Théorie de Hodge

Dans les mathématiques , la théorie de Hodge de est un aspect de l'étude de la topologie algébrique d'un doux M de la tubulure . Plus spécifiquement, elle établit les conséquences pour les groupes de Cohomology de M , avec de vrais coefficients, de la théorie de l'équation différentielle partielle d'opérateurs généralisés de Laplacian associés à un métrique Riemannian sur le M .

Il a été développé par le W. Hodge dans les années 30 comme prolongation du cohomology de De Rham de , et a des applications importantes à trois niveaux :
tubulures Riemannian * tubulures de Kähler de * la géométrie algébrique des variétés projectives complexe, et plus largement, motifs .

Dans le développement initial, le M a été pris pour être le compact et sans frontière . À chacun des trois niveaux la théorie était très influente sur le travail suivant, étant pris par le Kunihiko Kodaira (au Japon et plus tard, en partie sous l'influence de Hermann Weyl , chez Princeton) et beaucoup d'autres plus tard.

Applications et exemples

Cohomology de De Rham

La formulation originale de la théorie de Hodge, due à W. Hodge, était pour le de Rham complexe. Si le M est une tubulure orientable compacte équipée d'un métrique doux g , et $\ Omega^k (M)$ est la gerbe de formes de différentiel de du de degré k sur le M , alors le complexe de Rham est l'ordre des opérateurs différentiels

$0 \ rightarrow \ mathbb R \ xrightarrow {d_ {- 1}} \ Omega^0 (M) \ xrightarrow {d_ {0}} \ Omega^1 (M) \ xrightarrow {d_ {1}} \ point \ xrightarrow {} de d_ {n-1} \ Omega^n (M) \ xrightarrow {d_ {n}} 0$ là où $d_k$ dénote le dérivé extérieur sur le $\ Omega^k (M)$ . Le cohomology de Rham est alors l'ordre des espaces de vecteur définis près $H^k de (M)= \ frac {\ ker d_k} {\ mathrm {im} \, d_ {k-1}}.$

On peut définir l'adjoint de l'espace de Hilbert du dérivé extérieur d , le $dénoté \ delta$ au moyen du théorème de représentation de Riesz de comme suit. Pour tous les $\ alpha \ dans \ Omega^k (M)$ et $\ bêta \ dans \ Omega^ {k+1} (M)$ , nous avons besoin de ces $\ int_M \ langle de d \ alpha, \, bêta \ du rangle_ {k+1} de dV= \ int_M \ langle \ alpha \ delta \ bêta \ rangle_k dV$ là où le $\ langle \, \ \ rangle_k$ est le métrique induits sur le $\ Omega^k (M)$ . Le Laplacian de forme est alors défini par le $\ Delta=d \ delta+ \ delta d$ . Ceci permet à on de définir les espaces du $harmonique de de formes du \ du H_ \ du Delta^k mathcal (M)= \ {\ alpha \ dans \ Omega^k (M) \ mi \ delta \ alpha=0 \}$

On peut facilement montrer ces $d \ H_ \ Delta^k mathcal (M)=0$ , tellement il y a un $\ varphi de cartographie canoniques : \ H_ \ Delta^k mathcal (M) \ rightarrow H^k (M)$ . La première partie du théorème original de Hodge déclare que le $\ phi$ est un isomorphisme des espaces de vecteur. En d'autres termes, pour chaque classe de cohomology de Rham sur le M , il y a un représentant harmonique unique.

Une conséquence principale de ceci est que les groupes de cohomology de Rham sur une tubulure compacte sont fini-dimensionnels. Ceci suit depuis les opérateurs que le $\ Delta$ sont le elliptique, et le grain d'un opérateur elliptique sur une tubulure compacte est toujours un espace de vecteur fini-dimensionnel. Cependant, la théorie de Hodge rapporte réellement une abondance de richesse encore plus grande, car nous verrons dans la suite.

Théorie de Hodge de complexes elliptiques

Généralement la théorie de Hodge s'applique à n'importe quel complexe elliptique au-dessus d'une tubulure compacte.

Laisser $E_0, E_1, \ pointille, E_N$ soit les paquets de vecteur de , équipés de la métrique, sur un divers compact M avec un dV forme de volume. Supposer cela

$L_ i:\Gamma) (d'E_i \ rightarrow \ gamma (E_ {i+1})$

sont les opérateurs différentiels agissant sur des sections de ces paquets de vecteur, et ce l'ordre induit

$\ gamma (E_0) \ rightarrow \ gamma (E_1) \ rightarrow \ points \ rightarrow \ gamma (E_N)$

est un complexe elliptique. Il est commode de présenter le $de somme directe \ E^ mathcal \ cdot= \ bigoplus_i \ gamma (E_i)$ . Laisser le $L= \ bigoplus L_ i:\mathcal E^ \ cdot \ rightarrow \ E^ mathcal \ cdot$ , et laisser $L^*$ être l'adjoint du L . Définir le $elliptique d'opérateur \ Delta=LL^*+L^*L$ . Comme dans le cas de Rham, ceci rapporte l'espace de vecteur des sections harmoniques $de \ H= mathcal \ {e \ dans \ E^ mathcal \ cdot \ mi \ delta e=0 \}.$

Laisser ainsi le $H:\mathcal E^ \ cdot \ rightarrow \ H$ mathcal être la projection orthogonale, et laisser le G être l'opérateur de Green pour le $\ Delta$ . Le théorème de Hodge de affirme alors ce qui suit : le H de

et le G sont bien définis.

Id=H+ \

du delta G=H+G \ Delta

LG=GL,

L^*G=GL^*

Cohomology de complexe est canoniquement isomorphe à l'espace de harmonique section,

H) (d'E_j \ cong \ H mathcal (E_j)

, dans le sens que chaque classe de cohomology a un représentant harmonique unique.

Structures de Hodge

voient également :

la structure de Hodge de Une définition abstraite (de la vraie) structure de Hodge de est maintenant donnée : pour un vrai espace de vecteur $W$ , une structure de Hodge du poids $k$ de nombre entier sur $W$ est une décomposition de la somme directe de $W^ {\ mathbb C} = W \ otimes \ mathbb C,$ la complexification de $W$ , dans le $W^ évalué de morceaux {p, q}$ où $k = p+q$ , et la conjugaison complexe du $W^ {\ mathbb C}$ échange cet sous-espace avec le $W^ {q, p}$ .

L'instruction de base dans la géométrie algébrique est alors que les groupes singuliers du cohomology avec de vrais coefficients d'une variété projective complexe non singulière $V$ portent une telle structure de Hodge, avec le $H^ {k} (v)$ ayant la décomposition required dans le $complexe H^ {p, q} de sous-espaces$ . La conséquence pour les nombres de Betti de est celle, prenant des dimensions

$b_ {k} = \ faible H^ {k} (v) = \ sum_ {p+q=k} h^ {p,} de q \,$ ,

là où la somme court plus de tout le $p de paires, q$ avec $p+q=k$ et où h^ de $de {p, q} = \ faible H^ {p, q}$ .

L'ordre des nombres de Betti devient un diamant de Hodge de des nombres de Hodge de étendus dans deux dimensions.

Ceci qui évalue vient au commencement de la théorie des formes , celui d'harmonique de sont les représentants privilégiés dans une classe de cohomology de Rham sélectionnée par le Hodge Laplacian (généralisant fonctions harmoniques qui doivent être le localement constant sur les tubulures compactes par leur principe de maximum de ). Dans plus tard travail (Dolbeault) il était montré que Hodge décomposition ci-dessus peut aussi être trouvé au moyen de gerbe cohomology groupe $H^ {, de p} (V \ Omega^ {q})$ dans lequel le $\ Omega^ {q}$ est la gerbe de $q$ -forms holoèdre. Ceci donne plus directement une interprétation algébrique, sans Laplacians, pour ce cas.

Dans le cas des singularités ou des variétés non-compactes, la structure de Hodge doit être modifiée selon une structure de Hodge mélangée par , où la décomposition double-évaluée de somme directe est remplacée par une paire de filtrations . Ce cas est beaucoup employé, par exemple dans des questions de Monodromy .

Voir également

Cycle de Hodge de
Conjecture de Hodge de
Période de traçant
Théorème de Torelli de
Variation de de la structure de Hodge
Structure mélangée de Hodge de
Yoga de des poids (la géométrie algébrique)

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