Topologie de Zariski

Dans les mathématiques , à savoir la géométrie algébrique de , la topologie de Zariski de est une topologie particulière choisie pour les variétés algébriques qui reflète la nature algébrique de leur définition mais seulement est faiblement liée à leurs propriétés géométriques ; elle est due à l'oscar Zariski et a pris un endroit d'importance particulière dans le domaine autour de 1950. Joe Harris que aime indiquer dans ses conférences d'introduction que c'est " ; pas un vrai topology" ; et précise que dans la topologie de Zariski, le les courbes algébriques de chaque de deux sont le homéomorphe simplement parce que leurs ensembles étant à la base ont des cardinalities égaux et leurs topologies sont deux Cofinite . Naturellement, une telle homéomorphie n'est pas une carte régulière , mais ceci accentue simplement le fait que la structure profonde des variétés algébriques est la plupart du temps codée dans le choix des fonctions de entre elles plutôt que des topologies de sur elles. Dans ce sens, la topologie de Zariski est un outil d'organisation plutôt qu'un objet de l'étude (comparée au rôle de la topologie dans topologie algébrique ). La topologie plus subtile d'étale de a été découverte par le Grothendieck dans les années 60 ; tandis qu'elle reflète la géométrie bien plus exactement qu'elle est également fortement non triviale même pour décrire et n'est pas comme de base au sujet.

La définition classique

Dans la géométrie algébrique classique (c'est-à-dire, le sujet avant la révolution de Grothendieck de la fin des années 1950 et des années 60) la topologie de Zariski a été définie de la façon suivante. Juste comme le sujet lui-même était divisé en étude de affinent et des variétés projectives (voir le les définitions algébriques de variété) la topologie de Zariski est définies légèrement différemment pour ces deux. Nous supposons que nous travaillons au-dessus d'un fixe et algébriquement fermé k de champ, qui dans la géométrie classique était presque toujours les nombres complexes .

Affiner les variétés

D'abord nous définissons la topologie affinons dessus le $des espaces \ ^n du mathbb {A},$ qu'en tant qu'ensembles sont juste le n - les espaces de vecteur dimensionnels au-dessus du k . La topologie est définie en spécifiant son fermé, plutôt que ses ensembles ouverts, et ceux-ci sont pris simplement pour être tous les ensembles algébriques dans le $\ mathbb {A} ^n.$ c'est-à-dire, que les ensembles fermés sont ceux de la forme

là où le S est placé des polynômes dans des variables du n au-dessus du k . C'est une vérification franche pour montrer cela :
V ( S ) DE

= V (( S )), où ( S ) est le idéal produit par les éléments du S ;
Pour deux idéaux quelconques du I , le J de polynômes, nous prenons
# $V (I) \ tasse V (J) \, = \, V (IJ) ;$
# $V (I) \ chapeau V (J) \, = \, V (I + J).$

Il suit que les syndicats finis et les intersections arbitraires du V ( S ) d'ensembles sont également de cette forme, de sorte que ces ensembles forment les ensembles fermés d'une topologie (d'une manière equivalente, leurs compléments, dénoté D ( S ), forment la topologie elle-même). C'est la topologie de Zariski sur le $\ mathbb {A} ^n.$

Si le X est un ensemble algébrique d'affinage (irréductible ou pas) puis la topologie de Zariski là-dessus est définie simplement pour être la topologie de sous-espace de induite par son inclusion dans un certains $\ mathbb {A} ^n.$ d'une manière equivalente, il peut être vérifiée cela :

les éléments de l'affinage coordonnent l'anneau $A de de (X) \, = \, k \ points, x_n/I (X)$

agir en tant que fonctions sur le X juste comme les éléments du $k \ des points, x_n$ agissent en tant que fonctions sur le ^n de $\ mathbb {A} ;$ Pour réglé du S de polynômes, laisser le T être l'ensemble de leurs images dans le A (X) . Puis le sous-ensemble de X = du $V'(de de T) \ {x \ dans X \ mi f (x) = 0, \ forall f \ dans T \}$

(ces notations ne sont pas standard) est égal à l'intersection avec le X du V .

Ceci établit que l'équation ci-dessus, clairement une généralisation de la précédente, en définit la topologie de Zariski sur affinent la variété.

Variétés projectives

Se rappeler que le n - le $\ mathbb dimensionnels {P} ^n$ est défini pour être l'ensemble de classes d'équivalence des points différents de zéro dans le ^ de $\ mathbb {A} {n + 1}$ en identifiant deux points qui diffèrent par un multiple scalaire dans le k . Le $\ points, x_n$ n'agit pas en tant que fonctions sur le $\ mathbb {P} ^n$ parce que n'importe quel point a beaucoup de représentants qui rapportent différentes valeurs dans un polynôme ; cependant, les polynômes homogènes ont des valeurs zéro ou différentes de zéro bien définies sur n'importe quel point projectif depuis les facteurs multiples scalaires hors du polynôme. Par conséquent si le S est placé des polynômes homogènes nous pouvons raisonnablement parler de

Les mêmes faits comme ci-dessus peut être établi pour ces ensembles, sauf que le " de mot ; ideal" ; doit être remplacé par le " d'expression ; " homogène de l'idéal ; , de sorte que le V ( S ), pour le S d'ensembles des polynômes homogènes, définissent une topologie sur le $\ mathbb {P} ^n.$ comme au-dessus des compléments de ces ensembles sont le dénoté D ( S ), ou, si la confusion est susceptible de résulter, D&prime ; ( S ).

La topologie projective de Zariski est définie pour les ensembles algébriques projectifs juste comme l'affinage un est défini pour affinent les ensembles algébriques, en prenant la topologie de sous-espace. De même, il peut montrer que cette topologie est définie intrinsèquement par des ensembles d'éléments de l'anneau du même rang projectif, par la même formule comme ci-dessus.

Propriétés

Un fait très utile sur ces topologies est que nous pouvons exhiber une base pour elles se composant en particulier des éléments simples, à savoir le D ( f ) pour le individuel f de polynômes (ou pour des variétés projectives, polynômes homogènes). En effet, ce ceux-ci forment une base suit de la formule pour l'intersection de deux ensembles Zariski-fermés donnés ci-dessus (l'appliquer à plusieurs reprises aux principaux idéaux produits par les générateurs de ( S )). Ceux-ci s'appellent le distingué par ou le de base ouvrent des ensembles.

Tous les variété, projectives ou affinent, sont un espace de contrat de avec la topologie de Zariski. En effet, plus est vrai : par le théorème de base de Hilbert de et quelques propriétés élémentaires des anneaux noethériens chaque affiner ou l'anneau du même rang projectif est noethérien. Il s'en suit que chaque ensemble ouvert est en fait un l'union que finie de de distingué ouvrent des ensembles, et il est facile de prouver que chacun ouvert distingué doit être compact. Par conséquent, chaque ensemble ouvert de chaque variété est compact, qui leur fait le les espaces topologiques noethériens

Cependant, à moins que le k soit un champ fini aucune variété n'est jamais un espace de Hausdorff . Dans le vieux " topologique de littérature ; compact" ; a été pris pour inclure la propriété de Hausdorff, et cette convention est encore honorée dans la géométrie algébrique ; donc la compacité dans le sens moderne s'appelle le " ; quasicompactness" ; dans la géométrie algébrique. Cependant, depuis chaque point ( a₁ ,…, a_n ) est l'ensemble zéro du x₁ - le a₁ de polynômes,…, le x_n - le a_n , points sont fermé et ainsi chaque variété satisfait axiome du le '' T₁ ''.

Chaque carte régulière des variétés est le continu dans la topologie de Zariski. En fait, la topologie de Zariski est la topologie la plus faible (avec les quelques ensembles ouverts) dans à laquelle c'est vrai et à quels points sont fermés. Ceci est facilement vérifié en notant que les ensembles Zariski-fermés sont simplement les intersections des images inverses de 0 par les fonctions polynômes, considérées en tant que cartes régulières dans le $\ mathbb {A} ^1.$

La définition moderne

La géométrie algébrique moderne prend le spectre de d'un anneau en tant que son point de départ. Dans cette formulation, les ensembles Zariski-fermés sont pris pour être les ensembles $V de (I) = \ {P \ dans \ operatorname {} de Spéc. \, (a) \ mi I \ subseteq P \}$

là où le A est un anneau commutatif et un fixes I est un idéal. Pour voir le raccordement avec l'image classique, noter cela pour n'importe quel S des polynômes (au-dessus d'un champ algébriquement fermé), il d'ensemble suit de Nullstellensatz de Hilbert de que les points de V ( S ) sont exactement les tuples ( a₁ ,…, a_n ) tels que ( x₁ - le a₁ ,…, le x_n - a_n ) contient le S ; d'ailleurs, ce sont des idéaux maximaux et par le " ; weak" ; Nullstellensatz, un idéal de en affinent l'anneau du même rang est maximal si et seulement s'il est de cette forme. Ainsi, le V ( S ) est " ; le même as" ; les idéaux maximaux contenant le S . L'innovation de Grothendieck en définissant Spéc. était de remplacer des idéaux maximaux par tous les idéaux principaux ; dans cette formulation il est normal de généraliser simplement cette observation à la définition d'un ensemble fermé dans le spectre d'un anneau.

Une manière, peut-être un plus semblable différents à l'original, d'interpréter la définition moderne est de se rendre compte que les éléments du A peuvent être considérés réellement comme des fonctions sur les idéaux principaux du A ; à savoir, comme fonctions sur le A de Spéc. Simplement, n'importe quel idéal principal P a un champ correspondant de résidu de qui est le champ de des fractions du A / P de quotient, et n'importe quel élément du A a une réflexion dans ce domaine de résidu. En outre, les éléments qui sont réellement dans le P sont avec précision ceux dont la réflexion disparaît. Ainsi si nous pensons à la carte, associé à tout d'élément un du A :

$e_a \ deux points \ bigl (P \ dans \ operatorname {Spéc.} (a) \ bigr) \ mapsto \ est parti (\ frac {a \ bmod P} {1} \ dans \ operatorname {Frac} (A/P) \ droit)$ (" ; évaluation de un " de ;) ce qui assigne à chaque point sa réflexion dans le domaine de résidu là, comme fonction sur le A (dont les valeurs de Spéc., évidemment, se situent dans différents champs à différents points), puis cette fonction disparaît avec précision aux points de V (( un )). Plus généralement, le V ( I ) pour n'importe quel idéal I est l'ensemble commun sur lequel tout le " ; functions" ; dans le I disparaissent, qui sont formellement semblables à la définition classique. En fait, ils conviennent dans le sens que quand le A est l'anneau des polynômes au-dessus d'un certain algébriquement fermé k de champ, les idéaux maximaux du A (comme discuté dans le paragraphe précédent) sont identifiés avec le n - les tuples des éléments du k , leurs champs de résidu sont juste le k , et le " ; evaluation" ; les cartes sont réellement évaluation des polynômes au correspondant n - tuples. Depuis comme montré ci-dessus, la définition classique est essentiellement la définition moderne avec seulement des idéaux maximaux considérés, ceci montre à cela l'interprétation de la définition moderne comme " ; ensembles zéro de functions" ; est d'accord avec la définition classique où ils tous les deux semblent raisonnable.

Juste comme Spéc. remplace affiner les variétés, la construction de Proj de remplace des variétés projectives dans la géométrie algébrique moderne. Juste comme dans le cas classique, pour se déplacer de l'affinage à la définition projective que nous devons seulement remplacer le " ; ideal" ; par le " ; ideal" homogène ; , bien qu'il y ait une complication impliquant le " ; ideal" maximal non pertinent ; ce qui est discuté dans l'article cité.

Exemples

Spéc. k de , le spectre d'un k du champ est l'espace topologique avec un élément.
Le ℤ de Spéc. de , l'éventail des nombres entiers a un point fermé pour chaque nombre premier correspondant au ℤ maximal de ⊂ des idéaux ( p ) de et un point générique non-fermé (c. dont la fermeture est l'espace entier) correspondant à l'idéal nul (0). Ainsi les sous-ensembles fermés de ℤ de Spéc. de sont les syndicats avec précision finis des points fermés et de l'espace entier.

Spéc. k de '', spectre de l'anneau polynôme au-dessus du du champ k de , qui de est $\ mathbb également dénotés A^1$ , le affinent la ligne : l'anneau polynôme est connu pour être un domaine d'idéal principal et les polynômes irréductibles sont les éléments principaux du k ''. Si le k est le algébriquement clôturé, par exemple le champ des nombres complexes , un polynôme non-constant est le irréductible IFF qu'il est linéaire, c. du t - un de forme, pour un certain d'élément un du k . Ainsi, le spectre se compose d'un point fermé pour chaque d'élément un du k et d'un point générique, correspondant à l'idéal nul. Si le k n'est pas algébriquement fermé, par exemple le champ des vrais nombres l'image devient plus compliqué en raison de l'existence des polynômes irréductibles non linéaires. Par exemple, le spectre du $\ du mathbb R$ se compose du fermé de points (x-a) , $a \ dans \ mathbb R$ , (x²+px+q) où $p, q \ dans \ mathbb R$ et discriminant de négatif p²-4q < 0 et finalement un générique de point (0) . Pour n'importe quel champ, les sous-ensembles fermés de Spéc. k de '' sont les syndicats finis des points fermés et de l'espace entier. (C'est clair de la discussion ci-dessus pour les champs algébriquement fermés. La preuve du cas général exige de l'algèbre commutative , à savoir le fait de , que la dimension de Krull de de k '' est un -- voir le théorème de l'idéal principal de Krull de ).

Propriétés

La plupart de changement spectaculaire dans la topologie de l'image classique au nouveau est que des points plus ne sont nécessairement fermés ; en augmentant la définition, Grothendieck a présenté les points génériques dont les fermetures sont strictement plus grandes qu'elles-mêmes. Les points qui sont fermés sont ceux qui correspondent aux idéaux maximaux du A . Note, cependant, que le spectre et le spectre projectif sont toujours les espaces du T₀ : donné deux points du P , le Q , qui sont des idéaux principaux du A , au moins l'un d'entre eux ne contient pas l'autre, disent le P . Alors le D ( Q ) contient le P mais, naturellement, pas le Q .

Juste comme dans la géométrie algébrique classique, n'importe quel spectre ou spectre projectif est compact, et si l'anneau en question est noethérien puis l'espace est un espace noethérien. Cependant, ces faits sont contre-intuitifs : nous ne nous attendons pas à ce que normalement les ensembles ouverts, autre que les composants reliés par , soient compacts, et pour affiner les variétés (par exemple, l'espace euclidien) que nous ne nous attendons pas à ce que même l'espace lui-même soit compact. C'est un exemple de l'inaptitude géométrique de la topologie de Zariski. Grothendieck a résolu ce problème en définissant la notion du properness d'un arrangement (réellement, d'un morphism des arrangements), qui récupère l'idée intuitive de la compacité : Proj est approprié, mais Spéc.

Voir également

variété algébrique
Spectre de d'un anneau

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