; kappa\_2\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\_2\; X\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; y\; +\; \backslash \; zeta\_2\},$

alors le T ₃ peut être calculé en substituant le T ₁ dans le T ₂, $T\_\; \{3x\}\; de$

= T_ {2x} (T_ {1x}, T_ {1y}) = {\ alpha_2 \ parti ({\ alpha_1 X + \ beta_1 y + \ gamma_1 \ au-dessus de \ delta_1 X + \ epsilon_1 y + \ zeta_1} \ droit) + \ beta_2 \ (+ eta_1 X + \ theta_1 y + {\ kappa_1 \ au-dessus de \ delta_1 X + \ epsilon_1 y \ zeta_1 \} \ droit) + laissé \ gamma_2 \ au-dessus de \ delta_2 \ est parti (+ alpha_1 X + \ beta_1 y + {\ gamma_1 \ au-dessus de \ delta_1 X \ epsilon_1 \ y + \ zeta_1} \) + droit \ epsilon_2 \ (+ eta_1 X + \ theta_1 y + {\ kappa_1 \ au-dessus de \ delta_1 X + \ epsilon_1 y \ zeta_1 \} \ droit) + laissé \ zeta_2}.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même trinôme,

$T\_\; \{3x\}\; =\; \{\backslash \; alpha\_2\; (\backslash \; alpha\_1\; X\; +\; \backslash \; beta\_1\; y\; +\; \backslash \; gamma\_1)\; +\; \backslash \; beta\_2\; (\backslash \; eta\_1\; X\; +\; \backslash \; theta\_1\; y\; +\; \backslash \; kappa\_1)\; +\; \backslash \; gamma\_2\; (\backslash \; alpha\_1\; X\; +\; \backslash \; beta\_1\; y\; +\; \backslash \; gamma\_1)\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; (\backslash \; eta\_1\; X\; +\; \backslash \; theta\_1\; y\; +\; \backslash \; kappa\_1)\; +\; (\backslash \; delta\_1\; X\; +\; \backslash \; epsilon\_1\; y\; +\; \backslash \; zeta\_1)\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\_2\; \backslash \; zeta\_2\; (\backslash \; delta\_1\; X\; +\; \backslash \; epsilon\_1\; y\; +\; \backslash \; zeta\_1)\}.$

Grouper les coefficients de X , de y , et de 1 :

$T\_\; \{3x\}\; =\; \{x\; (\backslash \; alpha\_2\; \backslash \; alpha\_1\; +\; \backslash \; beta\_2\; \backslash \; eta\_1\; +\; \backslash \; gamma\_2\; \backslash \; delta\_1)\; +\; y\; (\backslash \; alpha\_2\; \backslash \; beta\_1\; +\; \backslash \; beta\_2\; \backslash \; theta\_1\; +\; \backslash \; gamma\_2\; \backslash \; epsilon\_1)\; +\; (\backslash \; alpha\_2\; \backslash \; gamma\_1\; +\; \backslash \; beta\_2\; \backslash \; kappa\_1)\; gamma\_2\; \backslash \; zeta\_1\; \backslash \; au-dessus\; +\; \backslash \; de\; x\; (\backslash \; delta\_2\; \backslash \; alpha\_1\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; \backslash \; eta\_1\; +\; \backslash \; zeta\_2\; \backslash \; delta\_1)\; +\; y\; (\backslash \; delta\_2\; \backslash \; beta\_1\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; \backslash \; theta\_1\; +\; \backslash \; zeta\_2\; \backslash \; epsilon\_1)\; +\; (\backslash \; delta\_2\; \backslash \; gamma\_1\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; \backslash \; kappa\_1\; +\; \backslash \; zeta\_2\; \backslash \; zeta\_1)\}\; =\; \{\backslash \; alpha\_3\; X\; +\; \backslash \; beta\_3\; y\; +\; \backslash \; gamma\_3\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\_3\; X\; +\; \backslash \; epsilon\_3\; y\; +\; \backslash \; zeta\_3\}.$

Ces six coefficients de T ₃ sont identiques que ceux obtenus par le produit

$\backslash \; commencent\; \{\backslash \}\; \backslash \; alpha\_2\; et\; \backslash \; beta\_2\; et\; \backslash \; gamma\_2\; \backslash \; de\; bmatrix\; \backslash \; eta\_2\; et\; \backslash \; theta\_2\; et\; \backslash \; kappa\_2\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; delta\_2\; et\; \backslash \; epsilon\_2\; et\; \backslash \; zeta\_2\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commencent\; \{\backslash \; de\; bmatrix\}\; \backslash \; alpha\_1\; et\; \backslash \; beta\_1\; et\; \backslash \; gamma\_1\; \backslash \; \backslash \; eta\_1\; et\; \backslash \; theta\_1\; et\; \backslash \; kappa\_1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; delta\_1\; et\; \backslash \; epsilon\_1\; et\; \backslash \; zeta\_1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{\backslash \; de\; bmatrix\}\; \backslash \; alpha\_3\; et\; \backslash \; beta\_3\; et\; \backslash \; gamma\_3\; \backslash \; \backslash \; eta\_3\; et\; \backslash \; theta\_3\; et\; \backslash \; kappa\_3\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; delta\_3\; et\; \backslash \; epsilon\_3\; et\; \backslash \; zeta\_3\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (16)$

Les trois coefficients demeurants peuvent être vérifiés ainsi $T\_\; \{3y\}\; de$

= T_ {2y} (T_ {1x}, T_ {1y}) = {\ eta_2 \ parti ({\ alpha_1 X + \ beta_1 y + \ gamma_1 \ au-dessus de \ delta_1 X + \ epsilon_1 y + \ zeta_1} \ droit) + \ theta_2 \ (+ eta_1 X + \ theta_1 y + {\ kappa_1 \ au-dessus de \ delta_1 X + \ epsilon_1 y \ zeta_1 \} \ droit) + laissé \ kappa_2 \ au-dessus de \ delta_2 \ est parti (+ alpha_1 X + \ beta_1 y + {\ gamma_1 \ au-dessus de \ delta_1 X \ epsilon_1 \ y + \ zeta_1} \) + droit \ epsilon_2 \ (+ eta_1 X + \ theta_1 y + {\ kappa_1 \ au-dessus de \ delta_1 X + \ epsilon_1 y \ zeta_1 \} \ droit) + laissé \ zeta_2}.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même trinôme,

$T\_\; \{3y\}\; =\; \{\backslash \; eta\_2\; (\backslash \; alpha\_1\; X\; +\; \backslash \; beta\_1\; y\; +\; \backslash \; gamma\_1)\; +\; \backslash \; theta\_2\; (\backslash \; eta\_1\; X\; +\; \backslash \; theta\_1\; y\; +\; \backslash \; kappa\_1)\; +\; \backslash \; kappa\_2\; (\backslash \; alpha\_1\; X\; +\; \backslash \; beta\_1\; y\; +\; \backslash \; gamma\_1)\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; (\backslash \; eta\_1\; X\; +\; \backslash \; theta\_1\; y\; +\; \backslash \; kappa\_1)\; +\; (\backslash \; delta\_1\; X\; +\; \backslash \; epsilon\_1\; y\; +\; \backslash \; zeta\_1)\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\_2\; \backslash \; zeta\_2\; (\backslash \; delta\_1\; X\; +\; \backslash \; epsilon\_1\; y\; +\; \backslash \; zeta\_1)\}.$

Grouper les coefficients de X , de y , et de 1 :

$T\_\; \{3x\}\; =\; \{x\; (\backslash \; eta\_2\; \backslash \; alpha\_1\; +\; \backslash \; theta\_2\; \backslash \; eta\_1\; +\; \backslash \; kappa\_2\; \backslash \; delta\_1)\; +\; y\; (\backslash \; eta\_2\; \backslash \; beta\_1\; +\; \backslash \; theta\_2\; \backslash \; theta\_1\; +\; \backslash \; kappa\_2\; \backslash \; epsilon\_1)\; +\; (\backslash \; eta\_2\; \backslash \; gamma\_1\; +\; \backslash \; theta\_2\; \backslash \; kappa\_1)\; kappa\_2\; \backslash \; zeta\_1\; \backslash \; au-dessus\; +\; \backslash \; de\; X\; (\backslash \; delta\_2\; \backslash \; alpha\_1\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; \backslash \; eta\_1\; +\; \backslash \; zeta\_2\; \backslash \; delta\_1)\; +\; y\; (\backslash \; delta\_2\; \backslash \; beta\_1\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; \backslash \; theta\_1\; +\; \backslash \; zeta\_2\; \backslash \; epsilon\_1)\; +\; (\backslash \; delta\_2\; \backslash \; gamma\_1\; +\; \backslash \; epsilon\_2\; \backslash \; kappa\_1\; +\; \backslash \; zeta\_2\; \backslash \; zeta\_1)\}\; =\; \{\backslash \; eta\_3\; X\; +\; \backslash \; theta\_3\; y\; +\; \backslash \; kappa\_3\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\_3\; X\; +\; \backslash \; epsilon\_3\; y\; +\; \backslash \; zeta\_3\}.$

Les trois coefficients restants juste obtenus sont identiques que ceux obtenus par l'équation (16).

Transformations planaires des lignes

y = m X + b

dans une autre ligne droite $T\_y\; =\; n\; T\_x\; +\; c$ de

à là où le n et le c sont des constantes et égalent

$n\; =\; \{m\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; kappa\; -\; \backslash \; zéta\; \backslash \; thêta)\; +\; b\; (\backslash \; -\; de\; delta\; \backslash \; thêta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; eta)\; +\; (\backslash \; delta\; \backslash \; kappa\; -\; \backslash )\; de\; zéta\; \backslash \; eta\; \backslash \; au-dessus\; de\; m\; (\backslash \; de\; -\; epsilon\; \backslash \; gamma\; \backslash \; zéta\; \backslash \; bêta)\; +\; b\; (\backslash \; delta\; \backslash \; bêta\; -\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; alpha)\; +\; (\backslash \; -\; de\; delta\; \backslash \; gamma\; \backslash \; zéta\; \backslash \; alpha)\}$

et

$c\; =\; \{m\; (\backslash \; bêta\; \backslash \; kappa\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; thêta)\; +\; b\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; thêta\; -\; \backslash \; bêta\; \backslash \; eta)\; +\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; kappa\; -\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash \; eta\; \backslash \; au-dessus\; de\; m\; (\backslash \; -\; de\; bêta\; \backslash \; zéta\; \backslash \; gamma\; \backslash \; epsilon)\; +\; b\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; epsilon\; -\; \backslash \; bêta\; \backslash \; delta)\; +\; (\backslash \; -\; d\text{'}alpha\; \backslash \; zéta\; \backslash \; gamma\; \backslash \; delta)\}.$

Preuve

$T\_x\; =\; \{\backslash \; alpha\; X\; +\; \backslash \; bêta\; (m\; X\; +\; b)\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\; X\; +\; \backslash \; epsilon\; (m\; X\; +\; b)\; +\; \backslash \; zéta\}\; =\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; X\; +\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash \; plus\; de\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; X\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\},$

et

$T\_y\; =\; \{(\backslash \; eta\; +\; \backslash \; thêta\; m)\; X\; +\; (\backslash \; thêta\; b\; +\; \backslash )\; de\; kappa\; \backslash \; plus\; de\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; X\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\}.$

Si le T_y = n T_x + c et le n et le c sont des constantes, puis $de$

{\ T_y partiel \ au-dessus de \ x partiel} = n {\ T_x partiel \ au-dessus de \ x partiel}

de sorte que $de$

n = {\ T_y partiel/\ x partiel \ au-dessus de \ T_x partiel/\ y partiel}. Le calcul montre ce $de\; \{\backslash \; T\_x\; partiel\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; x\; partiel\}\; =\; \{(\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; -\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; \backslash \; au-dessus\; de\; +\; \backslash \; epsilon\; m)\; X\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\; ^2\}$

et $de$

{\ T_y partiel \ au-dessus de \ x partiel} = {(\ b + epsilon \ zéta) (\ + d'eta \ thêta m) - (\ + de thêta b \ kappa) (\ + de delta \ epsilon m) \ au-dessus de + \ epsilon m) X + (\ b + epsilon \ zéta) ^2}

donc $de$

n = {\ T_y partiel/\ x partiel \ au-dessus de \ T_x partiel/\ y partiel} = {(\ b + epsilon \ zéta) (\ + d'eta \ thêta m) - (\ + de thêta b \ kappa) (\ + de delta \ epsilon m) \ au-dessus de (\ b + epsilon \ zéta) (\ alpha + \ bêta m) - (\ bêta b + \ gamma) (\ + de delta \ epsilon m)}.

Nous devrions maintenant obtenir le c pour être le $de$

c = T_y - $de\; de$
de n T_x = {(\ + d'eta \ thêta m) X + (\ + de thêta b \ kappa) - \ est parti {(\ b + epsilon \ zéta) (\ + d'eta \ thêta m) - (\ + de thêta b \ kappa) (\ + de delta \ epsilon m) \ au-dessus de (\ b + epsilon \ zéta) (\ alpha + \ bêta m) - (\ bêta b + \ gamma) (\ + de delta \ epsilon m)} \ droit \ cdot (\ alpha + \ bêta m) X + (\ bêta b + \) de gamma \ plus de (\ + de delta \ epsilon m) X + (\ b + epsilon \ zéta)}. Ajouter les deux fractions dans le numérateur : $de\; c\; =\; \{\backslash \; laissé\; \backslash \; \{b\; +\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; -\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; delta\; +\; \backslash \; +\; d\text{'}epsilon\; m)\; \backslash \; thêta\; m)\; X\; +\; (\backslash \; +\; de\; thêta\; b\; \backslash \; kappa)\; -\; b\; +\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; +\; d\text{'}eta\; \backslash \; thêta\; m)\; -\; (\backslash \; +\; de\; thêta\; b\; \backslash \; kappa)\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; X\; +\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; droit\; \backslash \}\; \backslash \; plus\; de\; +\; \backslash \; epsilon\; m)\; X\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\; b\; +\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; -\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\}.$

Distribuer les binômes entre parenthèses dans le numérateur, puis décommander dehors les limites égales et opposées :

$c\; =\; \{-\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; (\backslash \; +\; d\text{'}eta\; \backslash \; thêta\; m)\; X\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; (\backslash \; +\; de\; thêta\; b\; \backslash \; kappa)\; +\; (\backslash \; +\; de\; thêta\; b\; \backslash \; kappa)\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; X\; -\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; eta\; +\; \backslash \; thêta\; m)\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash \; au-dessus\; de\; +\; \backslash \; epsilon\; m)\; X\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\; b\; +\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; -\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\}.$

Factoriser le numérateur dans une paire de limites, seulement une d'entre elles ayant le cossicus ( X ) de numerus de . Il y a un autre cossicus de numerus dans le dénominateur. L'objectif est maintenant d'obtenir les deux pour décommander dehors.

$c\; =\; \{\backslash \; laissé\; \backslash \; \{b\; +\; \backslash \; kappa)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; -\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; +\; d\text{'}eta\; \backslash \; thêta\; m)\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; X\; +\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; (\backslash \; +\; de\; thêta\; b\; \backslash \; kappa)\; -\; (\backslash \; +\; d\text{'}eta\; \backslash \; thêta\; m)\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\; \backslash \; droit\; \backslash \}\; \backslash \; au-dessus\; du\; +\; \backslash \; epsilon\; m)\; X\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\; b\; +\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; -\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\}.$

Factoriser le numérateur, $de$

c = {b + \ kappa) (\ alpha + \ bêta m) - (\ bêta b + \ gamma) (\ eta + \ thêta m) + \ epsilon m) X + (\ epsilon b + \) de zéta \ au-dessus b de + \ zéta) (\ alpha + \ bêta m) - (\ bêta b + \ gamma) (\ delta + \ + d'epsilon m) \ epsilon m) X + (\ b + epsilon \ zéta)}.

Les limites avec le cossici de numeri décommandent dehors, donc $de$

c = {(\ alpha + \ bêta m) (\ + de thêta b \ kappa) - (\ bêta b + \ gamma) (\ + d'eta \ thêta m) \ plus de (\ alpha + \ bêta m) (\ b + epsilon \ zéta) - (\ bêta b + \ gamma) (\ + de delta \ epsilon m)} est une constante.

Comparer le c au n , notent que leurs dénominateurs sont identiques. En outre, le n est obtenu à partir du c en échangeant les coefficients suivants : , de $\backslash \; alpha\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; delta\; de$

\ \ bêta \ leftrightarrow \ epsilon, \ \ gamma \ leftrightarrow \ zéta.

Il y a également la symétrie suivante d'échange entre le numérateur et le dénominateur du n : , de $\backslash \; alpha\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; eta\; de$

\ \ bêta \ leftrightarrow \ thêta, \ \ gamma \ leftrightarrow \ kappa.

Le numérateur et le dénominateur du c ont également la symétrie d'échange : $\backslash \; \{\backslash \; eta\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; delta,\; \backslash \; \backslash \; thêta\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; epsilon,\; \backslash \; \backslash \; kappa\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; zéta\; \backslash \}.$

La symétrie d'échange entre le n et le c peut être chunked par dans des binômes :

$n\; \backslash \; leftrightarrow\; c\; \backslash \; équivalent\; \backslash \; \{(\backslash \; alpha\; +\; m\; \backslash \; bêta)\; \backslash \; leftrightarrow\; (\backslash \; delta\; +\; m\; \backslash \; epsilon),\; \backslash \; (\backslash \; gamma\; +\; b\; \backslash \; bêta)\; \backslash \; leftrightarrow\; (\backslash \; zéta\; +)\; de\; b\; \backslash \; epsilon\; \backslash \}.$

Toute la ces derniers quantité de symétries d'échange à échanger des paires de rangées dans la matrice de coefficient.

Transformations planaires des sections coniques

Preuve

Il est possible de trouver qu'un ′ inverse du T de transformation qui convertit en arrière indique le (T_x, T_y) le de points (x, y) . Cette transformation inverse a un $M\_\; de\; de\; matrice\; de\; coefficient\; \{le\; T\text{'}\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; et\; d\text{'}alpha\; \backslash \; beta\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; gamma\; \backslash \; \backslash \; et\; d\text{'}eta\; \backslash \; theta\; et\; \backslash \; \backslash \; dekappa\backslash \; \backslash \; delta\; et\; \backslash \; et\; d\text{'}epsilon\; \backslash \; zeta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$

L'équation (17) peut être exprimée en termes de transformation inverse : le $A\; de$

\ est parti ({\ alpha T_x + \ + T_y de beta \ gamma \ au-dessus de \ delta T_x + \ + T_y d'epsilon \ zeta'} \ droit) ^2 + B \ sont partis ({\ eta T_x + \ + T_y de theta \ kappa \ au-dessus de \ delta T_x + \ + T_y d'epsilon \ zeta'} \ droit) ^2 + C \ sont partis ({\ alpha T_x + \ + T_y de beta \ gamma \ au-dessus de \ delta T_x + \ + T_y d'epsilon \ zeta'} \ droit) + D \ est parti ({\ eta T_x + \ + T_y de theta \ kappa \ au-dessus de \ delta T_x + \ epsilon T_y + \ zeta'} \ droit) + E \ est parti ({\ alpha T_x + \ + T_y de beta \ gamma \ au-dessus de \ delta T_x + \ + T_y d'epsilon \ zeta'} \) droit \ à gauche ({\ eta T_x + \ + T_y de theta \ kappa \ au-dessus de \ delta T_x + \ + T_y d'epsilon \ zeta'} \ droit) + F = 0.

Les dénominateurs peuvent être " ; dissolved" ; en multipliant les deux côtés de l'équation par la place d'un trinôme : $A\; de$

(\ alpha T_x + \ + T_y de beta \ gamma')^2 + B (\ eta T_x + \ + T_y de theta \ kappa')^2 + C (\ alpha T_x + \ + T_y de beta \ gamma') (\ delta T_x + \ + T_y d'epsilon \ zeta') + D (\ eta T_x + \ + T_y de theta \ kappa') (\ delta T_x + \ + T_y d'epsilon \ zeta') + E (\ alpha T_x + \ + T_y de beta \ gamma') (\ eta T_x + \ + T_y de theta \ kappa') + F (\ delta T_x + \ + T_y d'epsilon \ zeta')^2 = 0.

Augmenter les produits des trinômes et rassembler les puissances communes du T_x et du T_y : le $de$

\ commencent {matrice} (A \ alpha'^2 + B \ eta'^2 + C \ alpha \ delta + D \ eta \ delta + E \ alpha \ eta + \ T_x^2 \ + de F \ delta'^ 2) (A \ beta'^2 + B \ theta'^2 + C \ beta \ epsilon + D \ theta \ epsilon + E \ beta \ theta + \ T_y^2 \ + de F \ epsilon'^ 2) (2 A \ alpha \ gamma + 2 B \ eta \ kappa + C (\ + d'alpha \ zeta \ gamma \ delta') + D (\ + d'eta \ zeta \ kappa \ delta') + E (\ + d'alpha \ kappa \ gamma \ eta') + 2 F \ \ T_x de delta \ zeta') \ + (2 A \ beta \ gamma + 2 B \ theta \ kappa + C (\ + de beta \ zeta \ gamma \ epsilon') + D (\ + de theta \ zeta \ kappa \ epsilon') + E (\ + de beta \ kappa \ gamma \ theta') + 2 F \ \ T_y d'epsilon \ zeta') \ + (2 A \ alpha \ beta + 2 B \ eta \ theta + C (\ + d'alpha \ epsilon \ beta \ delta') + D (\ + d'eta \ epsilon \ theta \ delta') + E (\ + d'alpha \ theta \ beta \ eta') + 2 F \ \ T_x T_y de delta \ epsilon') \ + (A \ gamma'^2 + B \ kappa'^2 + C \ gamma \ zeta + D \ kappa \ zeta + E \ gamma \ kappa + F \ zeta'^ 2) = 0. \ extrémité {} de matrice \ qquad \ qquad (19)

L'équation (19) a la même forme que l'équation (18).

Le quel reste pour faire est d'exprimer les coefficients amorcés en termes de coefficients unprimed. Pour faire ceci, s'appliquer la règle de Cramer de au M_T de matrice de coefficient pour obtenir la matrice amorcée de la transformation inverse : $M\_\; de$

{le T'} = {1 \ au-dessus de \ delta} \ commencent {bmatrix} \ est parti| \ commencent {} de matrice \ thêta et \ \ de kappa \ \ et d'epsilon \ zéta \ extrémité {matrice} \ droit| et \ est parti| \ commencent {} de matrice \ epsilon et \ \ de zéta \ \ bêta et \ gamma \ extrémité {matrice} \ droit| et \ est parti| \ commencer {matrice} \ bêta et \ \ de gamma \ \ et de thêta \ kappa \ extrémité {matrice} \ droit| \ \ \ et de quadruple \ quadruple et \ \ de quadruple \ \ est parti| \ commencent {} de matrice \ kappa et \ \ d'eta \ \ et de zéta \ delta \ extrémité {matrice} \ droit| et \ est parti| \ commencent {} de matrice \ zéta et \ \ de delta \ \ et de gamma \ alpha \ extrémité {matrice} \ droit| et \ est parti| \ commencent {} de matrice \ gamma et \ \ d'alpha \ \ et de kappa \ eta \ extrémité {matrice} \ droit| \ \ \ et de quadruple \ quadruple et \ \ de quadruple \ \ est parti| \ commencent {} de matrice \ eta et \ \ de thêta \ \ et de delta \ epsilon \ extrémité {matrice} \ droit| et \ est parti| \ commencer {matrice} \ et de delta \ epsilon \ \ \ alpha et \ bêta \ extrémité {matrice} \ droit| et \ est parti| \ commencent {} de matrice \ alpha et \ bêta \ \ \ et d'eta \ thêta \ extrémité {matrice} \ droit| \ extrémité {} de bmatrix \ qquad \ qquad (20) là où le Δ est la cause déterminante de la matrice unprimed de coefficient.

L'équation (20) permet à des coefficients amorcés d'être exprimés en termes de coefficients unprimed. Mais exécutant ces substitutions sur les coefficients amorcés de l'équation (19) il peut noter que le déterminant Δ se décommande dehors, de sorte qu'il puisse être ignoré tout à fait. Par conséquent $A\; =\; A\; (\backslash \; -\; de\; thêta\; \backslash \; zéta\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; ^2\; de\; +\; B\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; -\; de\; delta\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)\; ^2\; +\; C\; (\backslash \; thêta\; \backslash \; zéta\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; (\backslash \; -\; d\text{'}eta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)\; +\; D\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; delta\; -\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; -\; d\text{'}eta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)\; +\; E\; (\backslash \; thêta\; \backslash \; zéta\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; -\; de\; delta\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)\; +\; F\; (\backslash \; -\; d\text{'}eta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)\; ^2$ $de$

B = A (\ - epsilon \ gamma \ zéta \ bêta) ^2 + B (\ - de zéta \ alpha \ delta \ gamma) ^2 + C (\ epsilon \ gamma - \ zéta \ bêta) (\ delta \ bêta - \ epsilon \ alpha) + D (\ zéta \ alpha - \ delta \ gamma) (\ delta \ bêta - \ epsilon \ alpha) + E (\ epsilon \ gamma - \ zéta \ bêta) (\ - de zéta \ alpha \ delta \ gamma) + F (\ delta \ bêta - \ epsilon \ alpha) ^2

$C\; =\; 2\; A\; (\backslash \; thêta\; \backslash \; zéta\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; (\backslash \; -\; bêta\; \backslash \; kappa\; \backslash \; gamma\; \backslash \; thêta)\; +\; 2\; B\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; delta\; -\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; -\; de\; gamma\; \backslash \; eta\; \backslash \; alpha\; \backslash \; kappa)\; +\; C\; (\backslash \; thêta\; \backslash \; zéta\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; thêta\; -\; \backslash \; bêta\; \backslash \; eta)\; +\; (\backslash \; bêta\; \backslash \; kappa\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; thêta)\; (\backslash \; -\; d\text{'}eta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)]\; +\; D\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; delta\; -\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; thêta\; -\; \backslash \; bêta\; \backslash \; eta)\; +\; (\backslash \; gamma\; \backslash \; eta\; -\; \backslash \; alpha\; \backslash \; kappa)\; (\backslash \; -\; d\text{'}eta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)]\; +\; E\; (\backslash \; thêta\; \backslash \; zéta\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; (\backslash \; -\; de\; gamma\; \backslash \; eta\; \backslash \; alpha\; \backslash \; kappa)\; +\; (\backslash \; bêta\; \backslash \; kappa\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; thêta)\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; -\; de\; delta\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)]\; +\; 2\; F\; (\backslash \; eta\; \backslash \; epsilon\; -\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; thêta\; -\; \backslash \; bêta\; \backslash \; eta)$

$D\; =\; 2\; A\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; gamma\; -\; \backslash \; zéta\; \backslash \; bêta)\; (\backslash \; -\; bêta\; \backslash \; kappa\; \backslash \; gamma\; \backslash \; thêta)\; +\; 2\; B\; (\backslash \; zéta\; \backslash \; alpha\; -\; \backslash \; delta\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; -\; de\; gamma\; \backslash \; eta\; \backslash \; alpha\; \backslash \; kappa)\; +\; C\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; gamma\; -\; \backslash \; zéta\; \backslash \; bêta)\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; thêta\; -\; \backslash \; bêta\; \backslash \; eta)\; +\; (\backslash \; bêta\; \backslash \; kappa\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; thêta)\; (\backslash \; delta\; \backslash \; bêta\; -\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; alpha)]\; +\; D\; (\backslash \; zéta\; \backslash \; alpha\; -\; \backslash \; delta\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; thêta\; -\; \backslash \; bêta\; \backslash \; eta)\; +\; (\backslash \; gamma\; \backslash \; eta\; -\; \backslash \; alpha\; \backslash \; kappa)\; (\backslash \; delta\; \backslash \; bêta\; -\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; alpha)]\; +\; E\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; gamma\; -\; \backslash \; zéta\; \backslash \; bêta)\; (\backslash \; -\; de\; gamma\; \backslash \; eta\; \backslash \; alpha\; \backslash \; kappa)\; +\; (\backslash \; bêta\; \backslash \; kappa\; -\; \backslash \; gamma\; \backslash \; thêta)\; (\backslash \; -\; de\; zéta\; \backslash \; alpha\; \backslash \; delta\; \backslash \; gamma)]\; +\; 2\; F\; (\backslash \; delta\; \backslash \; bêta\; -\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; alpha)\; (\backslash \; alpha\; \backslash \; thêta\; -\; \backslash \; bêta\; \backslash \; eta)$

$E\; =\; 2\; A\; (\backslash \; thêta\; \backslash \; zéta\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; (\backslash \; -\; epsilon\; \backslash \; gamma\; \backslash \; zéta\; \backslash \; bêta)\; +\; 2\; B\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; delta\; -\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; -\; de\; zéta\; \backslash \; alpha\; \backslash \; delta\; \backslash \; gamma)\; +\; C\; \backslash \; zéta\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; (\backslash \; delta\; \backslash \; bêta\; -\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; alpha)\; +\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; gamma\; -\; \backslash \; zéta\; \backslash \; bêta)\; (\backslash \; -\; d\text{'}eta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)\; +\; D\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; delta\; -\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)\; (\backslash \; delta\; \backslash \; bêta\; -\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; alpha)\; +\; (\backslash \; zéta\; \backslash \; alpha\; -\; \backslash \; delta\; \backslash \; gamma)\; (\backslash \; -\; d\text{'}eta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)]\; +\; E\; (\backslash \; thêta\; \backslash \; zéta\; -\; \backslash \; kappa\; \backslash \; epsilon)\; (\backslash \; -\; de\; zéta\; \backslash \; alpha\; \backslash \; delta\; \backslash \; gamma)\; +\; (\backslash \; epsilon\; \backslash \; gamma\; -\; \backslash \; zéta\; \backslash \; bêta)\; (\backslash \; kappa\; \backslash \; -\; de\; delta\; \backslash \; eta\; \backslash \; zéta)]\; +\; 2\; F\; (\backslash \; eta\; \backslash \; epsilon\; -\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta)\; (\backslash \; delta\; \backslash \; bêta\; -\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; alpha)$ $de$

F = A (\ - bêta \ kappa \ gamma \ thêta) ^2 + B (\ - de gamma \ eta \ alpha \ kappa) ^2 + C (\ bêta \ kappa - \ gamma \ thêta) (\ alpha \ thêta - \ bêta \ eta) + D (\ gamma \ eta - \ alpha \ kappa) (\ alpha \ thêta - \ bêta \ eta) + E (\ bêta \ kappa - \ gamma \ thêta) (\ - de gamma \ eta \ alpha \ kappa) + F (\ alpha \ thêta - \ bêta \ eta) ^2

Les coefficients du conique transformé ont été exprimés en termes de coefficients du conique original et coefficients du planaire T de transformation.

Projectivities et croix-rapport planaires

Preuve

Laisser le $A\; de\; :\; (x\_1,\; m\; x\_1\; +\; b),$ B$:\; (x\_2,\; m\; x\_2\; +\; b),$ C$:\; (x\_3,\; m\; x\_3\; +\; b),$ D$:\; (x\_4,\; m\; x\_4\; +\; b).$

Clairement ces quatre points sont situés sur la même droite. Laissé $T\_x\; (x\; de$

, y) = {\ alpha X + \ bêta y + \ gamma \ au-dessus de \ delta X + \ y + epsilon \ zéta}

être la première moitié d'une transformation trilinéaire. Puis

$T\_x\; (A)\; =\; \{\backslash \; alpha\; x\_1\; +\; \backslash \; bêta\; (m\; x\_1\; +\; b)\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\; x\_1\; +\; \backslash \; epsilon\; (m\; x\_1\; +\; b)\; +\; \backslash \; zéta\}\; =\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; x\_1\; +\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash \; plus\; de\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; x\_1\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\},$
$T\_x\; (B)\; =\; \{\backslash \; alpha\; x\_2\; +\; \backslash \; bêta\; (m\; x\_2\; +\; b)\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\; x\_2\; +\; \backslash \; epsilon\; (m\; x\_2\; +\; b)\; +\; \backslash \; zéta\}\; =\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; x\_2\; +\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash \; plus\; de\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; x\_2\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\},$
$T\_x\; (C)\; =\; \{\backslash \; alpha\; x\_3\; +\; \backslash \; bêta\; (m\; x\_3\; +\; b)\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\; x\_3\; +\; \backslash \; epsilon\; (m\; x\_3\; +\; b)\; +\; \backslash \; zéta\}\; =\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; x\_3\; +\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash \; plus\; de\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; x\_3\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\},$
$T\_x\; (D)\; =\; \{\backslash \; alpha\; x\_4\; +\; \backslash \; bêta\; (m\; x\_4\; +\; b)\; +\; \backslash \; gamma\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; delta\; x\_4\; +\; \backslash \; epsilon\; (m\; x\_4\; +\; b)\; +\; \backslash \; zéta\}\; =\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; x\_4\; +\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash \; plus\; de\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; x\_4\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\}.$

Le croix-rapport original est

$\backslash \; x\_2\; \backslash \; x\_3\; \backslash \; x\_4\; =\; \{x\_1\; -\; x\_3\; \backslash \; au-dessus\; de\; x\_1\; -\; x\_4\}\; \backslash \; cdot\; \{x\_2\; -\; x\_4\; \backslash \; au-dessus\; de\; x\_2\; -\; x\_3\}.$

Il n'est pas nécessaire de calculer le croix-rapport transformé. Laisser juste

$S\; (x)\; =\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta\; m)\; X\; +\; (\backslash \; bêta\; b\; +\; \backslash )\; de\; gamma\; \backslash \; plus\; de\; (\backslash \; +\; de\; delta\; \backslash \; epsilon\; m)\; X\; +\; (\backslash \; b\; +\; epsilon\; \backslash \; zéta)\}$

être une transformation bilinéaire. Puis S (x) est une transformation projective unidimensionnelle. Mais T_x(A)=S (A) , T_x(B)=S (B) , T_x(C)=S (C) , et T_x(D)=S (D) . Par conséquent $\backslash \; T\_x\; de$

(B) \ T_x (C) \ T_x (D) = \ S (B) \ S (C) \ S (D)

mais on lui a déjà montré que les transformations bilinéaires préservent le croix-rapport.

Exemple

Le lieu des points a décrit paramétriquement pendant que le $(\backslash \; cos\; \backslash ,\; de\; thêta\; \backslash ,\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta)$ décrivent un cercle , en raison du $trigonométrique\; de\; de\; l\text{'}identité\; \backslash \; +\; de\; cos^2\; \backslash \; thêta\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; thêta\; =\; 1$ ce qui a la même forme que l'équation canonique d'un cercle. L'application du T de projectivity rapporte le lieu des points décrits paramétriquement par le $(\backslash ,\; de\; sec\; \backslash \; thêta\; \backslash ,\; \backslash \; tan\; \backslash \; thêta)$ qui décrivent une hyperbole , dû au $trigonométrique\; de\; d\text{'}identité\; \backslash \; -\; de\; sec^2\; \backslash \; thêta\; \backslash \; tan^2\; \backslash \; thêta\; =\; 1$ ce qui a la même forme que l'équation canonique d'une hyperbole. Noter que le $de\; points\; (~-1.0)$ et le $(1.0)$ sont les points fixes.

En effet, ce projectivity transforme n'importe quel cercle, de n'importe quel rayon, en hyperbole centrée à l'origine avec tous les deux ses foyers se trouvant sur le X - axe, et vice versa. Ce projectivity transforme également le y - axe dans la ligne de à l'infini , et vice versa : $T\; de\; :\; (0,\; y)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; parti\; (\{1\; \backslash \; plus\; de\; 0\},\; \{y\; \backslash \; plus\; de\; 0\}\; \backslash \; droit)\; =\; (\backslash \; P.\; \backslash \; infty),$ T$:\; (\backslash \; P.\; \backslash )\; infty\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; parti\; (\{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; P.\; \backslash \; infty\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; P.\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; droit)\; =\; (0,\; y).$ Le rapport de l'infini au-dessus de l'infini est indéterminé qui signifie qu'il peut être placé à n'importe quel y de valeur désiré.

Cet exemple souligne ce dedans le vrai avion projectif, le ² du RP, une hyperbole est une courbe fermée qui passe deux fois par la ligne à l'infini. Mais que la transformation fait-elle à une parabole ?

Laisser le lieu du $de\; points\; (x,\; x^2)$ décrivent une parabole. Sa transformation est le $T\; de\; :\; (x,\; x^2)\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; est\; parti\; (\{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; x\},\; \{x^2\; \backslash \; au-dessus\; de\; x\}\; \backslash \; droit)\; =\; (x\text{'},\; 1/x\text{'})$ ce qui est une hyperbole dont les asymptotes sont le X - l'axe et le y - axe et dont les ailes se situent dans le premier quart de cercle et le troisième quart de cercle. De même, le $de\; d\text{'}hyperbole\; y\; =\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; x\}$ est transformé par le T en $de\; de\; parabole\; y\; =\; x^2\; \backslash \; quadruple$.

D'une part, la parabole décrite par le lieu du $de\; points\; (,\; de\; x\; \backslash \; P.\; \backslash \; racine\; carrée\; \{x\})$ est transformée par le T en elle-même : ceci démontre qu'une parabole intersecte la ligne à l'infini à un unique.

Transformations dans l'espace 3 projectif

Tracer la ligne le l ₁ par le X de points et le P . Cette ligne intersecte l'espace objectif au R de point. Tracer la ligne le l ₂ par le R de points et le Q . La ligne le l₂ intersecte l'avion projectif au T de point. Alors le T est la transformation du X .

Analyse

Tracer la ligne le l ₁ par le P de points et le X . Cette ligne intersecte l'avion objectif au R . Cette intersection peut être décrite paramétriquement comme suit : + de $de$

(1 - \ lambda_1) X \ lambda_1 P = (R_x, R_y, R_z, m R_x + n R_y + k R_z + b).

Ceci implique les quatre équations suivantes : $R\_x\; =\; x\; de$

+ \ lambda_1 (P_x - x) $R\_y\; =\; y$ + \ lambda_1 (P_y - y) $R\_z\; =\; z$ + \ lambda_1 (P_z - z) = de R_t de $$ \ lambda_1 P_t = m R_x + n R_y + k R_z + b

Substituer les trois premières équations dans dernières : $de$

(m X + n + de y + de k z) \ lambda_1 (_x de M. + n P_y + k P_z - m X - n y - k z - P_t) + b = 0

Résoudre pour le λ₁ , $de$

\ lambda_1 = {- (b + m X + n y + k z) \ au-dessus de m (P_x - x) + n (P_y - y) + k (P_z - z) - P_t} = {\ lambda_ {1N} \ au-dessus de \ lambda_ {1D}}.

Tracer la ligne le l ₂ par le R de points et le Q . Cette ligne intersecte l'espace 3 subjectif au T . Cette intersection peut être représentée paramétriquement comme suit : r+ \ lambda_2 de $de$

(1 - \ lambda_2) Q = (T_x, T_y, T_z, 0)

Ceci implique les quatre équations suivantes : $T\_x\; de$

= + de R_x \ lambda_2 (Q_x - R_x), $T\_y$ = + de R_y \ lambda_2 (Q_y - R_y), $T\_z$ = + de R_z \ lambda_2 (Q_z - R_z), + de R_t de $$ \ lambda_2 (Q_t - R_t) = 0.

La dernière équation peut être résolue pour le λ₂ , $de$

\ lambda_2 = {R_t \ au-dessus de R_t - Q_t}

ce qui peut alors être substitué dans les trois autres équations : $T\_x\; =\; R\_x\; +\; R\_t\; \{Q\_x\; -\; R\_x\; de$

\ au-dessus de R_t - Q_t} = {R_t Q_x - R_x Q_t \ au-dessus de R_t - Q_t}, $T\_y\; =\; R\_y\; +\; R\_t\; \{Q\_y\; -\; R\_y$ \ au-dessus de R_t - Q_t} = {R_t Q_y - R_y Q_t \ au-dessus de R_t - Q_t}, $T\_z\; =\; R\_z\; +\; R\_t\; \{Q\_z\; -\; R\_z$ \ au-dessus de R_t - Q_t} = {R_t Q_z - R_z Q_t \ au-dessus de R_t - Q_t}.

Substituer les valeurs au R_x , au R_y , au R_z , et au R_t obtenu à partir de la première intersection dans les équations ci-dessus pour le T_x , le T_y , et le T_z , $T\_x\; de$

= {\ lambda_1 P_t Q_x - + \ lambda_1 (P_x - x) Q_t \ au-dessus de \ lambda_1 P_t - Q_t} = {\ lambda_1 Q_x - Q_t (P_x - x) - x Q_t \ au-dessus de \ lambda_1 P_t - Q_t}, $T\_y$ = {\ lambda_1 P_t Q_y - + \ lambda_1 (P_y - y) Q_t \ au-dessus de \ lambda_1 P_t - Q_t} = {\ lambda_1 Q_y - Q_t (P_y - y) - y Q_t \ au-dessus de \ lambda_1 P_t - Q_t}, $T\_z$ = {\ lambda_1 P_t Q_z - + \ lambda_1 (P_z - z) Q_t \ au-dessus de \ lambda_1 P_t - Q_t} = {\ lambda_1 Q_z - Q_t (P_z - z) - z Q_t \ au-dessus de \ lambda_1 P_t - Q_t}.

Multiplier les numérateurs et les dénominateurs des trois équations ci-dessus par le dénominateur de lambda₁ : λ_1D,

$T\_x\; =\; \{\backslash \; lambda\_\; \{1N\}\; Q\_x\; -\; Q\_t\; (P\_x\; -\; x)\; -\; x\; Q\_t\; \backslash \; lambda\_\; \{1D\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; P\_t\; \backslash \; de\; lambda\_\; \{1N\}\; -\; Q\_t\; \backslash \; lambda\_\; \{1D\}\},$
$T\_y\; =\; \{\backslash \; lambda\_\; \{1N\}\; Q\_y\; -\; Q\_t\; (P\_y\; -\; y)\; -\; y\; Q\_t\; \backslash \; lambda\_\; \{1D\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; P\_t\; \backslash \; de\; lambda\_\; \{1N\}\; -\; Q\_t\; \backslash \; lambda\_\; \{1D\}\},$
$T\_z\; =\; \{\backslash \; lambda\_\; \{1N\}\; Q\_z\; -\; Q\_t\; (P\_z\; -\; z)\; -\; z\; Q\_t\; \backslash \; lambda\_\; \{1D\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; P\_t\; \backslash \; de\; lambda\_\; \{1N\}\; -\; Q\_t\; \backslash \; lambda\_\; \{1D\}\},$

Brancher les valeurs du numérateur et du dénominateur de lambda₁ : $de$

\ lambda_ {1N} = b + m X + n $y\; +\; de\; k\; z$ \ lambda_ {1D} = P_t + m (x - P_x) + n (y - P_y) + k (z - P_z)

pour obtenir $T\_x\; de$

= {T_ {} de xN \ au-dessus de T_ {xD}} = {(b + m X + n y + k z) Q_x - Q_t (P_x - x) - x Q_t + m (x - P_x) + n (y - P_y) + k (z -) de P_z \ au-dessus de P_t (b + m X + n y + k z) - Q_t + m (x - P_x) + n (y - P_y) + k (z - P_z)}. $T\_y$ = {T_ {} de yN \ au-dessus de T_ {xD}} , $T\_\; \{yN\}\; de$
= (b + m X + n y + k z) Q_y - Q_t (P_y - y) - y Q_t + m (x - P_x) + n (y - P_y) + k (z - P_z),
$T\_z\; =\; \{T\_\; \{\}\; de\; Zn\; \backslash \; au-dessus\; de\; T\_\; \{xD\}\}$.

Le T_xN de numérateur peut être augmenté. On le constatera que les limites de second degré du X , du y , et du z se décommanderont dehors. Alors rassemblement des limites avec les rendements communs du X , du y , et du z $T\_\; \{xN\}\; de$

= x (_t Q_x + n P_y Q_t + k P_z Q_t + Q_t (b - P_t) de M.) + y n (P_t Q_x - P_x Q_t) + z k (P_t Q_x - P_x Q_t) + b (P_t Q_x - P_x Q_t)

De même, le dénominateur devient $T\_\; \{xD\}\; de$

= (m X + n y + k z) (P_t - Q_t) + (_x de M. + n P_y + k P_z) Q_t + P_t (b - Q_t).

Le T_yN de numérateur, une fois augmenté et alors simplifié, devient $T\_\; \{yN\}\; de$

= x m (P_t Q_y - P_y Q_t) + y (_x Q_t + n P_t Q_y + k P_z Q_t + Q_t (b de M. - P_t)) + z k (P_t Q_y - P_y Q_t) + b (P_t Q_y - P_y Q_t).

De même, le T_zN de numérateur devient $T\_\; \{Zn\}\; de$

= x m (P_t Q_z - P_z Q_t) + y n (P_t Q_z - P_z Q_t) + z (_x Q_t + n P_y Q_t + k P_t Q_z + Q_t (b - P_t) de M.) + b (P_t Q_z - P_z Q_t).

Transformations de Quadrilinear

\ _t Q_x + n P_y Q_t + k P_z Q_t + Q_t (b - P_t), $$ \ bêta d'alpha = de M. = n (P_t Q_x - P_x Q_t), $$ \ gamma = k (P_t Q_x - P_x Q_t), $$ \ delta = b (P_t Q_x - P_x Q_t), $$ \ epsilon = m (P_t - Q_t), $$ \ zéta = n (P_t - Q_t), $$ \ eta = k (P_t - Q_t), $$ \ thêta = (M. + n P_y + k P_z) Q_t + P_t (b - Q_t), $$ \ iota = m (P_t Q_y - P_y Q_t), $$ \ kappa = _x Q_t + n P_t Q_y + k P_z Q_t + Q_t (b - P_t), $$ \ lambda = k (P_t Q_y - P_y Q_t) de M., $$ \ MU = b (P_t Q_y - P_y Q_t), $$ \ NU = m (P_t Q_z - P_z Q_t), $$ \ XI = n (P_t Q_z - P_z Q_t), $$ o = _x Q_t + n P_y Q_t + k P_t Q_z + Q_t (b - P_t), $$ \ rho = b (P_t Q_z - P_z Q_t) de M.

Alors la transformation dans l'espace 3 peut être exprimée comme suit, $T\_x\; de$

= {\ alpha X + \ bêta y + \ + de gamma z \ delta \ au-dessus de \ x + epsilon \ zéta y + \ + d'eta z \ thêta}, $T\_y$ = {\ iota X + \ + + de kappa y \ lambda z \ MU \ au-dessus de \ x + epsilon \ zéta y + \ + d'eta z \ thêta}, $T\_z$ = + {\ NU X \ XI + de y + d'o z \ rho \ au-dessus de \ x + epsilon \ zéta y + \ + d'eta z \ thêta}.

Les seize coefficients de cette transformation peuvent être arrangés dans une matrice de coefficient

$M\_T\; =\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; alpha\; et\; \backslash \; bêta\; et\; \backslash \; gamma\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; delta\; \backslash \; \backslash \; iota\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; et\; de\; kappa\; \backslash \; lambda\; \backslash \; MU\; \backslash \; \backslash \; NU\; et\; \backslash \; XI\; et\; o\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; rho\; \backslash \; \backslash \; et\; d\text{'}epsilon\; \backslash \; zéta\; et\; \backslash \; et\; d\text{'}eta\; \backslash \; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$

Toutes les fois que cette matrice est inversible, ses coefficients décriront une transformation quadrilinear.

Le de transformation T dans l'espace 3 peut également être représenté en termes de coordonnées homogènes As $T\; de$

: : y : z : 1 \ rightarrow X + \ bêta y + \ + de gamma z \ delta : \ iota X + \ + + de kappa y \ lambda z \ MU : \ NU X + \ XI + de y + d'o z \ rho : \ x + epsilon \ zéta y + \ + d'eta z \ thêta.

Ceci signifie que la matrice de coefficient du T peut fonctionner directement sur 4 vecteurs composants des coordonnées homogènes. La transformation d'un point peut être effectuée simplement en multipliant la matrice de coefficient avec le vecteur de position du point dans des coordonnées homogènes. Par conséquent, si le T transforme un point sur l'avion de à l'infini , le résultat sera $T\; de$

: : y : z : 0 \ rightarrow X + \ bêta y + \ gamma z : \ iota X + \ + de kappa y \ lambda z : \ NU X + \ XI y + o z : \ epsilon x + \ + de zéta y \ eta Z.

Si le ε, ζ, et η ne sont pas tout égal à zéro, alors le T transformera l'avion à l'infini en lieu des points dans lesquels se situer la plupart du temps affinent l'espace. Si le ε, ζ, et η sont chacun des zéro, alors le T sera un genre spécial de transformation projective appelé un affinent la transformation , dans laquelle transforme affinent des points affinent les points et les points idéaux (c. points à l'infini) dans les points idéaux.

Le groupe de affinent des transformations fait affiner à un sous-groupe de les rotations dont les matrices ont la forme

$M\_\; \{AR\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; alpha\; et\; \backslash \; bêta\; et\; \backslash \; gamma\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; iota\; et\; \backslash \; et\; de\; kappa\; \backslash \; lambda\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; NU\; et\; \backslash \; XI\; et\; o\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}$ tel que submatrix

$\backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; alpha\; et\; \backslash \; bêta\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; gamma\; \backslash \; \backslash \; iota\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; de\; kappa\; \backslash \; lambda\; \backslash \; \backslash \; NU\; et\; \backslash \; XI\; et\; o\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}$ est le orthogonal.

Propriétés des transformations quadrilinear

$)\; (de\; T\_3\; =\; de\; T\_2\; \backslash \; circ\; T\_1\; \backslash \; leftrightarrow\; (M\_\; \{T\_3\}\; =\; M\_\; \{T\_2\}\; M\_\; \{T\_1\}).$

Le quadrilinear T_I de transformation d'identité est la transformation dont la matrice de coefficient est la matrice d'identité .

Est donné un spatial T₁ de projectivity dont la matrice de coefficient est $M\_\; \{T\_1\}$, l'inverse de ce projectivity est un autre T ₋₁ de projectivity dont le $M\_\; \{T\_\; \{-\; 1\}\}$ de matrice de coefficient l'inverse de la matrice de coefficient du ′ s du T ₁,

$(T\_\; \{-\; 1\}\; \backslash \; circ)\; de\; T\_1\; =\; de\; T\_I\; \backslash \; leftrightarrow\; (M\_\; \{T\_\; \{-\; 1\}\}\; M\_\; \{T\_1\}\; =\; I)$.

La composition des transformations quadrilinear est associative, donc l'ensemble de toutes les transformations quadrilinear, ainsi que l'opération de composition, forme par groupe .

Ce groupe de transformations quadrilinear contient des sous-groupes de transformations trilinéaires. Par exemple, le sous-groupe de toutes les transformations quadrilinear dont les matrices de coefficient ont la forme

$\backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; alpha\; et\; \backslash \; bêta\; et\; 0\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; delta\; \backslash \; \backslash \; iota\; et\; \backslash \; kappa\; et\; 0\; \backslash \; et\; \backslash \; MU\; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; d\text{'}epsilon\; \backslash \; zéta\; et\; 0\; et\; \backslash \; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}$

est isomorphe au groupe de toutes les transformations trilinéaires dont les matrices de coefficient sont

$\backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; alpha\; et\; \backslash \; bêta\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; delta\; \backslash \; \backslash \; iota\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; de\; kappa\; \backslash \; MU\; \backslash \; \backslash \; epsilon\; et\; \backslash \; et\; de\; zéta\; \backslash \; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$

Ce sous-groupe de transformations quadrilinear tout ont la forme $T\; de$

: (x, y, z) \ rightarrow \ parti ({\ alpha X + \ bêta y + \ delta \ au-dessus de \ epsilon x + \ + de zéta y \ thêta}, {\ iota X + \ + de kappa y \ MU \ au-dessus de \ epsilon x + \ + de zéta y \ thêta}, 0 \ droit).

Ceci signifie que ce sous-groupe de transformations agira sur le plat z = 0 juste comme un groupe de transformations trilinéaires.

Transformations spatiales des avions

Laissé $de$

z = m X + n y + b

être l'équation d'un avion. C'est équivalent à $m\; X\; de$

+ n y - z + b = 0. \ qquad \ qquad (21)

L'équation (21) peut être exprimée comme produit de matrice : le $de$

\ n \ -1 \ b \ commencent {bmatrix} \ de x \ . \ \ 1 \ extrémité {bmatrix} = 0.

Une matrice de la permutation peut être interposée entre les deux vecteurs, afin de faire le vecteur plat avoir des coordonnées homogènes : $m\; de$

: n : b : 1 \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 et 0 \ \ \ et \ et \ et \ \ \ 0 et 1 et 0 et 0 \ \ \ et \ et \ et \ \ \ 0 et 0 et 0 et 1 \ \ \ et \ et \ et \ \ \ 0 et 0 et -1 et 0 \ extrémité {le bmatrix} \ commencent {bmatrix} \ de x \ . \ \ 1 \ extrémité {bmatrix} = 0. \ qquad \ qquad (22)

Une transformation quadrilinear devrait convertir ceci en

$T\_m\; :\; T\_n\; :\; T\_b\; :\; 1\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; \backslash \; et\; \backslash \; et\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; \backslash \; et\; \backslash \; et\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; \backslash \; et\; \backslash \; et\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; -1\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{le\; bmatrix\}\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; de\; T\_x\; \backslash \; .\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (23)$

là où le $de$

\ commencent {bmatrix} \ de T_x \ . \ \ 1 \ extrémité {bmatrix} = \ commence {} de bmatrix \ alpha et \ bêta et \ gamma et \ \ de delta \ \ et \ et \ et \ \ \ \ iota et \ \ et et de kappa \ lambda \ MU \ \ et \ et \ et \ \ \ \ NU et \ XI et o et \ \ de rho \ \ et \ et \ et \ \ \ \ et d'epsilon \ zéta et \ et d'eta \ thêta \ extrémité {le bmatrix} \ commencent {bmatrix} \ de x \ . \ \ 1 \ extrémité {bmatrix}. \ qquad \ qquad (24)

L'équation (22) est équivalente à $m\; :\; n\; :\; b\; :\; 1\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; -1\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; alpha\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; iota\}\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; NU\}\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; epsilon\}\; \backslash \; \backslash \; barre\; \{\backslash \; bêta\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; kappa\}\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; XI\}\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; zéta\}\; \backslash \; \backslash \; barre\; \{\backslash \; gamma\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash \; barre\; \{o\}\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; eta\}\; \backslash \; \backslash \; barre\; \{\backslash \; delta\}\; et\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; MU\}\; et\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; rho\}\; et\; \backslash \; barre\; \{\backslash \}\; de\; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; alpha\; et\; \backslash \; bêta\; et\; \backslash \; gamma\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; delta\; \backslash \; \backslash \; iota\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; et\; de\; kappa\; \backslash \; lambda\; \backslash \; MU\; \backslash \; \backslash \; NU\; et\; \backslash \; XI\; et\; o\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; rho\; \backslash \; \backslash \; et\; d\text{'}epsilon\; \backslash \; zéta\; et\; \backslash \; et\; d\text{'}eta\; \backslash \; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; \backslash \; de\; x\; \backslash \; .\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (25)$ là où le $\backslash \; barre\; de\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; sont\; partis|\; \backslash \; commencer\; \{matrice\}\; \backslash \; \backslash \; et\; et\; de\; kappa\; \backslash \; lambda\; \backslash \; MU\; \backslash \; \backslash \; XI\; et\; o\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; rho\; \backslash \; \backslash \; zéta\; et\; \backslash \; et\; d\text{'}eta\; \backslash \; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; droit|\; ;\; \backslash \; qquad\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; bêtas\}\; =\; \backslash \; sont\; partis|\; \backslash \; commencent\; \{\backslash \; et\; et\}\; de\; matrice\; \backslash \; lambda\; \backslash \; MU\; \backslash \; iota\; \backslash \; o\; et\; \backslash \; \backslash \; et\; de\; rho\; \backslash \; NU\; \backslash \; \backslash \; eta\; et\; \backslash \; et\; de\; thêta\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; droit|,$ etc.

L'application de l'équation (24) à l'équation (25) rapporte $m\; de$

: n : b : 1 \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 et 0 \ \ 0 et 1 et 0 et 0 \ \ 0 et 0 et 0 et 1 \ \ 0 et 0 et -1 et 0 \ extrémité {bmatrix} \ commence {} de bmatrix \ barre {\ alpha} et \ et de barre {\ iota} \ barre {\ NU} et \ \ de barre {\ epsilon} \ \ barre {\ bêta} et \ et de barre {\ kappa} \ barre {\ XI} et \ \ de barre {\ zéta} \ \ barre {\ gamma} et \ et de barre {\ lambda} \ barre {o} et \ \ de barre {\ eta} \ \ barre {\ delta} et \ barre {\ MU} et \ barre {\ rho} et \ barre {\} de thêta \ extrémité {bmatrix} \ commencer {bmatrix} \ de T_x \ . \ \ 1 \ extrémité {bmatrix} = 0. \ qquad \ qquad (26) Combinant équation (26) et (23) produit

$\backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; alpha\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; bêta\}\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; gamma\}\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; delta\}\; \backslash \; \backslash \; barre\; \{\backslash \; iota\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; kappa\}\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; lambda\}\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; MU\}\; \backslash \; \backslash \; barre\; \{\backslash \; NU\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; XI\}\; \backslash \; barre\; \{o\}\; et\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; \backslash \; barre\; \{\backslash \; epsilon\}\; et\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; zéta\}\; et\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; eta\}\; et\; \backslash \; barre\; \{\backslash \}\; de\; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 0\; et\; -1\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 1\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; \backslash \; de\; m\; \backslash \; .\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{le\; bmatrix\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 0\; et\; -1\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 1\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{le\; bmatrix\}\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; de\; T\_m\; \backslash \; .\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$ Résoudre pour le $T\_m\; :\; T\_n\; :\; T\_b\; :\; 1\; ^T$, $de\; \backslash \; commencent\; \{bmatrix\}\; \backslash \; de\; T\_m\; \backslash \; .\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; =\; \backslash \; commence\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; alpha\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; bêta\}\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; delta\}\; et\; -\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; gamma\}\; \backslash \; \backslash \; barre\; \{\backslash \; iota\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; kappa\}\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; MU\}\; et\; -\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash \; \backslash \; barre\; \{\backslash \; epsilon\}\; et\; \backslash \; et\; de\; barre\; \{\backslash \; zéta\}\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; thêta\}\; et\; -\; \backslash \; \backslash \; de\; barre\; \{\backslash \; eta\}\; \backslash \; -\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; NU\}\; et\; -\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; XI\}\; et\; -\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; rho\}\; et\; \backslash \; barre\; \{\}\; d\text{'}o\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; \backslash \; de\; m\; \backslash \; .\; \backslash \; \backslash \; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (27)$

L'équation (27) décrit comment 3 transformations de l'espace convertissent un avion ( m , n , b ) en un autre avion ( T_m, T_n, T_b ) où $T\_m\; de$

= {\ barre {\ alpha} m + \ barre {\ bêta} n + \ barre {\ delta} b - \ barre {\} de gamma \ plus de - \ barre {\ NU} m - \ barre {\ XI} n - \ + de barre {\ rho} b \ barre {o}}, $T\_n$ = {\ barre {\ iota} m + \ + de barre {\ kappa} n \ barre {\ MU} b - \ barre} {\ lambda \ plus de - \ - de barre {\ NU} m \ barre{\ XI} n - \ + de barre {\ rho} b \ barre {o}}, $T\_b$ = {\ barre {\ epsilon} m + \ + de barre {\ zéta} n \ barre {\ thêta} b - \ barre {\ eta} \ plus de - \ - de la barre {\ NU} m \ barre {\ XI} n - \ + de barre {\ rho} b \ barre {o}}.

Voir également

.