Théorème de Van der Waerden\'s

Le théorème de Van der Waerden's de est un théorème de la branche des mathématiques appelées la théorie de Ramsey de . Le théorème est au sujet de la structure de base des nombres entiers qu'elle est appelée pour le hollandais B. van der Waerden de mathématicien.

Le théorème de Van der Waerden's déclare que pour tous les nombres entiers positifs donnés le r et le k , là est le N d'un certain nombre tels que si les nombres entiers {1, 2,…, N } sont coloré, chacun avec une de différentes couleurs du r , alors là sont au moins des nombres entiers du k dans la progression arithmétique toute les même couleur. Le moindre tel N est le V ( r ,   du nombre de Van der Waerden de ; k ).

Par exemple, quand le r = 2, vous ont deux couleurs, dire le rouge et le bleu. V (2, 3) est plus grand que 8, parce que vous pouvez colorer les nombres entiers de {1,…, 8} comme ceci :

1 2 3 4 5 6 7 8 B R R B B R R B

et trois nombres entiers de la même couleur ne forment pas une progression arithmétique. Mais vous ne pouvez pas ajouter un neuvième nombre entier à l'extrémité sans créer une telle progression.

C'est un problème non résolu pour déterminer les valeurs du V ( r , k ) pour la plupart des valeurs du r et du k . La preuve du théorème fournit seulement une limite supérieure. Pour le cas du r =2 et du k = 3, par exemple, l'argument donné ci-dessous prouve qu'il est suffisant de colorer les nombres entiers {1,…, 325} avec deux couleurs pour garantir qu'il y aura une progression arithmétique simple-colorée de la longueur 3. Mais en fait, la limite de 325 est très lâchement ; le nombre required minimum de nombres entiers est seulement 9. N'importe quelle coloration des nombres entiers {1,…, 9} aura trois nombres entiers également espacés d'une couleur.

Pour le r = 3 et le k = 3, la limite donnée par le théorème est 7 (2·37  ; +  ; 1) (2·37·(2·37  ; +  ; 1)  ; +  ; 1), ou approximativement 4.22·1014616. Mais réellement, vous n'avez pas besoin que beaucoup de nombres entiers pour garantir une progression simple-colorée de la longueur 3 ; vous seulement le besoin 27. (Et il est possible de colorer {1,…, 26} avec trois couleurs de sorte qu'il y ait progression arithmétique aucun-colorée de la longueur 3 ; par exemple, RRYYRRYBYBBRBRRYRYYBRBBYBY.)

N'importe qui qui peut ramener la limite supérieure générale à n'importe quelle fonction « raisonnable » peut gagner un grand prix d'argent comptant. Le Ronald Graham a offert un prix du US$ 1000 pour montrer le < du V (2, k ) ; 2 k 2. L'article courant est dû au Timothy Gowers , qui établit V de

(r, k) \ leq 2^ {2^ {r^ {2^ {2^ {k + 9}}}}},

en établissant d'abord un résultat similaire pour le théorème de Szemerédi de , qui est une version plus forte de théorème de Van der Waerden's. La limite précédemment la plus connue était due au Saharon Shelah et procédé par l'intermédiaire de prouver d'abord un résultat pour le théorème de Hales-Jewett de , qui est un autre renforcement du théorème de Van der Waerden's.

La limite inférieure la plus connue pour le V (2, k) est ce V (2, k) > 2^k/k^ \ epsilon pour tout le ε positif.

Preuve de théorème de Van der Waerden's (dans un cas spécial)

La preuve suivante est due au Ron Graham et B.

Nous prouverons le cas spécial mentionné ci-dessus, ce V (2, 3) ≤ 325. Laisser le c ( n ) soit une coloration des nombres entiers {1,…, 325}. Nous trouverons trois éléments de {1,…, 325} dans la progression arithmétique qui sont la même couleur.

Le clivage {1,…, 325} dans les 65 blocs {1,…, 5}, {6,…, 10},… {321,…, 325}, ainsi chaque bloc est de la forme { b ·5 + 1,…, b ·5 + 5} pour un certain b dedans {0,…, 64}. Puisque chaque nombre entier est coloré rouge ou bleu, chaque bloc est coloré dans une de 32 manières différentes. Par le principe de casier , il y a deux blocs parmi les 33 premiers blocs qui sont colorés identiquement. C'est-à-dire, il y a deux nombres entiers du b 1 et b 2, tous les deux dedans {0,…, 32}, tels que c ( b 1· de

; 5 + k ) = c ( b 2· ; 5 + k )

pour tout le k dedans {1,…, 5}. Parmi les trois nombres entiers du b 1·5 + 1, b 1·5 + 2, b 1·5 + 3, là doivent être au moins deux qui sont la même couleur. (Le principe de casier encore.) Appeler ces le b 1·5 + un 1 et b 1·5 + un 2, où le un i de de sont dedans {1.3} et un < de 1 ; un 2. Supposer (sans perte de généralité) qui ces deux nombres entiers sont tous les deux rouges. (S'ils sont les deux bleus, juste échange « rouge » et « bleu » dans ce qui suit.)

Laisser le un 3 = 2· un 2  ; &minus ;   ; un 1. Si b 1·5 + un 3 est rouge, puis nous avons trouvé notre progression arithmétique : b 1·5  ; +  ; le un i sont tout de de rouge.

Autrement, b 1·5 + un 3 est bleu. Depuis le un ≤ 5, b 1 de 3·5 + un 3 est dans le bloc du b 1, et puisque le bloc du b 2 est coloré identiquement, le b 2·5 + un 3 est également bleu.

Laisser maintenant le b 3 = 2· b 2 - b 1. Puis ≤ 64 du b 3. Considérer le b 3 de nombre entier·5 + un 3, qui doit être le ≤ 325. Quelle couleur est-il ?

S'il est rouge, puis le b 1·5 + un 1, b 2·5 + un 2, et b 3·5 + une forme de 3 une progression arithmétique rouge. Mais si elle est bleue, puis b 1·5 + un 3, b 2·5 + un 3, et b 3·5 + une forme de 3 une progression arithmétique bleue. L'une ou l'autre manière, nous sommes faits.

Un argument semblable peut être avancé pour montrer ce V (3, 3) ≤ 7 (2·37+1) (2·37·(2·37+1)+1). On commence en divisant les nombres entiers en 2·37·(2·37  ; +  ; 1)  ; +  ; 1 groupes de 7 (2·37  ; +  ; 1) nombres entiers pièce ; du premier 37·(2·37  ; +  ; 1)  ; +  ; 1 groupes, deux doivent être colorés identiquement.

Diviser chacuns des deux groupes en 2·sous-groupes 37+1 de 7 nombres entiers pièce ; du premier 37  ; +  ; 1 les sous-groupes dans chaque groupe, deux des sous-groupes doivent être colorés identiquement. Dans chacun de ces sous-groupes identiques, deux des quatre premiers nombres entiers doivent être la même couleur, disent le rouge ; ceci implique ou une progression rouge ou un élément d'une couleur différente, indiquent le bleu, dans le même sous-groupe.

Puisque nous avons deux sous-groupes identique-colorés, il y a un troisième sous-groupe, toujours dans le même groupe qui contient un élément qui, si rouge ou bleu, accomplirait une progression rouge ou bleue, par une construction analogue à celle pour le V (2, 3). Supposer que cet élément est jaune. Puisqu'il y a un groupe qui est coloré identiquement, il doit contenir des copies des éléments rouges, bleus, et jaunes que nous avons identifiés ; nous pouvons maintenant trouver une paire d'éléments rouges, une paire d'éléments bleus, et une paire d'éléments jaunes que « concentrer » sur le même nombre entier, de sorte que quelque couleur ce soit, il doit accomplir une progression.

Il convient noter que la preuve pour le V (2, 3) dépend essentiellement de prouver ce V (32, 2) ≤ 65. Nous divisons les nombres entiers {1,…, 325} en 65 « blocs », qui peuvent être colorés de 32 manières différentes, et puis prouvons que deux blocs doivent être la même couleur. De même, la preuve pour le V (3, 3) dépend de prouver cela V de

(3^ {7 (2 \ cdot3^7+1)}, 2) \ leq 2 \ cdot3^ {7 (2 \ cdot3^7+1)} +1.

Par une double induction sur le nombre de couleurs et la longueur de la progression, le théorème est prouvé en général.

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