Tapis de Sierpinski

Le tapis de Sierpinski de est une fractale plate d'abord décrite par le Wacław Sierpiński en 1916. Le tapis est une généralisation du chantre réglé de à deux dimensions (une autre est la poussière de chantre de ). Sierpiński a démontré que cette fractale est une courbe universelle , du fait tout graphique unidimensionnel possible, projeté sur l'avion bidimensionnel, est le homéomorphe à un sous-ensemble du tapis de Sierpinski. Pour les courbes qui ne peuvent pas être dessinées sur une 2D surface sans individu-intersections, la courbe universelle correspondante est l'éponge , une généralisation haut-dimensionnelle de Menger de .

Construction

La construction du tapis de Sierpinski commence par une place . La place est coupée en 9 subsquares conformes du dans une grille 3 by-3, et le subsquare central est enlevé. Le même procédé est alors le appliqué périodiquement aux 8 subsquares demeurants, le ad infinitum . La dimension de Hausdorff de du tapis est log ; 8/log ; 3 ; ≈ ; 1.

Le secteur du tapis est zéro (dans mesure standard de Lebesgue de ).

Mouvement brownien sur le tapis de Sierpinski

La matière du mouvement brownien sur le tapis de Sierpinski a attiré l'intérêt ces dernières années. Martin Barlow et la perche de Richard ont prouvé qu'une marche aléatoire sur le tapis de Sierpinski répand à un taux plus lent qu'une marche aléatoire sans restriction dans l'avion. Ce dernier atteint une distance moyenne proportionnelle au n ^1/2 après des étapes du n , mais la marche aléatoire sur les portées discrètes de tapis de Sierpinski seulement une distance moyenne proportionnelle au n ^1/β pour un certain β ; > ; 2. Elles ont également prouvé que cette marche aléatoire satisfait de grandes inégalités de la déviation plus fort (soi-disant " ; inequalities" secondaire-gaussien ;) et cela il satisfait l'inégalité elliptique de Harnack de sans satisfaire le parabolique. L'existence d'un tel exemple était un problème non résolu pendant beaucoup d'années.

Programme informatique

Le Java applet Suivant dessine un tapis de Sierpinski au moyen d'une méthode que le périodiquement appelle lui-même :

 importation java.* ; la classe publique SierpinskiCarpet prolonge l'applet { g=null privé de graphiques ; international privé d0=729 ; // 3^6  init vide de public () {  g=getGraphics () ;  remettre à la côte (}, }) ; }  peinture vide de public (graphiques g) {  récursion de début de // :  drawSierpinskiCarpet (0, 0, getWidth (), getHeight ()) ; }  drawSierpinskiCarpet vide privé (xTL d'international, yTL d'international, largeur d'international, taille d'international) {  si (width>2 && height>2) {   international w=width/3, h=height/3 ;   g.fillRect (xTL+w, yTL+h, W, h) ;   pour (international k=0 ; k<9 ; k++) si (k ! =4) {   international i=k/3, j=k%3 ;   drawSierpinskiCarpet (xTL+i*w, yTL+j*h, W, h) ; récursion de //   }  } } }

Voir également

Liste de de fractales par la dimension de Hausdorff
Triangle de Sierpinski de
Boucle d'oreille hawaïenne

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