Tenseur métrique

Dans les mathématiques , dans la géométrie Riemannian , le tenseur métrique est un tenseur du grade 2 de qui est employé pour mesurer la distance et l'angle dans un espace. En d'autres termes, donnés un la tubulure douce , nous faisons un choix de la forme quadratique Positif-défini du sur les espaces de tangente du de la tubulure qui varie sans à-coup de point par point. La tubulure, équipée du tenseur métrique (le choix variable de la forme quadratique), s'appelle une tubulure Riemannian et dans ce contexte le tenseur métrique s'appelle souvent un métrique Riemannian.

Une fois qu'un local i de ^{du X de système du même rang est choisi, le tenseur métrique apparaît comme matrice , le par convention dénoté G de . L'ij de de _{du g de notation est par convention employé pour les composants du tenseur métrique (c., les éléments de la matrice).}}

Calcul du tenseur métrique

Pour calculer le tenseur métrique d'un ensemble d'équations rapportant l'espace à l'espace cartésien du , calculer d'abord le Jacobian de l'ensemble d'équations :

$J = \ commencent {bmatrix} \ frac {\ y_1 partiel} {\ x_1 partiel} et \ cdots et \ frac {\ y_1 partiel} {\ x_n partiel} \ \ \ vdots et \ ddots et \ vdots \ \ \ frac {\ y_m partiel} {\ x_1 partiel} et \ cdots et \ frac {\ y_m partiel} {\} partiel de x_n \ extrémité {bmatrix}.$

alors le multiplient que le transposent du Jacobian par le Jacobian : $G DE DE$

= J^T J \

le résultat est le métrique G de tenseur.

Using le tenseur métrique pour calculer la distance

dans le suivant, nous employons la notation d'Einstein de pour des sommes implicites.

La longueur d'un segment d'une courbe paramétrisée par le t , de un au b , est définie comme : ${g_ {ij} {dx^i \ au-dessus de décollement} {dx^j \ au-dessus de décollement}} \$

là où ( X ₁ ( t ),…, n ( t ) de _{) de X est l'équation décrivant cette courbe dans le système du même rang local.}

Using le tenseur métrique pour calculer l'angle

dans le suivant, nous employons la notation d'Einstein de pour des sommes implicites.

Le &theta d'angle ; entre deux tangente dirige $U=u^i {\ partiel \ au-dessus de \ x_i partiel} \$ et $V=v^i {\ partiel \ au-dessus de \} partiel de x_i \$ , est défini comme :

$\ cos \ = de thêta \ frac {u^iv^j de g_ {ij}} {\ racine carrée {\ est parti| u^iu^j de g_ {ij} \ droit| \ est parti| v^iv^j de g_ {ij} \ droit|}}. \$

Exemples

Le métrique euclidien

Dans les coordonnées cartésiennes , le tenseur métrique euclidien du est simplement le delta de Kronecker de de covariant :

$g_ {ij} = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 \ \ 0 et 1 \ extrémité {} de bmatrix \ = \ delta_ {ij}$

La longueur d'une courbe réduit à la formule familière du calcul :

$L = \ int_a^b \ racine carré {(dx^1)^2 + (dx^2)^2} \$

Le métrique euclidien dans quelques autres systèmes du même rang communs peut être écrit comme suit.

Coordonnées polaires : $(x^1, x^2)= (r, \) de thêta \$

$g_ {ij} = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 \ \ 0 et (x^1)^2 \ extrémité {} de bmatrix \$

Coordonnées de cylindrique : $(x^1, x^2, x^3)= (, de r \ thêta, z) \$

$g_ {ij} = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 \ \ 0 et (x^1)^2 et 0 \ \ 0 et 0 et 1 \ extrémité {} de bmatrix \$

Coordonnées sphériques : $(x^1, x^2, x^3)= (, de r \ phi, \) de thêta \$

$g_ {ij} = \ commencent {bmatrix} 1 et 0 et 0 \ \ 0 et (x^1)^2 et 0 \ \ 0 et 0 et (x^1 \ péché x^2)^2 \ extrémité {} de bmatrix \$

Coordonnées arbitraires : Le tenseur métrique du covariant peut toujours être trouvé pour un système du même rang arbitraire dans l'espace euclidien en appliquant la règle de transformation de tenseur de covariant : = du _ de $\ barre de {g} {kilolitre} \ frac {\ x_i partiel} {\ _k partiel \ barre {x}} \ g_ de frac {\ x_j partiel} {\ _l partiel \ barre {x}} {ij}$ Un point de départ facile pour cette transformation est souvent les coordonnées cartésiennes, où les $x_i$ et les $x_j$ sont les coordonnées familières, et = de g_ de ${ij} \ delta_ {ij}$

Le métrique Pseudo-Euclidien

L'espace plat de Minkowski de :

(x^0, x^1, x^2, x^3)= (ct, x, y, z) \

$g = \ commencent {bmatrix} -1 et 0 et 0 et 0 \ \ 0 et 1 et 0 et 0 \ \ 0 et 0 et 1 et 0 \ \ 0 et 0 et 0 et 1 \ extrémité {} de bmatrix \$

Covariant et tenseurs métriques de Contravariant

Il y a deux versions du tenseur métrique, d'un $g_ de tenseur du covariant {ij}$ et d'un $g^ contravariant de tenseur du {ij}$ . Ces deux tenseurs doivent satisfaire l'identité : = du g_ de g^ de $de {ik} {kJ} \ delta^i_j$ Ces deux tenseurs sont employés pour transformer entre le covariant et les formes contravariant de tenseurs par le soulevant et abaissant les index , comme suit : $= g_ d'A^i {ij}$

L'isomorphisme de tangente-cotangent

Dans l'analyse de tenseur, le tenseur métrique est employé souvent pour fournir un isomorphisme canonique du de l'espace de tangente à l'espace de cotangent : donné un divers M , &isin du v ; Le M du p de T_{et un métrique de tenseur g sur le M , nous avons ce g ( v ,•), traçant cela envoie un autre &isin donné du W de vecteur ; Le M du p} de T_{au g ( v , W ), est un élément du M du p}* de T_{de l'espace duel. Le nondegeneracy du tenseur métrique lui fait une correspondance linéaire, et le fait que le g lui-même est un tenseur signifie que cette identification est indépendant des coordonnées. Dans la terminologie composante, il signifie qu'on peut identifier le covariant de et contravariant objecte c., le " ; augmenter et indices." inférieur ;}

Ceci a une interprétation physique gentille qui est souvent annotée plus de. Le tenseur métrique évidemment doit faire avec la mesure. Nous pouvons demander, ce qui est la balance pour ces mesures ? Un choix de de la base définit le système des unités sur notre tubulure. Les notions du contravariance et de la covariance correspondent aux quantités dont les composants transforment le " ; inversely" ; ou " ; with" ; le système du même rang, par conséquent les noms. Par exemple, considérer le R ³ avec le diagramme du même rang standard. Si nous transformons le système du même rang en mesurant la distance d'unité (dire les mètres) vers le bas par un facteur de 1000, le vecteur de déplacement (1.3) représente un vecteur duel (par exemple, force de champ électrique), un objet qui prend un vecteur de déplacement et rapporte une grandeur scalaire (dans l'exemple : la différence potentielle en par exemple volts), alors les coordonnées transformées deviennent (0. Que le métrique euclidien sur le R ³ fait-il ? (1.3000) semble raisonnable parce que réduisant par 1000 mètres de prises aux millimètres. Pour le vecteur d'intensité de champ, (1.003) est une réflexion d'intensité de champ allant du de volts par mètre de au de volts par millimètre de .

Mais quelle est la version contravariant de l'intensité de champ ? Comment pouvons-nous faire les coordonnées d'un vecteur d'intensité de champ disparaître à partir (1.3000) ? La solution est de regarder la transformation scale-down-by-1000 en tant qu'affectation de volts de sur les unités V/m au lieu des mètres sorte que notre nouvelle force soit mesurée en millivolts par mètre. Le tenseur métrique nous indique qu'avec précision que nous traitons toujours le même objet, c., il le identifie la graduation des vecteurs de base pour le " d'unités ; dans le denominator" ; avec un " inverse correspondant de changement ; dans le numerator." ; Bien que quelque peu insignifiant pour le R ³, parce que pour le général M de tubulures il est très important puisqu'on peut seulement définir des choses localement. On peut également imaginer, par exemple, définir le " ; units" drôle ; sur le R ³ qui varie de point par point.

Voir également symbole métrique de Christoffel de de
du dérivé
de covariant de de
de tenseur
de

de métrique Pseudo-Riemannian de

du (relativité générale)

Random links: