Théorie d\'objet

La théorie d'objet de est une théorie dans la philosophie et la logique mathématique au sujet des objets et des rapports qui peuvent être faits au sujet des objets.

Une théorie sans cérémonie

" ; Une théorie dans des mathématiques classiques peut être considérée comme un arrangement simple et élégant de systématisation, par lequel une série de (vraisemblablement) véritable les vrais rapports, apparaissant précédemment pendant que le et indépendant hétérogènes, et souvent précédemment l'inconnu, sont comportés comme conséquences des théorèmes idéaux dans la théorie… . " ; (1952:57 de Kleene citant von Neumann 1947, Einstein 1944)

Objets

Dans certains cas " ; objects" ; peut être concrètement considéré comme des symboles et des cordes des symboles, ici illustrés par une corde de " de quatre symboles ; ←←↑↓←→←↓" ; comme composé de l'alphabet de 4 symboles {←, ↑, →, ↓}. Quand ils sont " ; connu seulement par les rapports du système qui ils semblent, le système est d'être qu'abstrait… ce qui sont les objets, à n'importe quel égard autre que la façon dont ils s'insèrent dans la structure, est laissé unspecified." ; (1952:25 de Klene)

Unes autre spécifications des objets ont comme conséquence un modèle ou la représentation du système abstrait, " de ; c. un système des objets qui satisfont les rapports du système abstrait et ont un certain autre " de statut aussi bien ; (ibid).

Un système

Un système, dans son sens général, est une collection d'objets O = {o₁, o₂,… o_n,…} et a (spécifications de) le r du rapport ou les rapports r₁, r₂,… r_n entre les objets : exemple de : Donné un système simple = {{←, ↑, →, ↓}, ∫ ) pour un rapport très simple entre les objets comme signifié par le ∫ de symbole : ↑ de => de → du ∫ de , ← de => de ↑ du ∫ , ↓ de => de ← du ∫ , → de => de ↓ du ∫

Un modèle de ce petit système se produirait quand nous assignons, par exemple les nombres normaux familiers {0, 1, 2, 3}, aux symboles {←, ↑, →, ↓}, c. de cette manière : → = 0, ↑ = 1, ← = 2, ↓ = 3. Ici, le ∫ de symbole indique le " ; function" de successeur ; (souvent écrit comme apostrophe « pour la distinguer de +) fonctionnant sur une collection de seulement 4 objets, ainsi de 0 » = 1, 1 ' = 2, 2 ' = 3, 3 ' = 0.

ou, nous pourrions spécifier que le ∫ représente des rotations dans le sens contraire des aiguilles d'une montre de 90 degrés d'un → simple d'objet.

Le génétique contre la méthode axiomatique

Ce qui suit est un exemple du méthode constructive génétique de ou de de des objets de fabrication dans un système, autre être le axiomatique ou méthode postulational du . Kleene déclare qu'une méthode génétique est prévue au " ; generate" ; tous les objets du système et de ce fait du " ; déterminer la structure abstraite du completely" de système ; et définir uniquement (et ainsi le catégoriquement de système). Si des axiomes plutôt qu'une méthode génétique est employés, tel axiome-placent serait le catégorique.

À la différence de l'exemple du ∫ ci-dessus, ce qui suit crée un nombre illimité d'objets. Le fait qu'O est un ensemble, et le □ est un élément d'O, et le ■ est une opération, doit être spécifié au départ ; ceci est fait dans la langue du Metatheory (voir ci-dessous) : Etant donné le système (O, □, ■} : O = {□, ■□, ■■□, ■■■□, ■■■■□, ■■■■■□,…, ■ⁿ□, etc.}

Abréviations

L'objet ■ⁿ□ démontre l'utilisation du " ; abbreviation" ; , une manière de simplifier la dénotation des objets, et par conséquent discussions au sujet de eux, une fois qu'ils ont été " créé ; officially" ;. Fait correctement la définition opérerait comme suit : ≡ ■¹□ de ■□ de de
de
, ≡ ■²□ de ■■□, ≡ ■³□ de ■■■□, etc., où les notions du ≡ (" ; as" défini ;) et " ; number" ; sont présupposés pour être compris intuitivement dans le metatheory.

Kurt Godel 1931 a pratiquement construit la preuve entière avec de ses théorèmes (il d'imperfection de a prouvé le théorème IV et et a esquissé réellement une preuve du théorème XI) au moyen de cette tactique, procédant à partir de ses axiomes using la substitution, la concaténation et la déduction des ponens de modus de pour produire une collection de " 45 ; definitions" ; (dérivations ou théorèmes plus exactement) des axiomes.

Une tactique plus familière est peut-être la conception des sous-routines qui reçoivent des noms, par exemple excelle dedans le " de sous-routine ; " du =INT (A1) ; ce revient à la cellule où il est dactylographié (par exemple cellule B1) le nombre entier qu'elle trouve en cellule A1.

Modèles

Un modèle de l'exemple ci-dessus est une bande gauche-finie de la machine de Poteau-Turing de avec son " fixe ; head" ; situé sur la place terminante à gauche ; la relation de système est équivalente à : " ; À l'extrémité gauche, la pointe sur un nouveau □ carré, droit-décalent la bande, puis le ■ d'impression sur le nouveau square" ;. Un autre modèle est les nombres normaux comme créé par le " ; successor" ; fonction. Puisque les objets dans les deux systèmes par exemple (□, ■□, ■■□, ■■■□…) et (0, 0 ', 0 , 0 ,…) peuvent être mis dans une correspondance 1-1, les systèmes serait (simplement) le isomorphe du de (" de signification ; le même shape" ;). Encore un autre modèle isomorphe est le petit ordre des instructions pour un " de la machine de compteur de par exemple ; Faire le suivant dans l'ordre : (1) creusent un trou. (2) dans le trou, jeter un caillou. (3) vont faire un pas 2." ;

Tant que leurs objets peuvent être placés dans la correspondance linéaire (" ; tout en préservant le relationships" ;) des modèles peuvent être considérés " ; equivalent" ; n'importe comment leurs objets sont produits (par exemple génétiquement ou axiomatique) : " de ; Deux systèmes simplement isomorphes quelconques constituent des représentations du même sytem abstrait, qui est obtenu par le dépouillement de l'une ou l'autre de elles, c. en laissant hors de considération tous les rapports et propriétés excepté ceux à considérer pour le system." abstrait ; (1935:25 de Kleene)

Prétentions tacites, la connaissance tacite

Un lecteur alerte a pu avoir noté ces □ de symboles d'écriture, ■□, ■■□, ■■■□, etc. en enchaînant une place marquée, c. le ■, à une corde existante est différent qu'écrivant les symboles réalisés l'un après l'autre sur bande de Turing-machine. Un autre scénario entirely-possible serait de produire des symbole-cordes l'un après l'autre sur différentes sections de bande par exemple après trois symboles : ■■■□■■□■□□. La preuve que ces deux possibilités sont différentes est facile : elles exigent le " différent ; programs" ;. Mais dans une certaine mesure les deux versions créent les mêmes objets ; dans le deuxième cas les objets sont préservés sur la bande. De la même manière, si une personne devaient écrire 0, alors l'effacent, écrivent 1 dans le même lieu, puis l'effacent, écrivent 2, l'effacent, ad infinitum, la personne produit des mêmes objets comme si ils notaient à 0 1… écritures 2 3 un symbole après des autres vers la droite sur le papier.

Une fois que la mesure a été prise pour noter aux symboles 3 2 1 0 l'un après l'autre sur un morceau de papier (écrivant au nouveau symbole du côté gauche cette fois), ou écrivant le ※ de ※ de ∫ de ※ de ∫∫ de ※ de ∫∫∫ d'une façon semblable, puis en les mettant dans la correspondance 1-1 avec Turing-attacher du ruban adhésif aux symboles semble évident. Le creusement troue un après l'autre, commençant par un trou au " ; l'origin" ; , puis un trou vers sa gauche avec un caillou dans lui, puis un trou au que son est parti avec deux cailloux dans lui, ad infinitum, soulève des questions pratiques, mais dans l'abstrait il aussi peut voir pour favoriser la même correspondance 1-1.

Cependant, rien en particulier dans la définition de génétique contre des méthodes axiomatiques ne dégage ceci vers le haut -- ce sont des issues à discuter dans le metatheory. Le mathématicien ou le scientifique doit être jugé responsable des caractéristiques mouillées. Breger avertit que les méthodes axiomatiques sont susceptibles de la connaissance tacite, en particulier, la sorte qui implique le " ; savoir-faire d'un " d'être humain ; (2000:227 de Breger).

Un système formel

Généralement dans les mathématiques un système formel ou " ; " formel de la théorie ; se compose du " ; objects" ; dans une structure :
Les symboles à enchaîner (touché),
Les formation-règles (complet-spécifiques, c. règles formelles de syntaxe ) ce précepte comment les symboles et les ensembles des symboles doivent être façonnés en des ensembles (par exemple ordres) des symboles (appelés des limites, des formules, des phrases, des propositions, des théorèmes, etc.) de sorte qu'ils soient dans le " ; well-formed" ; modèles (par exemple peut-il un symbole être enchaîné à son extrémité gauche seulement, à sa bonne extrémité seulement, ou les deux extrémités simultanément ? Peut une collection de symboles être substituée (mis au lieu de) à un ou plusieurs symboles qui peuvent apparaître n'importe où dans la symbole-corde de cible ?),
" bien formé ; propositions" ; (appelé " ; theorems" ; ou les affirmations ou les phrases) assemblées par formation ordonne,
Quelques axiomes qui sont énoncés d'avance et peuvent inclure le " ; notions" indéfinissable ; (exemples : " ; set" ; , " ; element" ; , " ; belonging" ; dans la théorie des ensembles ; " ; 0" ; et " ; '" ; (successeur) en nombre théorie),
Au moins une règle de l'inférence déductive (par exemple ponens de modus de ) qui permettent à on de passer d'un ou plusieurs des axiomes et/ou des propositions à une autre proposition.

Théorie sans cérémonie, théorie d'objet, et metatheory

Un Metatheory existe extérieur la théorie formalisée d'objet --les symboles et les relations sans signification et les cordes (bien formées) des symboles. Les commentaires metatheory sur (décrit, interprète, illustre) ces objets sans signification using le " ; intuitive" ; notions et " ; language" ordinaire ;. Comme la théorie d'objet, le metatheory devrait être discipliné, peut-être même quasi-formel elle-même, mais comme en général les interprétations des objets et des règles être intuitif plutôt que formel. Kleene exige que les méthodes de metatheory (au moins aux fins de Metamathematics ) soient finies, imaginables, et performable ; ces méthodes ne peuvent pas faire appel au infini réalisé par . " ; Les preuves de l'existence donneront, au moins implicitement, une méthode pour construire l'objet qui est prouvé à exist. 64)

Kleene récapitule ceci comme suit : " ; Dans la pleine image il y aura trois séparés et " distinct ; theories" ; " ; " de ; (a) la théorie sans cérémonie dont le système formel constitue un " formalisation ; (b) le système ou la théorie formel d'objet de , et " de
; (c) le metatheory, dans lequel le système formel est décrit et studied" ; (P. 65)

Il continue pour dire que la théorie d'objet (b) n'est pas un " ; theory" ; dans le sens conventionnel, mais est plutôt le " ; un système des symboles et des objets établis du " de symboles (décrits de (c)) ;. < ! -- Cette théorie d'objet (b) il appelle (peut-être embrouillant) un " ; model" ; de la théorie sans cérémonie (a). -->

Expansion de la notion du système formel

Objets bien formés

Si une collection d'objets (des symboles et des symbole-ordres) doit être considérée " ; well-formed" ; , un algorithme doit exister pour déterminer, par l'arrêt avec un " ; yes" ; ou " ; no" ; la réponse, si l'objet est bien formé (dans les mathématiques un wff abrège le " ; formula" bien formé ;). Cet algorithme, à l'extrème, pourrait exiger (ou être) une machine de Turing de ou la machine Turing-équivalente du qui " ; Le analyse le quot de ; la symbole-corde en tant que présenté comme " ; data" ; sur sa bande ; avant une machine universelle de Turing peut exécuter une instruction sur sa bande, il doit analyser les symboles pour déterminer la nature exacte de l'instruction et/ou des informations codées là. Dans des cas plus simples une machine à état défini ou un automate de refoulement peut réaliser le travail. Enderton décrit l'utilisation du " ; trees" ; pour déterminer si une formule de logique (en particulier une corde des symboles avec des parenthèses) est bien formée. L'église 1934 d'Alonzo de décrit la construction du " ; formulas" ; (encore : ordres des symboles) comme écrit dans son λ-calcul au moyen d'une description récursive du de la façon commencer une formule et puis la construire sur le commencer-symbole using la concaténation et la substitution.

Exemple : L'église a spécifié son λ-calcul comme suit (ce qui suit est version simplifiée omettant des notions de free- et de bondir-variable). Cet exemple montre comment une théorie d'objet commence par des spécifications d'un système d'objet de des symboles et des relations (en particulier au moyen de la concaténation des symboles) : le (1) déclarent les symboles : {,}, (,), λ, plus un nombre infini des variables a, b, c de ,…, x,… le (2) définissent la formule de : un ordre des symboles le

(3) définissent la notion du " ; formula" bien formé ; (wff) périodiquement commençant par le " ; basis" ; (3.1) (base) A le que variable X est un
de wff * (3.2) si le F et le X sont des wffs, puis le {F} (x) est un wff ; si le X se produit dans le F ou le X puis il serait une variable dans le {F} (x) .3) si le M est bien formé et le X se produit dans le de λx de du M alors est un wff. le (4) définissent de diverses abréviations :

* {F} ' abrège au F (X) si le F est un
simple de symbole * } le « abrège à {F} (X, Y) ou F (X, Y) si F » est un
simple de symbole * le λx₁…]] abrège au λx₁x₂… x_n•
de M * λab•a (b) abrège au
du 1 * λab•a (a (b)) abrège au 2 , etc.

(5) définissent la notion du " ; substitution" ; du de formule N pour le variable X dans tout le M (église 1936)

< ! -- (6) si le système va commencer par quelques symboles non définis et quelques axiomes et puis créer (faire) des objets de la façon déductive d'a (logiquement), le système doit spécifier quelques relations qui sont à la déduction logique (par exemple ponens de modus de ). Le " ; schemata" ; est les règles d'une transformation par exemple les règles de la déduction logique : Définir les relations binaires et ternaires qui telles que le " ; of" immédiat de conséquence ; (Godel 1931, Kleene 1952), ou " ; conversion" ; (Église 1934) en ce qui concerne deux ou trois objets a et b et c par exemple l'opération binaire (a, b) et l'opération ternaire ((a, b), c) où (a, b) sont une paire commandée d'objets et c est les résultats :

Exemple : Le Kurt Gödel 1931 a spécifié les deux formes suivantes de " ; of" immédiat de conséquence ; en ce qui concerne son " ; objects" ; qu'il a appelé le " ; formulas" ;. le de
dans le suivant le ≡ de symbole signifie le " ; est l'as" défini ; , le ~ signifie le logique PAS, des signfies de V le logique Inclus-OU et " de signfies de → ; SI… PUIS… " ; (implication logique) :
de (1) donné un ≡ (≡ de → de b c) (~(b) V c) puis par ponens c. b de modus de et (le
puis b du → c de → de b c) et un → c est une tautologie -- rectifier dans tout le
de circonstances (2) donné le qu'un est une formule avec le v par variable, puis le c est une conséquence immédiate quand n'importe quelle valeur pour v a branché au a (v) , c. (∀v : ≡ c d'a (v)) -->

Objets (primitifs) non définis

Certains objets peuvent être " ; undefined" ; ou " ; primitive" ; et recevoir la définition (dans les limites de leurs comportements) par l'introduction des axiomes .

Dans le prochain exemple, les symboles non définis seront {※, ↀ , ∫ }. Les axiomes décriront leurs comportements de .

Axiomes

Kleene observe que les axiomes se composent de deux ensembles de symboles : (i) les objets non définis ou primitifs et ceux qui sont précédemment connus. Dans l'exemple suivant, on le connaît précédemment dans le système suivant (O, ※, ↀ , ∫ ) que cet O constitue un ensemble d'objets (le " ; domain" ;), le ※ est un objet dans le domaine, le ↀ et le ∫ sont des symboles pour des relations entre les objets, => indique le " ; SI THEN" ; l'opérateur logique, ε est le symbole qui indique le " ; est un élément de l'ensemble O" ; , et " ; n" ; sera employé pour indiquer un élément arbitraire des placer-de-objets O.

Après (i) une définition de " ; " du S de corde ; -- un objet qui est un ※ de symbole ou ※ de symboles, ↀ ou ∫ enchaîné, et (ii) une définition de " ; well-formed" ; cordes -- le ※ (de base) et le S , le S de ↀ de ∫ où le S est n'importe quelle corde, viennent les axiomes :
※ de => de ※ de ↀ, dans les mots : " ; SI le ↀ est appliqué au ※ d'objet PUIS objecter le ※ results." ;
ε O de ∫n, dans le " de mots ; SI le ∫ est appliqué à arbitraire objecter le " ; n" ; dans cet objet d'O ALORS le ∫n est un élément d'O" ;.
ε O, " du ↀ n ; SI le ↀ est appliqué à arbitraire objecter le " ; n" ; en O ALORS ce ↀ d'objet n est un élément d'O" ;.
=> n, " de ∫n de ↀ ; SI le ↀ est appliqué au ∫n d'objet PUIS objecter n results." ;
=> n, " du ↀ n de ∫ ; SI le ∫ est appliqué au ↀ n d'objet PUIS objecter le ※ results." ;

Ainsi que pourrait être l'interprétation (prévue) de ces symboles, définitions, et axiomes ?

Si nous définissons le ※ comme " ; 0" ; , ∫ comme " ; successor" ; , et ↀ comme " ; predecessor" ; alors le ※ de => de ※ de ↀ indique le " ; subtraction" approprié ; (parfois indiqué par le ∸ de symbole, où " ; predecessor" ; soustrait une unité d'un nombre, ainsi d'un 0 ∸1 = 0). Le " de corde ; " du => n de ∫n de ↀ ; indique que si d'abord le successeur est appliqué à l'un objet arbitraire n et alors le ↀ de prédécesseur est appliqué au ∫n, le n original results." ;

Est cet ensemble de " d'axiomes ; adequate" ; ? La réponse appropriée serait une question : " ; Proportionné pour décrire ce qui, en particulier ? " ; " ; Les axiomes déterminent à quels systèmes, définis de l'extérieur de la théorie, la théorie applies." ; (1952:27 de Kleene). En d'autres termes, les axiomes peuvent être suffisants pour un système mais pas pour des autres.

En fait, il est facile de voir que cet ensemble d'axiome n'est pas très bon -- en fait, c'est le contradictoire (c'est-à-dire, il rapporte des résultats contradictoires, n'importe ce que son interprétation) : exemple de : Définir le ※ en tant que 0, le ※ de ∫ en tant que 1, et le ↀ 1 = 0. Du premier axiome, ※ de ↀ = 0, ainsi ※ de ↀ de ∫ = ∫0 = 1. Mais le dernier axiome spécifie que pour n'importe quel n arbitraire comprenant le ※ = 0, le => n du ↀ n de ∫, ainsi cet axiome stipule ce => 0 du ↀ 0 de ∫, non 1.

Observer également que l'ensemble d'axiome ne spécifie pas ce ≠ N. Ou, sauf le cas n = ※, ≠ N. Si nous devions inclure ces deux axiomes nous devrions décrire le " intuitif de notions ; equals" ; symbolisé par = et non-égale symbolisé par le ≠.

Apostilles

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