Topologie initiale

Dans la topologie générale et les secteurs relatifs des mathématiques , la topologie (topologie projective ou topologie faible d'initiale de de ) sur un réglé $X$ , en ce qui concerne une famille des fonctions sur $X$ , est la topologie la plus brute sur le X qui fait à ceux le de fonctions continu.

La topologie de sous-espace de et les constructions de la topologie de produit de sont les deux cas spéciaux des topologies initiales. En effet, la construction initiale de topologie peut être regardée comme généralisation de ces derniers.

La construction duelle du s'appelle la topologie finale .

Définition

Donné un X d'ensemble et un a indexé le &isin du i de _{de la famille ( i} de _{de Y ) ; I} des espaces topologiques avec le $f_i de de fonctions : X \ à Y_i$ le &tau initial de topologie ; sur $X$ est la topologie la plus brute sur le X tels que chaque $f_i de : , De X \ () tau \ à Y_i$ est le continu.

Explicitement, la topologie initiale peut être décrite comme de topologie produit par des ensembles de du $f_i^ de forme {- 1} (U)$ , où $U$ est un ensemble ouvert dans $Y_i$ . Le $f_i^ d'ensembles {- 1} (U)$ s'appellent souvent les ensembles de cylindre de

Exemples

Plusieurs constructions topologiques peuvent être considérées comme des cas spéciaux de la topologie initiale.
La topologie de sous-espace de est la topologie initiale sur le sous-espace en ce qui concerne la carte d'inclusion de .
La topologie de produit de est la topologie initiale en ce qui concerne la famille des cartes de projection de
La limite inverse de n'importe quel système inverse des espaces et des cartes continues est la limite inverse placer-théorétique ainsi que la topologie initiale déterminée par les morphisms canoniques.
La topologie faible sur de un espace de corps convexe localement est la topologie initiale en ce qui concerne les formes linéaires continues de son espace duel .
Donné une famille des topologies {&tau ; i de _{} sur un fixe X d'ensemble la topologie initiale sur le X en ce qui concerne le X} d'id_{de fonctions : &rarr du X ; ( X , &tau ; le i} de _{) est le Supremum (ou joindre) des topologies {&tau ; i} de _{} dans le trellis de des topologies sur le X . C'est-à-dire, le &tau initial de topologie ; est la topologie produite par l'union des topologies {&tau ; i} de _{}.
Un espace topologique est le complètement régulier si et seulement s'il a la topologie initiale en ce qui concerne sa famille ( lié par ) des fonctions continues à valeurs réelles.
Chaque X de l'espace topologique a la topologie initiale en ce qui concerne la famille des fonctions continues du X à l'espace de Sierpiński de .}

Propriétés

Propriété caractéristique

La topologie initiale sur le X peut être caractérisée par la propriété universelle suivant : une fonction $g$ d'un certain espace $Z$ à $X$ est continue si et seulement si le $f_i \ circ g$ est continu pour chaque &isin du i ; I .

Évaluation

Par la propriété universelle de la topologie de produit de nous savons que toute famille du continu i de _{du f de cartes : &rarr du X ; Le i} de _{du Y détermine un $f de de carte \ deux points continus uniques X \ \ prod_i Y_i \,$ Cette carte est connue comme carte d'évaluation de .}

Une famille des cartes { i de _{de f : &rarr du X ; Le i} de _{du Y } est dit aux points séparés de dans le X si pour tout le &ne du X ; le y dans le X là existe un certain i tels que &ne du i} ( X ) de _{du f ; i} ( y ) de _{du f . Clairement, la famille { i} de _{de f } sépare des points si et seulement si le associé f de carte d'évaluation est le injectif.}

Le f de carte d'évaluation sera un de encastrement topologique si et seulement si le X a la topologie initiale déterminée par les cartes { i de _{de f } et cette famille des cartes sépare des points dans le X .}

Séparation des points des ensembles fermés

Si un X de l'espace vient équipé d'une topologie, il est souvent utile de savoir si la topologie sur le X est la topologie initiale induite par une certaine famille des cartes sur le X . Cette section donne un état suffisant (mais non nécessaire).

Une famille des cartes { i de _{de f : &rarr du X ; Le du i} de _{du Y } sépare des points des ensembles fermés dans le X si pour tout le le fermé des ensembles A dans le X et tout le X pas dans le A , existe là un certain i tels que $f_i de (x) \ notin \ operatorname {Cl} (f_i (A))$ là où Cl de dénotant l'opérateur de fermeture de . Une famille des cartes continues { i} de _{de f : &rarr du X ; Le i} de _{du Y } sépare des points des ensembles fermés si et seulement si le cylindre place le $f_i^ {- 1} (U)$ , parce que le U s'ouvrent dans le Y _i, forment une base de pour la topologie sur le X .}

Il suit que toutes les fois que { i de _{de f } sépare des points des ensembles fermés, le X de l'espace a la topologie initiale induite par les cartes { i} de _{de f }. Les échouer inverses, puisque généralement les ensembles de cylindre formeront seulement une sous-base (et pas une base) pour la topologie initiale.}

Si le X de l'espace est un espace du T₁, alors toute collection de cartes { f _i} que les points séparés des ensembles fermés dans le X doivent également séparer des points. Dans ce cas-ci, la la carte d'évaluation sera un encastrement.

Description catégorique

Dans la langue de la théorie de catégorie de , la construction initiale de topologie peut être décrite comme suit. Laisser le Y être le Functor d'un discret J de la catégorie à la catégorie de du dessus des espaces topologiques qui choisit le j de _{du Y des espaces pour le j dans le J . Laisser le U être le functor étourdi habituel à partir du dessus à réglé par . Les cartes { j} de _{de f } peuvent alors être considérées comme un cône du X au UY . C'est-à-dire, ( X , f ) est un objet de &mdash de cône ( UY ) ; la catégorie de des cônes au UY .}

La propriété caractéristique de la topologie initiale est équivalente au rapport que là existe un morphism universel du &prime étourdi du U de de functor ; : &rarr de cône ( Y ) ; Cône ( UY ) au cône ( X , f ). En plaçant la topologie initiale sur le X nous obtenons donc un I de de functor : &rarr de cône ( UY ) ; Cône ( Y ) ce qui est le bon adjoint au &prime étourdi du U de functor ;. En fait, le I est un droit-inverse au &prime du U ; depuis le &prime du U ; Le I est le functor d'identité sur le cône ( UY ).

Voir également

Topologie finale

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