Topologie
Topologie (topos grecs , " de de ; endroit, " ; et logos , " de ; study" ;) est une branche des mathématiques qui sont une prolongation de la géométrie . La topologie commence par une considération de la nature de l'espace, étudiant sa structure fine et sa structure globale. Constructions de topologie sur la théorie des ensembles , vu les deux ensembles de points et familles des ensembles.
La topologie mot est employée pour le domaine d'étude et pour une famille des ensembles avec certaines propriétés décrites ci-dessous que sont employés pour définir un espace topologique . D'importance particulière dans l'étude de la topologie sont les fonctions ou les cartes qui sont Homeomorphisms de '. Officieusement, ces fonctions peuvent être considérées pendant que ceux qui étirent l'espace sans le détacher ou coller les pièces distinctes ensemble.
Quand la discipline était première correctement fondée, vers la fin du 19ème siècle , ce s'est appelé de situs de geometria de (la géométrie latine du d'endroit) et le de situs d'analyse de (analyse latine du d'endroit). Environ de 1925 à 1975 c'était un secteur de croissance important dans des mathématiques.
La topologie est une grande branche des mathématiques qui incluent beaucoup de sous-champs . La division la plus fondamentale dans la topologie est de Point-a placé la topologie , qui étudie des concepts tels que la compacité , la connexité , et le countability ; topologie algébrique de de , qui étudie des concepts tels que le Homotopy et l'homologie ; et topologie géométrique de de , qui étudie les tubulures et leurs embeddings, y compris la théorie de noeud .
Voir également : Glossaire de topologie de pour des définitions de certains des termes utilisés dans l'espace topologique de topologie et de pour un traitement plus technique du sujet.
Histoire
La branche de la topologie maintenant appelée de mathématiques a commencé par la recherche sur certaines questions dans la géométrie. Le papier du 1736 de s d'Euler Leonhard le 'sur des ponts du sept de de Königsberg est considéré comme un des premiers résultats topologiques.
Le " de limite ; topologie" ; a été présenté en allemand en 1847 par le Johann Benoît énumérant dans le zur Topologie , und Ruprecht, Göttingen, Pp. 67, 1848 de Vorstudien de de Vandenhoeck. Cependant, l'énumération avait déjà employé le mot pendant dix années dans la correspondance. " ; Topology" ; , sa forme anglaise, a été présentée en 1883 dans le la '' nature '' de journal pour distinguer le " ; la géométrie qualitative de la géométrie ordinaire dans laquelle les relations quantitatives sont principalement treated" ;. Le topologist de limite dans le sens d'un spécialiste dans la topologie a été employé en 1905 dans le spectateur de de magasin.
La topologie moderne dépend fortement des idées de la théorie des ensembles , développées par le chantre de Georg de dans la partie postérieure du 19ème siècle. Le chantre, en plus d'établir les idées fondamentales de la théorie des ensembles, a considéré des ensembles de point dans l'espace euclidien , en tant qu'élément de son étude de la série de Fourier De .
Analyse Situs de éditée par de Henri Poincaré de en 1895, présentant les concepts du Homotopy et de l'homologie , qui sont maintenant considérés une partie de topologie algébrique.
Le Maurice Fréchet , unifiant le travail sur les espaces de fonction du chantre, Volterra , Arzelà , Hadamard , Ascoli et d'autres, a présenté l'espace métrique en 1906. Un espace métrique est maintenant considéré un cas spécial d'un espace topologique général. En 1914, le Felix Hausdorff a inventé le " de limite ; space" topologique ; et a donné la définition pour ce qui s'appelle maintenant un espace de Hausdorff . Dans l'utilisation courante, un espace topologique est une légère généralisation des espaces de Hausdorff, donnée en 1922 par le Kazimierz Kuratowski .
Pour des développements ultérieurs, voir que le Point-a placé la topologie et la topologie algébrique .
Introduction élémentaire
Les espaces topologiques apparaissent naturellement dans presque chaque branche des mathématiques. Ceci a fait la topologie une des grandes idées unifying des mathématiques. topologie générale de , ou le Point-a placé la topologie , définit et étudie des propriétés des espaces et des cartes telles que la connexité , la compacité et le continuité . la topologie algébrique de emploie des structures de l'algèbre , particulièrement le groupe d'abrégé sur de pour étudier les espaces topologiques et les cartes entre eux.La perspicacité de motivation derrière la topologie est que quelques problèmes géométriques dépendent pas de la forme exacte des objets impliqués, mais plutôt sur le chemin qu'ils sont remontés. Par exemple, la place et le cercle ont beaucoup de propriétés en commun : ils sont les deux objets unidimensionnels (d'un point de vue topologique) et les deux séparés l'avion dans deux parts, la pièce intérieure et la pièce dehors.
Un des premiers papiers dans la topologie était la démonstration, par le Leonhard Euler , qu'il était impossible de trouver un itinéraire par la ville de Königsberg (maintenant Kaliningrad ) qui croiserait chacun de ses sept ponts exactement une fois. Ce résultat n'a pas dépendu des longueurs des ponts, ni de leur distance les uns des autres, mais seulement sur des propriétés de connectivité : quels ponts sont reliés auxquels des îles ou des riverbanks. Ce problème, les ponts du sept de de Königsberg , est maintenant un problème célèbre dans des mathématiques d'introduction, et mené à la branche des mathématiques connue sous le nom de théorie de graphique .
De même, le théorème velu de boule de de la topologie algébrique indique ce " ; on ne peut pas peigner les cheveux sur une boule smooth." ; Ce fait est immédiatement d'une façon convaincante à la plupart des personnes, quoiqu'ils ne pourraient pas identifier le rapport plus formel du théorème, qu'il n'y a aucun champ continu nonvanishing du vecteur de tangente de du sur la sphère . Comme avec les ponts de de Königsberg , le résultat ne dépend pas de la forme exacte de la sphère ; il s'applique aux formes de poire et en fait à n'importe quel genre de goutte (sujet à certaines conditions sur la douceur de la surface), tant que il n'a aucun trou.
Afin de traiter ces problèmes qui ne se fondent pas sur la forme exacte des objets, on doit être clair au sujet de au juste quelles propriétés ces problèmes que le font se fondent sur. De ce besoin résulte la notion de l'équivalence topologique en . L'impossibilité de croiser chaque pont s'applique juste une fois à n'importe quel arrangement d'équivalent de ponts topologiquement à ceux dans Königsberg, et le théorème velu de boule s'applique à n'importe quel équivalent de l'espace topologiquement à une sphère.
Intuitivement, les deux espaces sont topologiquement équivalent si un peut être déformé dans l'autre sans découpage ou collage. Une plaisanterie traditionnelle est qu'un topologist ne peut pas indiquer la tasse de café dont hors she< ! -- veuillez ne pas la remplacer près il, il est parfaitement bien de l'avoir des topologists--> boit du beignet qu'elle mange, puisqu'un beignet suffisamment flexible pourrait être remodelé à la forme d'une tasse de café en créant une fossette et en l'agrandissant progressivement, tout en rétrécissant le trou dans une poignée. < ! -- naturellement, le topologist doit être un Américain. Les beignets britanniques n'ont pas un trou. -->
Un exercice d'introduction simple est de classifier les lettres minuscules de l'alphabet anglais selon l'équivalence topologique. (On assume que les lignes des lettres ont la largeur différente de zéro.) Dans la plupart des polices dans l'utilisation moderne, il y a une classe {a, b, d, e, o, p, q} des lettres avec un trou, une classe {c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, W, x, y, z} des lettres sans trou, et une classe {I, j} des lettres se composant de deux morceaux. g peut ou appartenir dans la classe avec un trou, ou (dans quelques polices) ce peut être l'élément unique d'une classe des lettres avec deux trous, selon si la queue est fermée. Pour un exercice plus compliqué, il peut supposer que les lignes ont la largeur zéro ; on peut obtenir plusieurs différentes classifications selon lesquelles la police est employée. La topologie de lettre est d'importance pratique dans la typographie de pochoir : La fanfaronnade de police, par exemple, peut être coupée d'un avion sans tomber en morceaux.
Définition mathématique
voient également :
l'espace topologique Laisser le X être n'importe quel ensemble et laisser le T de être une famille des sous-ensembles de X . Alors le T de est une topologie sur le X si
l'ensemble vide et le X sont des éléments du T de .
Si le T de est une topologie sur le X , alors le X ainsi que le T de s'appelle un espace topologique .
Tous les ensembles dans le T de s'appellent le ouvert ; noter que non tous les sous-ensembles de X sont dans le T de . Un sous-ensemble de X serait clôturé par si son complément est dans le T (c., ce de est le ouvert). Un sous-ensemble de X peut être ouvert, fermé, les deux , ou ni l'un ni l'autre.
Une fonction ou la carte de l'un espace topologique à l'autre s'appelle le continu si l'image inverse de ensemble ouvert en est ouverte. Si la fonction trace les vrais nombres aux vrais nombres (les deux l'espace avec la topologie standard), alors cette définition de continu est équivalente à la définition de continu dans le calcul . Si une fonction continue est le linéaire et sur et si l'inverse de la fonction est également continu, alors la fonction s'appelle une homéomorphie et le domaine de la fonction serait homéomorphe à la gamme. Une autre manière de dire ceci est que la fonction a une prolongation normale à la topologie. Si les deux espaces sont homéomorphes, ils ont les propriétés topologiques identiques, et sont considérés topologiquement les mêmes. Le cube et la sphère sont homéomorphes, de même que la tasse de café et le beignet. Mais le cercle n'est pas homéomorphe au beignet.
Topologie de quelques théorèmes en général
Chaque intervalle fermé dans le R de la longueur finie est le compact. Plus est vrai : Dans le R n, un ensemble est compact si et seulement si c'est clôturé et lié. (Voir le théorème de Heine-Borel de ). Chaque image continue d'un espace de contrat de est compacte.
Le théorème de Tychonoff de : Le produit (arbitraire) des espaces compacts est compact.
Un sous-espace compact d'un espace de Hausdorff est fermé.
Chaque ordre des points dans un espace métrique compact a un subsequence convergent.
Chaque intervalle dans le R est relié par .
L'image continue d'un espace de relié par est reliée.
Un espace métrique est Hausdorff , aussi le normal et le Paracompact .
Les théorèmes de Metrization de prévoient des conditions nécessaires et suffisantes une topologie pour venir d'un métrique.
Le théorème de prolongation de Tietze de : Dans un espace normal, chaque fonction à valeurs réelles continue définie sur un sous-espace fermé peut être prolongée à une carte continue définie sur l'espace entier.
Le théorème de catégorie de Baire de : Si le X est un espace métrique complet du ou un localement rendent l'espace compact de Hausdorff, alors l'intérieur de chaque union de comptable beaucoup d'ensembles denses nulle part de du est vide.
Sur un espace de Paracompact Hausdorff de chaque couverture ouverte admet une cloison de de subalterne de l'unité à la couverture.
Chaque chemin-a relié , le localement chemin-relié et l'espace simplement relié de Semi-locally a une couverture universelle .
La topologie générale a également quelques raccordements étonnants à d'autres secteurs des mathématiques. Par exemple :
en nombre la théorie, la preuve de Furstenberg de de l'infinité de amorce .
Quelques notions utiles de topologie algébrique
Voir également la liste de des matières algébriques de topologie.Homologie et Cohomology : Le Betti numérote le Euler de caractéristique.
applications Intuitif-attrayantes : Théorème à point fixe , théorème velu , théorème , théorème de Brouwer de de boule de de Borsuk-Ulam de de sandwich au jambon de .
Groupes de Homotopy (groupe fondamental y compris ).
Le Chern classe les classes de Pontryagin de des classes de Stiefel-Whitney de
Généralisations
De temps en temps, on doit utiliser les outils de la topologie mais d'un " ; ensemble de points" ; n'est pas disponible. Dans la topologie injustifiée on considère à la place le trellis des ensembles ouverts comme notion de base de la théorie, alors que les topologies de Grothendieck de sont certaines structures définies sur les catégories arbitraires qui permettent la définition des gerbes sur ces catégories, et avec cela la définition des théories tout à fait générales de cohomology.| Random links: | Charles W. Albertson | Colibri géant | École collégiale de Wanganui | Abstraction (sociologie) | La nuit finale | Topología |