Théorème
Dans les mathématiques , un théorème est un rapport, souvent indiqué dans le de langage naturel, qui peut être prouvé sur la base des prétentions explicitement indiquées ou précédemment convenues. Dans la logique , un théorème est un rapport dans un langage formel qui peut être dérivé en appliquant les règles d'inférence et les axiomes d'un système déductif. Cette définition dans la logique est cruciale dans les domaines tels que la théorie de preuve de qui étudient les propriétés générales des rapports prouvables et improuvables.
Dans tous les arrangements, une propriété essentielle des théorèmes est qu'ils sont dérivables using un ensemble fixe de règles et d'axiomes d'inférence sans aucune prétention additionnelle. Ce n'est pas simplement une question de la sémantique de la langue : l'expression qui résulte d'une dérivation est une conséquence syntactique de toutes les expressions qui la précèdent. Dans les mathématiques, la dérivation d'un théorème est souvent interprétée comme preuve de la vérité de l'expression en résultant, mais les différents systèmes déductifs peuvent rapporter d'autres interprétations, selon les significations des règles de dérivation.
Les preuves des théorèmes ont deux composants, appelés les hypothèses de de et le des conclusions de . La preuve d'un théorème mathématique est un argument logique démontrant que les conclusions sont un nécessaire de conséquence de des hypothèses, dans le sens que si les hypothèses sont vraies puis les conclusions doivent également être vraies, sans toute autre prétention. Le concept d'un théorème contraste donc fondamentalement déductif du de , avec la notion d'un scientifique de la théorie de , qui est empirique du de .
Bien qu'ils puissent être écrits sous une forme complètement symbolique , des théorèmes sont souvent exprimés en de langage naturel tel que l'anglais. Le même est vrai des preuves, qui sont souvent exprimées en tant qu'arguments sans cérémonie logiquement organisés et clairement exprimés prévus pour démontrer qu'une preuve symbolique formelle peut être construite. De tels arguments sont en général plus faciles de vérifier que purement les symboliques le &mdash ; en effet, beaucoup de mathématiciens exprimeraient une préférence pour une preuve qui démontre non seulement la validité d'un théorème, mais explique également d'une manière quelconque pourquoi le il est évidemment vrai. Dans certains cas, seule une image peut être suffisante pour prouver un théorème.
Puisque les théorèmes se trouvent au noyau des mathématiques, ils sont également central à son esthétique. Des théorèmes sont souvent décrits en tant qu'étant " ; trivial" ; , ou " ; difficult" ; , ou " ; deep" ; , ou même " ; beautiful" ;. Ces jugements subjectifs varient non seulement d'avec préavis, mais également avec du temps : par exemple, pendant qu'une preuve est simplifiée ou mieux comprise, un théorème qui était par le passé difficile peut devenir insignifiant. D'une part, un théorème profond peut être simplement énoncé, mais sa preuve peut comporter les raccordements étonnants et subtiles entre les secteurs disparates des mathématiques. Théorème de Fermat de le dernier est un exemple particulièrement bien connu d'un tel théorème.
Notions formelles et sans cérémonie
Le logiquement la plupart des théorèmes de sont de la forme d'un conditionnel indicatif : si A, puis B . Un tel théorème ne déclare pas que le B est toujours vrai, seulement ce B doit être vrai si le A est vrai. Dans ce cas-ci le A s'appelle l'hypothèse de de du théorème (la note qui " ; hypothesis" ; voici quelque chose très différente d'une conjecture ) et du B la conclusion . Le " de théorème ; Si le n est même un nombre normal puis le n /2 est un number" normal ; est un exemple typique dans lequel l'hypothèse est ce n est un nombre même normal et la conclusion est que le n /2 est également un nombre normal.
Afin d'être prouvé, un théorème doit être exprimable comme rapport précis et formel. Néanmoins, des théorèmes sont habituellement exprimés en de langage naturel plutôt que sous une forme complètement symbolique, avec l'intention que le lecteur pourra produire un rapport formel à partir le sans cérémonie. En outre, il y a souvent des hypothèses qui sont comprises dans le contexte, plutôt qu'explicitement indiqué.
Il est commun dans les mathématiques pour choisir un certain nombre d'hypothèses on assume que qui sont vraies dans une théorie donnée, et puis déclare que la théorie se compose de tous les théorèmes prouvables using ces hypothèses comme prétentions. Dans ce cas-ci les hypothèses qui forment la base fondamentale s'appellent les axiomes (ou les postulats) de la théorie. Le champ des mathématiques connu sous le nom de théorie de preuve de étudie les systèmes formels d'axiome et les preuves qui peuvent être exécutés dans eux.
Quelques théorèmes sont " ; insignifiant, " ; dans le sens qu'ils suivent des définitions, les axiomes, et d'autres théorèmes des manières évidentes et ne contiennent aucune perspicacité étonnante. Certains, d'une part, peuvent s'appeler le " ; deep" ; : leurs preuves peuvent être longues et difficiles, impliquer des secteurs des mathématiques superficiellement distincts du rapport du théorème lui-même, ou montrer les raccordements étonnants entre les secteurs disparates des mathématiques. Un théorème pourrait être simple pour énoncer mais être profond. Un excellent exemple est théorème de Fermat de le dernier, et il y a beaucoup d'autres exemples des théorèmes simples pourtant profonds dans la théorie des nombres et la combinatoire , entre d'autres secteurs.
Il y a d'autres théorèmes pour lesquels une preuve est connue, mais la preuve ne peut pas facilement être notée. Les exemples les plus en avant sont le théorème de couleur du quatre et la conjecture de Kepler de . Tous les deux théorèmes sont seulement connus pour être vrais en les ramenant à une recherche informatique qui est alors vérifiée par un programme informatique. Au commencement, beaucoup de mathématiciens n'ont pas accepté cette forme de preuve, mais elle est devenue plus largement admise ces dernières années. Le Doron Zeilberger de mathématicien est même allé autant que réclamer que ce sont probablement les seuls résultats non triviaux que les mathématiciens ont jamais prouvés. Beaucoup de théorèmes mathématiques peuvent être réduits à un calcul plus franc, y compris des identités polynômes, des identités trigonométriques et des identités hypergéométriques.
Relation à la preuve
la notion d'un théorème est profondément entrelacée avec le concept de la preuve. En effet, les théorèmes sont vrais avec précision dans le sens qu'ils possèdent des preuves. Par conséquent, pour établir un rapport mathématique comme théorème, l'existence d'une ligne du raisonnement des axiomes dans le système (et autre, théorèmes déjà établis) au rapport donné doivent être démontrées.
Bien que la preuve soit nécessaire pour produire un théorème, on ne le considère pas habituellement une partie du théorème. Et quoique plus d'une preuve puisse être connue pour un théorème simple, seulement une preuve est exigée pour établir la validité du théorème. Le théorème pythagorien et la loi de la réciprocité quadratique sont des compétiteurs pour le titre du théorème avec le plus grand nombre de preuves distinctes.
Théorèmes dans la logique
La logique , particulièrement dans le domaine de la théorie de preuve de , considère des théorèmes comme rapports (appelés le de formules de ou le de formules bien formées ) d'un langage formel . Un ensemble de déduction de ordonne , également appelé la transformation de ordonne ou une grammaire formelle de de , doit être fournie. Ces règles de déduction indiquent exactement quand une formule peut être dérivée d'un ensemble de lieux.
Les différents ensembles de règles de dérivation provoquent différentes interprétations de ce que signifie il pour qu'une expression soit un théorème. Quelques règles de dérivation et langages formels sont prévus pour capturer le raisonnement mathématique ; les exemples les plus communs emploient la logique de premier ordre . D'autres systèmes déductifs décrivent la réécriture de limite de , tel que les règles de réduction pour le &lambda de ; calcul .
La définition des théorèmes comme éléments d'un langage formel tient compte des résultats dans la théorie de preuve qui étudient la structure des preuves formelles et la structure des formules prouvables. Le résultat le plus célèbre est le théorème de l'imperfection de Gödel de ; en représentant des théorèmes au sujet de théorie des nombres de base comme expressions dans un langage formel, et puis en représentant cette langue dans la théorie des nombres elle-même, Gödel a construit des exemples avec des rapports qui ne sont ni prouvables ni disprovable des axiomatisations de théorie des nombres.
Relation avec des théories scientifiques
Les théorèmes dans les théories de mathématiques et de en science sont fondamentalement différents en leur épistémologie . Une théorie scientifique ne peut pas être prouvée ; son attribut principal est que c'est le falsifiable, c., il fait les prévisions au sujet du monde normal qui sont testables par les expériences n'importe quel désaccord entre la prévision et l'expérience démontre l'inexactitude de la théorie scientifique, ou limite au moins son exactitude ou domaine de validité. Les théorèmes mathématiques, d'une part, sont des rapports formels purement abstraits : la preuve d'un théorème ne peut pas impliquer des expériences ou l'autre évidence empirique de la même manière une telle évidence est employée pour soutenir des théories scientifiques.
Néanmoins, il y a un certain degré de collecte d'empirisme et de données impliquée dans la découverte des théorèmes mathématiques. En établissant un modèle, parfois avec l'utilisation d'un ordinateur puissant, les mathématiciens peuvent avoir une idée de quoi s'avérer, et dans certains cas même un plan pour que la façon commence faire la preuve. Par exemple, la conjecture de Collatz de a été vérifiée pour assurer les valeurs de début jusqu'à environ 2.88 ; × ; ; 1018. L'hypothèse de Riemann de a été vérifiée pour assurer les 10 premiers zéros trillion de la fonction de zéta . Ni l'un ni l'autre de ces rapports n'est considéré être prouvé.
Une telle évidence ne constitue pas la preuve. Par exemple, la conjecture de Mertens de est un rapport au sujet des nombres normaux qui est maintenant connu pour être faux, mais aucun contre-exemple explicite (c., un n de nombre normal pour lequel le M ( n ) de fonction de Mertens égale ou dépasse la racine carrée du n ) n'est connu : tous les nombres moins que 1014 ont la propriété de Mertens, et le plus petit nombre qui n'a pas cette propriété est seulement connu pour être moins que le exponentiel de 1.59 ; × ; 1040, qui est approximativement 10 à la puissance 4.3 ; × ; 1039. Puisque le nombre de particules dans l'univers est généralement considéré moins de 10 à la puissance 100 (un Googol ), il n'y a aucun espoir de trouver un contre-exemple explicite par la recherche approfondie actuellement.
Noter que le " de mot ; theory" ; existe également dans les mathématiques, pour dénoter un corps des axiomes mathématiques, des définitions et des théorèmes, comme dedans, par exemple, la théorie de groupe . Il y a également " ; theorems" ; dans la science, en particulier la physique, et dans la technologie, mais eux ont souvent des rapports et des preuves dans lesquels les prétentions et l'intuition physiques jouent un rôle important ; les axiomes physiques sur lesquels un tel " ; theorems" ; sont basés sont eux-mêmes falsifiables.
Terminologie
Des théorèmes sont souvent indiqués par plusieurs autres limites : le " réel d'étiquette ; theorem" ; est réservé pour les résultats les plus importants, tandis que les résultats qui sont moins importants, ou distingué d'autres manières, sont appelés par terminologie différente.La proposition de de du
A est un rapport non lié à n'importe quel théorème particulier. Cette limite suggère parfois un rapport avec une preuve simple.
Un lemme de de est un " ; pre-theorem" ; , un rapport qui fait partie de la preuve d'un plus grand théorème. La distinction entre les théorèmes et les lemmes est plutôt arbitraire, puisqu'un résultat principal du du mathématicien de est réclamation mineure d'une autre personne. Le lemme du gauss de et le lemme de Zorn de , par exemple, sont assez intéressants qu'une partie écrit actuel le lemme nominal sans continuer pour l'employer dans la preuve d'un théorème.
Un corollaire de de est une proposition qui suit avec peu ou pas de preuve d'une autre théorème ou définition. C'est-à-dire, le B de proposition est un corollaire d'un A de proposition si le B peut aisément être déduit du A .
Une réclamation est un résultat nécessaire ou indépendamment intéressant qui peut faire partie de la preuve d'un autre rapport. En dépit du nom, des réclamations doivent être prouvées.
Il y a d'autres limites, moins utilisées généralement, qui sont par convention attachées aux rapports prouvés, de sorte que certains théorèmes soient mentionnés par des noms historiques ou usuels. Par des exemples :
identité de de de
, utilisée pour les théorèmes qui énoncent une égalité entre deux expressions mathématiques. Les exemples incluent l'identité d'Euler de et l'identité de Vandermonde de .
règle de de , utilisée pour certains théorèmes tels que la règle de Bayes de et la règle de Cramer de , qui établissent des formules utiles. Les exemples incluent la loi de des grands nombres , la loi de des cosinus , et la loi du zero-one de Kolmogorov de .
principe de de . Les exemples incluent le principe , le de Harnack de moindre principe de limite supérieure, et le principe de casier .
Une inverse de de est un théorème renversé. Par exemple, si un théorème déclare qu'A est un connexe à B, elle est inverse déclarerait que B est lié à l'A. L'inverse d'un théorème n'a pas besoin d'être toujours vraie.
Quelques théorèmes bien connus ont des noms bien plus idiosyncratiques. L'algorithme de Division de de un théorème exprimant les résultats de la division en nombres normaux et anneaux plus généraux. Le paradoxe de Banach-Tarski de de est un théorème dans la théorie des mesures qui est le paradoxal dans le sens qu'il contredit des intuitions communes au sujet de volume dans l'espace tridimensionnel.
Un rapport non fondé on pense que qui est vrai s'appelle une conjecture (ou parfois une hypothèse de de de de , mais avec une signification différente de celle discutée ci-dessus). Pour être considéré une conjecture, on doit habituellement proposer publiquement un rapport, lequel au point le nom du partisan peut être attaché à la conjecture, comme avec la conjecture de Goldbach de . D'autres conjectures célèbres incluent la conjecture de Collatz de et l'hypothèse de Riemann de .
Disposition
Un théorème et sa preuve sont typiquement présentés comme suit : théorème (nom de de
de personne qui a prouvé lui et l'année de la découverte, de la preuve ou de la publication). rapport de de
du théorème . Description la preuve.
L'extrémité de la preuve peut être signalée par le Q. de lettres ou par un du " de marques de la pierre tombale ; □ " ; ou " ; ∎ " ; , présenté par le Paul Halmos suivant leur utilisation en articles de magazine.
Le modèle exact dépendra de l'auteur ou de la publication. Beaucoup de publications fournissent des instructions ou des macros pour composer dans le modèle de Chambre de .
Il est commun pour qu'un théorème soit précédé par les définitions décrivant la signification exacte des termes utilisés dans le théorème. C'est également terrain communal pour qu'un théorème soit précédé par un certain nombre de propositions ou lemmes qui sont alors employés dans la preuve. Cependant, des lemmes sont parfois inclus dans la preuve d'un théorème, avec les preuves nichées, ou avec leurs preuves présentées après la preuve du théorème.
Les corollaires à un théorème sont présentés entre le théorème et la preuve, ou directement après la preuve. Parfois les corollaires ont des preuves de leurs propres qui expliquent pourquoi elles suivent du théorème.
Savoir
On l'a estimé qu'au-dessus d'un quart de million des théorèmes sont prouvés chaque année.
L'aphorisme bien connu , " de ; Un mathématicien est un dispositif pour transformer le café en theorems" ; , est probablement dû au Alfréd Rényi , bien que lui soit souvent attribué au du collègue de Rényi Paul Erdős (et Rényi peut avoir pensé à Erdős), qui était célèbre pour les nombreux théorèmes qu'il a produits, le nombre de ses collaborations, et son boire de café.
La classification de des groupes simples finis est considérée par certains pour être la plus longue preuve d'un théorème ; elle comporte des dix des milliers de pages en 500 articles de journal par environ 100 auteurs. Ces documents sont censés ensemble pour fournir des preuves complètes, et il y a plusieurs projets continus pour raccourcir et simplifier cette preuve.
Voir également
Metatheorem Liste de des théorèmes
Le théorème , celui de l'imperfection de Gödel de établit les conditions très générales dans lesquelles un système formel contiendra un rapport vrai pour lequel là existe aucune preuve dans le système.
Inférence
Théorème de jouet de
.
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