Topologie faible

Dans les mathématiques , la topologie faible est une limite alternative pour la topologie d'initiale de . La limite est la plus utilisée généralement pour la topologie initiale d'un espace de vecteur de Normed en ce qui concerne son (continu) duel. Le reste de cet article traitera ce cas, qui est l'un des concepts de base de l'analyse fonctionnelle .

Chaque normed X de l'espace de vecteur est, en employant la norme pour mesurer des distances, un espace métrique et par conséquent un espace topologique. Cette topologie sur le X s'appelle également le la topologie forte . La topologie faible sur le X est définie using le continu X^* de l'espace duel. Cet espace duel se compose de toutes les fonctions linéaires du X dans le bas R de champ ou le C qui sont le continu en ce qui concerne la topologie forte. La topologie faible sur le X est la topologie la plus faible (la topologie avec les quelques ensembles ouverts) tels que tous les éléments du X^* demeurent continus. Explicitement, un sous-ensemble de X est ouvert dans la topologie faible si et seulement s'il peut écrire comme union (probablement infiniment des ensembles de beaucoup), dont chacun étant une intersection de façon finie de beaucoup d'ensembles du &phi de forme ; ^-1 ( U ) avec le &phi ; dans le X^* et le U un sous-ensemble ouvert du bas R de champ ou de C . Un ordre ( n de de _{de X ) dans le X converge dans la topologie faible au X d'élément du X si et seulement si &phi ; ( n} de _{de X ) converge au &phi ; ( X ) dans le R ou le C pour tout le &phi ; dans le X^* .}

Si le X est équipé de la topologie faible, alors l'addition et la multiplication scalaire demeurent des opérations continues, et le X est un espace de vecteur topologique convexe de localement .

Le X^* (si le X normed) est lui-même de l'espace duel un espace de vecteur normed en employant la norme ||&phi ; || = sup_{||X||&le ; 1}|&phi ; ( X )|. Cette norme provoque la topologie forte sur le X^* .

La topologie de weak-*

< ! -- la convergence de weak* dans l'espace linéaire normed lie à ce titre -->

Un peut aussi définir weak-* topologie sur $X^*$ par exigeant qu'il est faible topologie tel que pour chaque $x$ dans $X$ , substitution carte

$\ Phi_x \ deux points X^* \ \ mathbb {R} \ mbox {ou} \ mathbb {C}$ défini par

$\ Phi_x (\ phi) = \ phi (x) \ mbox {pour tous} \ phi \ dans X^*$ reste continu.

C'est plus faible que la topologie faible sur $X^*$ : la topologie faible est la topologie la plus faible tels que chaque élément du $X^ {**}$ définit une fonction continue, mais la topologie de weak-* emploie seulement $X$ , ou plus correctement, l'image de $X$ sous le $de substitution \ à X^ {**}$ : la topologie faible sur $X^*$ examine contre le $X^ {**}$ , les essais de topologie de weak-* contre $X$ .

Un fait important sur la topologie de weak-* est le théorème de Banach-Alaoglu de : la boule d'unité dans le $X^*$ est le compact dans la topologie de weak-*.

En outre, la boule d'unité du $X$ est compacte dans la topologie faible si et seulement si le $X$ est le réfléchi.

Un &phi de l'ordre (ou le net) ; _n dans $X^*$ est convergent au &phi ; dans la topologie de weak-* fournie $de \ phi_n (x) \ rightarrow \ phi (x) \ mbox {comme} n \ rightarrow \ infty$ pour tout le X dans le X .

En d'autres termes, la topologie de weak-* est induite par la topologie de de la convergence de pointwise pour l'espace de toutes les fonctions scalaire-évaluées définies sur le $X$ . Il peut d'une manière equivalente reformuler que la topologie de weak-* est induite par la topologie de produit de sur le $de \ ^X$ du mathbb {K} où le $de \ mathbb {K}$ est l'ensemble de grandeurs scalaires.

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