Topologie finale

Dans la topologie générale et les secteurs relatifs des mathématiques , la topologie finale (topologie inductive ou topologie forte de ) sur un réglé $X$ , en ce qui concerne une famille des fonctions dans $X$ , est la topologie la plus fine sur le X qui fait à ceux le de fonctions continu.

Définition

Donné un ensemble $X$ et une famille des espaces topologiques $Y_i$ avec le $f_i de de fonctions : Y_i \ à X$ le $\ tau$ sur $X$ est la topologie la plus fine tels que chaque $f_i de : Y_i \ (, de X \ tau) à$ est le continu.

Explicitement, la topologie finale peut être décrite comme suit : un U de sous-ensemble du X est ouvert si et seulement si le $f_i^ de {- 1} (U)$ est ouvert dans le i de _{du Y pour chaque &isin du i ; I .}

Exemples

la topologie de quotient de est la topologie finale sur l'espace de quotient en ce qui concerne la carte de quotient de .
Le disjoignent l'union est la topologie finale en ce qui concerne la famille des injections canoniques
Plus généralement, un espace topologique est le logique avec une famille des sous-espaces s'il fait coinduced la topologie finale par les cartes d'inclusion.
La limite directe de n'importe quel dirigent le système des espaces et les cartes continues est la limite directe placer-théorétique ainsi que la topologie finale déterminée par les morphisms canoniques.
Donné une famille des topologies {&tau ; i de _{} sur un fixe X d'ensemble la topologie finale sur le X en ce qui concerne le X} d'id_{de fonctions : ( X , &tau ; &rarr du i} de _{) ; Le X est le Infimum (ou rassemblement) des topologies {&tau ; i} de _{} dans le trellis de des topologies sur le X . C'est-à-dire, le &tau final de topologie ; est l'intersection des topologies {&tau ; i} de _}.

Propriétés

Un sous-ensemble de $X$ est fermé si et seulement si son preimage sous le i de _{du f est clôturé dans $Y_i$ pour chaque &isin du i ; I .}

La topologie finale sur le X peut être caractérisée par la propriété universelle suivant : une fonction $g$ de $X$ à un certain espace $Z$ est continue si et seulement si le $g \ circ f_i$ est continu pour chaque &isin du i ; I .

Par la propriété universelle du disjoindre la topologie des syndicats que nous savons que donné toute famille du continu i de _{du f de cartes : &rarr du i} de _{du Y ; Le X il y a un $f \ deux points \ coprod_i continus uniques Y_i de de carte \ à X$ Si la famille du du i} de _{du f de cartes couvre le X de (c. chaque X dans le X se situe dans l'image d'un certain i} de _{du f ) alors que le f de carte sera une carte de quotient de si et seulement si le X a la topologie finale déterminée par le i} de _{du f de cartes.}

Description catégorique

Dans la langue de la théorie de catégorie de , la construction finale de topologie peut être décrite comme suit. Laisser le Y être un Functor d'un discret J de la catégorie à la catégorie de du dessus des espaces topologiques qui choisit le i de _{du Y des espaces pour le i dans le J . Laisser le &Delta ; être le functor diagonal à partir du dessus au J de ^{du dessus de la catégorie de Functor de (ce functor envoie chaque X de l'espace au functor constant au X ). La catégorie (&darr de virgule de Y ; &Delta ;) est alors la catégorie de des cônes du Y , c. objecte dedans (&darr de Y ; &Delta ;) sont les paires ( X , f ) où le i}} de _{du f : &rarr du i} de _{du Y ; Le X est une famille des cartes continues au X . Si le U est le functor étourdi à partir du dessus au réglé et au &Delta ; &prime ; est le functor diagonal du réglé au réglé J de ^{du puis la catégorie de virgule (&darr de l'UY de ; &Delta ; &prime ;) est la catégorie de tous les cônes du UY . La construction finale de topologie peut alors être décrite comme functor de (&darr de l'UY de ; &Delta ; &prime ;) à (&darr de Y ; &Delta ;). Ce functor est l'adjoint laissé par au functor étourdi correspondant.}}

Voir également

Topologie initiale

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