Taux de convergence

Dans l'analyse numérique , qui est fondamentalement la branche des mathématiques traitant des méthodes numériques pour approcher la solution de divers problèmes, le taux de convergence est one-way de mesurer comment rapidement un ordre converge à son point de limite . Maintenir dans l'esprit que ce n'est pas identique que l'ordre de de la convergence . Les deux concepts sont presque identiques mais ils sont deux manières différentes de mesurer la vitesse de la convergence. L'ordre de de la convergence mesure comment rapidement les limites d'un ordre obtiennent plus petit comparé aux limites précédentes du même ordre. Le taux de convergence compare un ordre/fonction à un ordre/à fonction connus différents. Il est très facile de confondre les deux et tout à fait difficile à distinguer les deux.

Définition pour des ordres

Supposer que le $\backslash \; \{b\_n\; \backslash \}\; le\; ^\; \backslash \; infty\_\; \{n=1\}$ est un ordre connu pour converger à zéro, et le $\backslash \; \{a\_n\; \backslash \}\; le\; ^\; \backslash \; infty\_\; \{n=1\}$ converge à un nombre $a$. Si une constante positive $K$ existe le with

$|a\_n-a|\backslash \; leq\; K|b\_n|$, pour grand $n$,

le
we indiquent que le $\backslash \; \{a\_n\; \backslash \}\; le\; ^\; \backslash \; infty\_\; \{n=1\}$ converge à $a$ avec le taux de $O\; de\; convergence\; (b\_n)$. Cette expression est " lu ; grand oh de $b\_n$" ;.

Il est indiqué en écrivant $a\_n=a+O\; (b\_n)$.

Bien que la définition permette le $d\text{'}ordre\; \backslash \; \{a\_n\; \backslash \}\; le$ à comparer à un $d\text{'}ordre\; \backslash \; \{b\_n\; \backslash \}\; à\; un$ arbitraires, dans presque chaque situation, un ordre de la forme $b\_n=1/n^p$ pour un certain nombre $p>0$ est employée. Nous sommes généralement intéressés par la plus grande valeur de $p$ avec $a\_n=a+O\; (1/n^p)$.

Définition pour des fonctions

Supposer ces $\backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; rightarrow0\}\; G\; (h)=0$ et $\backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; rightarrow0\}\; F\; (h)=L$. Si une constante positive $K$ existe le with

$|F\; (h)\; -\; L|\backslash \; leq\; K|G\; (h)|$, pour $h$.

alors nous écrivons le $F\; (h)=L+O\; (G\; (h))$.
De même, la fonction que nous employons pour la comparaison a généralement le $G\; de\; forme\; (h)=h^p$, où $p>0$ et encore nous sont intéressés par la plus grande valeur de $p$ pour lequel le $F\; (h)=L+O\; (h^p)$.

Exemples Using des ordres

Supposer cela, pour le $n\; \backslash \; geq\; 1$, le

$a\_n=\; de$

\ frac {n+1} {n^2} et c_n= de $\backslash \; frac\; \{n+3\}\; \{n^3\}$.

Bien que tous les deux ordres convergent à zéro mais le deuxième ordre converge plus rapidement que le premier sequence.
Si nous laissons $b\_n=1/n$ et $d\_n=1/n^2$, alors nous voyons cela

$|a\_n-0|=\; \backslash \; frac\; \{n+1\}\; \{n^2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; frac\; \{n+n\}\; \{n^2\}\; =2\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; =2b\_n$ et $de\; |c\_n-0|=\; \backslash \; frac\; \{n+3\}\; \{n^3\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; frac\; \{n+3n\}\; \{n^3\}\; =4\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n^2\}\; =4d\_n$, ainsi
$a\_n=0+O\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\})$ de
et $c\_n=0+O\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n^2\})$.

Le taux de convergence de $\backslash \; \{a\_n\; \backslash \}\; de$ à zéro est semblable à la convergence du $\backslash \; \{1/n\; \backslash \}\; du$ à zéro. D'une part, le $\backslash \; \{b\_n\; \backslash \}\; le$ converge à zéro à un taux semblable au $\backslash \; \{1/n^2\; \backslash \}\; au$ beaucoup plus rapides.

Exemple Using des fonctions

En outre, nous pouvons augmenter la fonction, $de\; \backslash \; cos\; (h)=1-\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; h^2+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\; h^4\; \backslash \; cos\; (r\; (h))$, using la série de Taylor avec le $r\; (h)$ étant un certain nombre entre zéro et $h$. Ceci implique ces $de\; \backslash \; cos\; (h)+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; h^2=1+O\; (h^4)$ parce que $de\; |(\backslash \; cos\; (h)+\; \backslash \; frac\; \{h^2\}\; \{2\})\; -\; 1|=|\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; (r\; (h))\}\{24\}|h^4\; \backslash \; leq\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\; h^4$ parce que la fonction du cosinus (pour de vrais nombres) est toujours liée entre -1 et 1. L'implication est qu'en tant que le $h\; \backslash \; rightarrow0,\; \backslash \; cos\; (h)+h^2/2$ converge à sa limite 1 juste comme rapidement que $h^4$ converge à zéro.

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