Théorème de la rotation d\'Euler
En cinématique , le théorème de la rotation d'Euler de déclare que, dans l'espace tridimensionnel , n'importe quel déplacement d'un corps rigide tels qu'un point sur le corps rigide demeure fixe, est équivalent à une rotation autour d'un axe fixe par ce point. Le théorème est baptisé du nom de Leonhard Euler .
En termes mathématiques, c'est un rapport que, dans l'espace 3D, deux systèmes du même rang quelconques avec une origine commune sont rapportés par une rotation autour d'un certain axe fixe. Ceci signifie également que le produit de deux matrices de rotation est encore une matrice de rotation. La matrice de rotation de d'A (non-identité) a une vraie valeur propre qui est égale à l'unité. Le vecteur propre correspondant à cette valeur propre est l'axe de la rotation reliant les deux systèmes.
Applications
Générateurs des rotations
Supposer que nous spécifions un axe de rotation par du vecteur d'unité un '' y '', '' z '' ; , et supposer que nous avons une rotation infiniment petite de &Delta d'angle ; &theta ; ; autour de cet axe. À d'abord commander le &Delta de matrice de rotation ; R ; est représenté comme :
Une rotation finie par le &theta d'angle ; autour de cet axe peut être vu comme succession d'axe à peu près identique de petites rotations. Rapprocher le &Delta ; &theta ; ; comme &theta ; / N où du N ; est un grand nombre, une rotation de &theta ; autour de l'axe peut être représenté comme : ^N = de
Il peut voir que les déclarer du théorème d'Euler essentiellement que des rotations de all peuvent être représentées sous cette forme. Produit est le " ; generator" ; de la rotation particulière. L'analyse est souvent plus facile en termes de ces générateurs, plutôt que la pleine matrice de rotation. L'analyse en termes de générateurs est connue comme algèbre de Lie du groupe de rotation.
Quaternions
Il découle du théorème d'Euler que l'orientation relative de n'importe quelles paires de systèmes du même rang peut être spécifiée par un ensemble de quatre nombres. Trois de ces nombres sont les cosinus de direction qui orientent le vecteur propre. Le quart est le d'angle au sujet de le vecteur propre qui sépare les deux ensembles de coordonnées. Un tel ensemble de quatre nombres s'appelle un Quaternion .
Tandis que le quaternion comme décrit ci-dessus, n'implique pas les nombres complexes si des quaternions sont employés pour décrire deux rotations successives, ils doivent être combinés using l'algèbre non commutative de Quaternion dérivée par la sorbe de William de Hamilton par l'utilisation des nombres imaginaires.
Le calcul de rotation par l'intermédiaire des quaternions est venu pour remplacer l'utilisation des cosinus de direction dans les applications aérospatiales par leur réduction des calculs required, et leur capacité de réduire au minimum des erreurs approximatives. En outre, dans les infographies la capacité d'effectuer l'interpolation sphérique entre les quaternions avec la facilité relative est de valeur.
Voir également
Poteau d'Euler de Le Euler pêche
Paramètres d'Euler-Rodrigues de
Représentation de rotation de
.
| Random links: | Municipalité de Strömsund | George Murphy | Angiographie cérébrale | Landau de nounours | Gruiten | Teorema_de_la_rotación_de_Euler |