Tenseur dyadique

Un tenseur dyadique dans l'algèbre multilinéaire est un deuxième tenseur de rang écrit dans une notation spéciale, constituée en juxtaposant des paires de vecteurs, c. plaçant des paires de vecteurs côte à côte.

Chaque composant d'un tenseur dyadique est une dyade de . Une dyade est la juxtaposition d'une paire des vecteurs de base et d'un coefficient scalaire.

Comme exemple, laisser $de$

\ mathbf {A} = a \ mathbf {I} + b \ mathbf {j}

et $de$

\ mathbf {X} = x \ mathbf {I} + y \ mathbf {j}

être une paire de vecteurs bidimensionnels. Puis la juxtaposition du A et du X est $de\; \backslash \; mathbf\; \{A\; X\}\; =\; un\; x\; \backslash \; mathbf\; \{j\text{'}I\}\; +\; un\; y\; \backslash \; mathbf\; \{I\; j\}\; +\; b\; X\; \backslash \; mathbf\; \{j\; i\}\; +\; b\; y\; \backslash \; mathbf\; \{j\; j\}$.

Le tenseur dyadique d'identité dans trois dimensions est de

j'I + j j + k k .

Le tenseur dyadique &minus du j i de

; i j

est un opérateur de rotation de de 90° dans deux dimensions. Ce peut être pointillé par (de la gauche) avec un vecteur pour produire la rotation :

$(\backslash \; mathbf\; \{j\; i\}\; -\; \backslash )\; de\; mathbf\; \{I\; j\}\; \backslash \; cdot\; (x\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; +\; y\; \backslash \; mathbf\; \{j\})\; =\; X\; \backslash \; mathbf\; \{j\; i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; -\; x\; \backslash \; mathbf\; \{I\; j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; +\; y\; \backslash \; mathbf\; \{j\; i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; -\; y\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; d\text{'}I\; j\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{j\}\; =\; -\; y\; \backslash \; mathbf\; \{I\}\; +\; x\; \backslash \; mathbf\; \{j\}.$

Ceci peut être dessus mises des bases plus soigneuses (expliquant ce qu'être le contenu logique de juxtaposer la notation pourrait probablement) using la langue de produits de tenseur. Si le V est un espace de vecteur fini-dimensionnel, un tenseur dyadique sur le V est un tenseur élémentaire dans le produit de tenseur du V avec son espace duel. Ce produit de tenseur des espaces est isomorphe à l'espace des cartes linéaires du V au V : un dyadique v f de tenseur est vraiment la carte linéaire envoi de tout W dans le V au v du f ( W ). Quand le V est le euclidien n - l'espace, nous employons le produit intérieur pour identifier l'espace duel avec le V lui-même, faisant un tenseur dyadique un produit de tenseur élémentaire de deux vecteurs dans l'espace euclidien. Dans ce sens, le dyadique i j de tenseur est la fonction de l'espace 3 à lui-même envoyant le AI + BJ + CK au Bi de , et le j j envoie cette somme au BJ . Maintenant on l'indique dans ce que le (précis) de sens j'I + j j + k k est l'identité : il envoie le AI + BJ + CK lui-même parce que son effet est d'additionner chaque vecteur d'unité dans la base standard mesurée par le coefficient du vecteur dans cette base.

Voir également

Produit dyadique

.

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