Trace partielle

Dans l'algèbre linéaire et l'analyse fonctionnelle , la trace partielle est une généralisation de la trace . Considérant que la trace est une fonction évaluée scalaire du sur des opérateurs, la trace partielle est une fonction opérateur-évaluée. La trace partielle a des applications dans l'information de Quantum de et le Decoherence qui est approprié pour la mesure de Quantum de et de ce fait aux approches decoherent aux interprétations de de la mécanique quantique , y compris à histoires conformées et l'interprétation relative d'état de .

Détails

Supposer le V , le W sont les espaces de vecteur fini-dimensionnels au-dessus d'un champ du m , le n de la dimension respectivement. Le partiel V de Tr_{de trace est une cartographie $T \ dans \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ _V de de mapsto \ operatorname {TR} (T) \ dans \ operatorname {L} (V)$ Il est défini comme suit : laissé
$e_1, \ ldots, e_m$
et
$f_1, \ ldots, f_n$
être des bases pour le V et le W respectivement ; puis T a une représentation de matrice

$1 \ leq k, d'I \ leq m \ quadruple 1 \ leq \ aune, j \ leq n$
relativement à la base e_k de $de \ f_ d'otimes \ aune$
de $V \ otimes W$ de
.
Maintenant pour le k , le i d'index dans la gamme 1,…, le m , considèrent le b_ de $de de somme {k, I} = \ l'a_ ^n du sum_ {j=1} {k j, I j}.$
Ceci donne un k , le i de _{du b de matrice. L'opérateur linéaire associé sur le V est indépendant du choix des bases et est par définition la trace partielle .}

Définition invariable
L'opérateur partiel de trace peut être défini invariable (c'est-à-dire, sans référence à une base) comme suit : C'est le _V unique de $\ operatorname de d'opérateur linéaire {TR} : \ operatorname {L} (V \ otimes W) \ rightarrow \ operatorname {L} (v)$ tels que $de \ _V de l'operatorname {TR} (R \ otimes S) = R \, \ operatorname {TR} (s) \ quadruple \ forall R \ dans \ operatorname {L} (v) \ quadruple \ forall S \ dans \ operatorname {L} (w).$ De cette définition abstraite, les propriétés suivantes suivent : $W \ 1_ {V}$ $de \ _V de l'operatorname {TR} (T (1_V \ otimes S)) = \ _V de l'operatorname {TR} ((1_V \ otimes S) T) \ quadruple \ forall S \ dans \ operatorname {L} (w) \ quadruple \ forall T \ dans \ operatorname {L} (V \ otimes W).$
Trace partielle pour des opérateurs sur des espaces de Hilbert
La trace partielle généralise aux opérateurs sur des espaces de Hilbert dimensionnels infinis. Supposer le V , le W sont des espaces de Hilbert, et laisser $de \ {f_i \} _ {I \ dedans I}$
être une base orthonormale pour le W . Il y a maintenant un isomorphisme isométrique

$\ bigoplus_ {\ aune \ dedans I} (V \ otimes \) de f_ \ aune de mathbb {C} \ rightarrow V \ otimes W$
Sous cette décomposition, tout $T \ dans \ operatorname {L} d'opérateur (V \ otimes W)$ peuvent être considérés comme une matrice infinie des opérateurs sur le V le $de \ commencent {bmatrix} T_ {11} et T_ {12} et \ ldots et T_ {1 j} et \ \ de ldots \ T_ {21} et T_ {22} et \ ldots et T_ {2 j} et \ \ de ldots \ \ vdots et \ vdots et et \ \ de vdots \ T_ {k1} et T_ {k2} et \ ldots et T_ {k j} et \ \ de ldots \ \ vdots et \ vdots et et \ vdots \ extrémité {bmatrix}$
Supposer d'abord que le T est un opérateur non négatif. Dans ce cas-ci, toutes les entrées diagonales de la matrice ci-dessus sont les opérateurs non négatifs sur le V . Si la somme $de \ sum_ {\ aune} T_ {\ aune \ aune}$
converge dans la topologie forte de L ( V ), il d'opérateur de est l'indépendant de la base choisie du W . Le partiel V ( T ) de Tr_{de trace est défini pour être cet opérateur. La trace partielle d'un opérateur d'individu-adjoint est définie si et seulement si les traces partielles des pièces positives et négatives sont définies.}

Calcul de la trace partielle
Supposer que le W a une base orthonormale, que nous dénotons par la notation de vecteur du ket comme $\$
Trace partielle et intégration invariable
Dans le cas des espaces de Hilbert dimensionnels finis, il y a une manière utile de regarder la trace partielle comportant l'intégration en ce qui concerne un &mu convenablement normal de mesure de Haar ; au-dessus du groupe unitaire U ( W ) de W . Convenablement normal signifie ce &mu ; est pris pour être une mesure avec la masse totale faible ( W ). Supposer le V , le W sont des espaces de Hilbert dimensionnels finis. Puis $de \ int_ {\ operatorname {U} (w)} (1_V \ otimes U^*) T (1_V \ otimes U) \ d \ MU (U)$ permute avec tous les opérateurs du $de forme 1_V \ otimes S$ et par conséquent est uniquement du $de forme R \ otimes 1_W$ . Le R d'opérateur est la trace partielle du T .

Trace partielle comme opération de quantum
La trace partielle peut être regardée comme opération de Quantum de . Considérer un système mécanique de quantum dont l'espace d'état est le $\ otimes H_B$ des espaces de Hilbert. Un état mélangé est décrit par un &rho de la matrice de densité ; , c'est un opérateur non négatif de tracer-classe de la trace 1 sur le $de produit de tenseur H_A \ otimes H_B.$ La trace partielle du ρ en ce qui concerne le B de système, dénotée par le $\ rho ^A$ , s'appelle l'état réduit de ρ sur le A de système. Dans les symboles, $de \ rho^A = \ _B de l'operatorname {TR} \ rho.$
Pour prouver que c'est en effet une manière sensible d'assigner un état sur le sous-système du A au ρ, nous offrons la justification suivante. Laisser le M être une chose observable sur le A de sous-système, puis la chose observable correspondante sur le système composé est $M \ otimes I$ . Toutefois on choisit de définir un $réduit d'état \ rho^A$ , il devrait y avoir uniformité des statistiques de mesure. La valeur d'espérance du M après le A de sous-système est préparée dans le $\ rho ^A$ et cela du $M \ des otimes qu'I$ quand le système composé est préparé dans le ρ devrait être identique, c. l'égalité suivante devrait se tenir : $de \ operatorname {TR} (M \ = de cdot \ rho^A) \ operatorname {TR} (M \ otimes I \ cdot \ rho).$
Nous voyons que c'est satisfaisant si le $\ rho ^A$ est comme définis ci-dessus par l'intermédiaire de la trace partielle. En outre elle est l'unique une telle opération.
Laisser le T (H) soit l'espace de Banach des opérateurs de tracer-classe sur le H de l'espace de Hilbert. Il peut facilement vérifier que la trace partielle, vue comme _B de ${TR} : T) (de H_A \ otimes H_B \ rightarrow T (H_A)$ est complètement positive et la tracer-préservation.
La carte de trace partielle comme donnée ci-dessus est induit un _B duel ^* de $\ operatorname de carte {TR} entre le C*-algebras des opérateurs liés sur le \ ; H_A et H_A \ otimes H_B donnés près de \ ^* _B de l'operatorname {TR} (a) = A \ otimes I.$
le _B ^* de $\ operatorname {TR} trace des choses observables aux choses observables et est la représentation de l'image de Heisenberg du \ de operatorname {TR} _B .$

Comparaison avec le cas classique
Supposer au lieu des systèmes mécaniques de quantum, du A de deux systèmes et du B sont classiques. L'espace des choses observables pour chaque système sont alors C*-algebras abélien. Ceux-ci sont du C ( X ) de forme et du C ( Y ) respectivement pour le X , le Y des espaces de contrat. L'espace d'état du système composé est simplement $C de (X) \ otimes C (Y) = C (X \ périodes Y).$
Un état sur le système composé est un &rho d'élément positif ; du duel de C (× de X ; Y ), que par le théorème de Riesz-Markov correspond à une mesure régulière de Borel sur des × du X ; Y . L'état réduit correspondant est obtenu en projetant le ρ de mesure au X . Ainsi la trace partielle est l'équivalent mécanique de quantum de cette opération.
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