Théorème de Hales-Jewett

Dans les mathématiques , le théorème de Hales-Jewett de est un résultat combinatoire du fondamental de la théorie de Ramsey de , au sujet du degré avec lequel les objets haut-dimensionnels doivent nécessairement montrer une certaine structure combinatoire ; il est impossible pour que de tels objets soient " ; complètement random" ;.

Un rapport géométrique sans cérémonie du théorème est celui pour n'importe quel positif n de nombres entiers et c il y a un H de nombre tels que si les cellules d'un H - le cube dimensionnel en n de × de × du n de × du n de × du n … sont colorés avec des couleurs du c , là doit être une rangée, colonne, etc. diagonal du n tout de longueur lequel des cellules sont la même couleur. En d'autres termes, le haut-dimensionnel, multijoueur, n - la généralisation de dans-un-rangée du jeu du Tic-tac-orteil ne peut pas finir dans une aspiration, n'importe comment le grand n est, et n'importe comment le c de beaucoup de personnes jouent, s'il est joué sur un panneau du suffisamment élevé H de dimension. Par une stratégie standard de volant l'argument , on peut conclure ainsi que le premier joueur a une stratégie de gain quand le H est suffisamment grand, bien qu'aucun algorithme constructif pour obtenir cette stratégie ne soit connu.

Plus formellement, laisser le H du n ^{de _{du W être l'ensemble de mots du de longueur H au-dessus d'un alphabet avec des lettres du n ; c'est-à-dire, l'ensemble d'ordres de {1, 2,…, n } du H de longueur. Cet ensemble forme le hypercube qui est le sujet du théorème. Un du mot variable de W ( X ) au-dessus du H}} du n ^{de _{du W a le H de longueur mais inclut toujours le spécial X d'élément au lieu au moins d'une des lettres. Le de mots W (1), le W (2),…, le W ( n ) obtenu en remplaçant tous les exemples du spécial X par 1, 2 d'élément,…, le n , forment une ligne combinatoire de dans le H}} du n ^{de _{du W de l'espace ; les lignes combinatoires correspondent aux rangées, aux colonnes, et (une partie de) aux diagonales du Hypercube . Le théorème de Hales-Jewett déclare alors que pour le positif donné n de nombres entiers et le c , là existe un positif H de nombre entier, selon le n et le c , tels que pour n'importe quelle cloison du H}} du n ^{de _{du W dans des pièces du c , il y a au moins une part qui contient une ligne combinatoire entière.}}

Par exemple, n de prise = 3, H = 2, et c = 2. Le H du n ^{de _{du W de hypercube dans ce cas-ci est juste le panneau standard du Tic-tac-orteil , avec neuf positions :}}

Preuve de théorème de Hales-Jewett (dans un cas spécial)

Nous prouvons maintenant le théorème de Hales-Jewett dans le n =3, le c =2, le H =8 de cas spécial discuté ci-dessus. L'idée est à ramener cette tâche à celle de prouver des versions plus simples du théorème de Hales-Jewett (dans ce cas particulier, au n =2 de cas, au c =2, au H =2 et au n =2, c =6, H =6). On peut prouver le cas général de le théorème de Hales-Jewett par les méthodes semblables, using l'induction mathématique .

Chaque élément du W ₃⁸ de Hypercube est une corde de huit nombres de 1 à 3, par exemple 13211321 est un élément du Hypercube . Nous supposons que ce Hypercube est complètement rempli de " ; noughts" ; et " ; crosses" ;. Nous emploierons une preuve de par la contradiction et supposerons que ni l'ensemble de riens ni l'ensemble de croix ne contient une ligne combinatoire. Si nous fixons les six premiers éléments d'une telle corde et laissons les deux derniers varier, obtenons-nous un panneau ordinaire, par exemple 132113 du Tic-tac-orteil ? ? donne un tel conseil. Pour chaque un tel abcdef de conseil ? ? , nous considérons les positions abcdef11, abcdef12, abcdef22. Chacune de ces derniers doit être remplie de rien ou de croix, ainsi par Le principe de casier deux de eux doit être rempli de même symbole. Puisque n'importe quels deux de ces positions font partie de une ligne combinatoire, le troisième élément de cette ligne doit être occupée par le symbole opposé (puisque nous supposons qu'aucune ligne combinatoire n'a chacun des trois éléments remplis de même symbole). En d'autres termes, pour chaque choix d'abcdef (qui peut être considéré comme un élément du six-dimensionnel W ₃⁶ de hypercube), il y a six possibilités (de recouvrement) : le

abcdef11 et abcdef12 sont des riens ; abcdef13 est une croix.

abcdef11 et abcdef22 sont des riens ; abcdef33 est une croix.

abcdef12 et abcdef22 sont des riens ; abcdef31 est une croix.

abcdef11 et abcdef12 sont des croix ; abcdef13 est un rien.

abcdef11 et abcdef22 sont des croix ; abcdef33 est un rien.

abcdef12 et abcdef22 sont des croix ; abcdef31 est un rien.

Ainsi nous pouvons diviser le six-dimensionnel W ₃⁶ de Hypercube dans six classes, correspondant à chacune des six possibilités ci-dessus. (Si un abcdef d'élément obéit des possibilités multiples, nous pouvons choisir un arbitrairement, par exemple. en choisissant le plus haut sur la liste ci-dessus).

Considérer maintenant les sept éléments 111111, 111112, 111122, 111222, 112222, 122222, 222222 dans le W ₃⁶. Par le principe de casier , deux de ces éléments doivent tomber dans la même classe. Supposer par exemple 111112 et 112222 la chute dans la classe (5), ainsi 11111211, 11111222, 11222211, 11222222 sont des croix et 11111233, 11222233 sont riens. Mais considérer maintenant la position 11333233, qui doit être remplie d'en travers ou de rien. Si elle est remplie de croix, alors la ligne combinatoire 11xxx2xx est remplie entièrement de croix, contredisant notre hypothèse. Si à la place elle est remplie d'insignifiant, puis la ligne combinatoire 11xxx233 est remplie entièrement de riens, contredisant encore notre hypothèse. De même le cas échéant autres deux des sept éléments ci-dessus de la chute du W ₃⁶ dans la même classe. Puisque nous avons une contradiction dans tous les cas, l'hypothèse originale doit être fausse ; ainsi là doit exister au moins une ligne combinatoire consistant entièrement en riens ou entièrement en croix.

L'argument ci-dessus était quelque peu inutile ; il est tout à fait probable que le même théorème se tienne pour une valeur plus basse du H . Si on prolonge l'argument ci-dessus aux valeurs générales du n et le c , alors le H se développera très rapidement ; même lorsque c =2 (qui correspond au Tic-tac-orteil à deux joueurs ) que le H donné par l'argument ci-dessus se développe aussi rapide que la fonction d'Ackermann de . La limite récursive primitive du premier est due au Saharon Shelah , et est toujours la limite la plus connue en général pour le H du nombre de Hales-Jewett de = H ( n, c ).

Raccordements avec d'autres théorèmes

Observer que l'argument ci-dessus donne également le corollaire suivant : si nous laissions le A être l'ensemble de tous nombres à huit chiffres dont les chiffres sont tout le l'un ou l'autre 1, 2, 3 (ainsi le A contient des nombres tels que 11333233), et nous colorons le A dans deux couleurs, puis le A contient au moins une progression arithmétique de la longueur trois, tous ce que des éléments sont la même couleur. C'est simplement parce que toutes les lignes combinatoires apparaissant dans au-dessus de la preuve du théorème de Hales-Jewett, former également les progressions arithmétiques dans la notation décimale . Un plus général la formulation de cet argument peut être employée pour montrer à cela le théorème de Hales-Jewett généralise le théorème de Van der Waerden's de . En effet le théorème de Hales-Jewett est sensiblement un théorème plus fort.

Juste comme Van der Waerden's de le théorème a une version plus forte de densité de dans le théorème de Szemerédi de , Le théorème de Hales-Jewett a également une version de densité. Dans cette version renforcée du théorème de Hales-Jewett, au lieu de colorer le entier H dans des couleurs du c , un du n ^{de _{du W de Hypercube est donné un arbitraire A de sous-ensemble du H}} du n ^{de _{du W de Hypercube avec de la densité donnée 0 < &delta ; < 1. Puis si le H est dépendre suffisamment grand dans le n et le &delta ; , alors ce A d'ensemble doit nécessairement contenir une ligne combinatoire entière.}}

Voir également

Bartel Leendert van der Waerden

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