Théorème de compacité

Dans la logique mathématique , le théorème de compacité de déclare qu'a (probablement infini) a placé du les phrases que de premier ordre de a un modèle , le IFF chaque sous-ensemble fini de lui a un modèle. Il y a une généralisation de la compacité pour les langues qui sont d'évolué que les de premier ordre. En ce qui concerne des théories basées sur les logiques qui sont strictement plus fortes que la logique de premier ordre, la compacité est vue pour être une propriété trop forte.

Le théorème de compacité pour le calcul propositionnel est un résultat du théorème (qui de Tychonoff de indique que le produit des espaces de contrat de est compact) appliqué aux espaces compacts de pierre de le ref>See Truss (1997). ; par conséquent nom de s de théorème le '.

Applications

Du théorème il découle par exemple que si une certaine phrase de premier ordre se tient pour chaque champ du caractéristique zéro, alors là existe un constant p tels que la phrase se tient pour chaque champ de plus grand caractéristique que le p . Ceci peut être vu comme suit : supposer que le S est la phrase à l'étude. Puis son de ~ de négation S , ainsi que les axiomes de champ et les séries infinies de ≠ 0 des phrases 1+1, 1+1+1 le ≠ 0,… n'est pas satisfiable par prétention. Par conséquent un sous-ensemble fini de ces phrases n'est pas satisfiable, signifiant que le S se tient dans ces domaines qui ont l'assez grande caractéristique.

En outre, il découle du théorème que n'importe quelle théorie qui a un modèle infini a des modèles de la grande cardinalité arbitraire (c'est le théorème ascendant de Löwenheim-Skolem de ). Ainsi, par exemple, il y a les modèles non standard du Peano arithmétique avec uncountably beaucoup « de nombres normaux ». L'analyse non standard est un autre exemple où les nombres normaux infinis apparaissent, une possibilité qui ne peut pas n'être exclue par aucune axiomatisation - également une conséquence de du théorème de compacité.

Preuves

On peut prouver le théorème de compacité using le théorème de la perfection de Gödel de , qui établit qu'un ensemble de phrases est satisfiable si et seulement si aucune contradiction ne peut être prouvée de elle. Puisque les preuves sont toujours finies et impliquent donc seulement de façon finie plusieurs des phrases données, le théorème de compacité suit. En fait, le théorème de compacité est équivalent au théorème de la perfection de Gödel, et tous les deux sont équivalents au lemme , une forme faible d'ultrafiltre de de l'axiome de du choix .

Gödel a à l'origine prouvé le théorème de compacité juste de cette façon, mais plus tard un certain " ; purement semantic" ; des preuves du théorème de compacité ont été trouvées, c., les preuves qui se rapportent à la vérité de mais pas au provability de . Une de ces preuves se fonde sur le Ultraproducts s'articulant sur l'axiome du choix comme suit :

Preuve : Fixer une langue de premier ordre L, et laisser Σ être une collection de L-phrases tels que chaque subcollection fini des L-phrases, le ⊆ Σ du i de lui a un $modèle \ {M} _i$ mathcal. Laisser également le $\ prod_ {I \ subseteq \ sigma} \ {M} _i$ mathcal soit le produit direct des structures et le I soit la collection de sous-ensembles finis de Σ. Pour chaque i dans le I a laissé i d'A_{: = { I de ∈ de j : i de ⊇ du j }. La famille de tous ces ensembles le i} que d'A_{produit d'un filtre, tellement il y a un U d'ultrafiltre contenant tous les ensembles du i} d'A_{de forme.}

Maintenant pour n'importe quel φ de formule dans Σ nous prenons :
l'ensemble A_{φ} est dans le U
toutes les fois que le ∈ A_{φ}, puis le j du j de ∈ de φ, par conséquent φ se tient dans le $\ M_j$ mathcal
l'ensemble de tout le j avec la propriété que le φ tient dans le $\ M_j$ mathcal est un superjeu d'A_{φ}, par conséquent aussi dans le U Using le théorème de Łoś de nous voyons que le φ se tient dans le $d'ultraproduct \ prod_ {I \ subseteq \ sigma} \ {M} _i/U$ mathcal. Ainsi cet ultraproduct satisfait toutes les formules dans Σ.

Voir également

liste des matières d'algèbre booléenne
Théorème de Löwenheim-Skolem de
Le théorème de Lindström de

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