Table de Cayley

< ! --Cet article est dans l'anglais de Commonwealth--> Une table de Cayley de , après le britannique Arthur Cayley du mathématicien du du 19ème siècle , décrit la structure d'un groupe fini en arrangeant tous les produits possibles des éléments de tout le groupe dans une table carrée réminiscente d'une addition ou la table de multiplication de . Beaucoup de propriétés d'un &mdash de groupe ; comme si c'est le abélien, que les éléments sont les inverses dont des éléments, et la taille et le contenu du du groupe centrent le &mdash de ; peut être facilement déduit en examinant sa table de Cayley.

Un exemple simple d'une table de Cayley est celui pour le groupe {1, -1} sous la multiplication ordinaire :

Histoire

Des tables de Cayley ont été présentées la première fois en papier de Cayley 1854, sur la théorie de groupes, comme selon l'équation symbolique θⁿ = 1 . En ce document elles désigné simplement sous le nom des tables, et étaient &mdash simplement d'illustration ; elles sont venues pour être connues comme des tables de Cayley plus tard, en l'honneur de leur créateur.

Structure et disposition

Puisque beaucoup de tables de Cayley décrivent les groupes qui ne sont pas abéliens, le de produit ab en ce qui concerne l'opération binaire du du groupe n'est pas garanti pour être égal au Ba produit pour tout le par et b dans le groupe. Afin d'éviter la confusion, la convention est que le premier facteur (nommé le un facteur plus proche par Cayley) dans n'importe quelle rangée de la table est identique, et que le deuxième facteur (ou de facteur de davantage) dans n'importe quelle colonne est identique, comme dans l'exemple suivant :

Propriétés et utilisations

Commutativity

La table de Cayley nous indique si un groupe est le abélien. Puisque l'opération de groupe d'un groupe abélien est le commutatif, la table de Cayley d'un groupe abélien est symétrique le long de son axe diagonal. Le groupe cyclique d'ordre 3, en haut, et {1, -1} sous la multiplication ordinaire, aussi en haut, sont les deux exemples des groupes abéliens, et l'inspection de la symétrie de leurs tables de Cayley vérifie ceci. En revanche, le plus petit groupe non-abélien, le groupe dièdre de d'ordre 6 , n'a pas une table symétrique de Cayley.

Associativity

Puisque le Associativity est pris comme axiome en traitant des groupes, il est souvent pris pour accordé en traitant des tables de Cayley. Cependant, des tables de Cayley peuvent également être employées pour caractériser l'opération d'un Quasigroup , qui n'assume pas l'associativity comme axiome (en effet, des tables de Cayley peuvent être employées pour caractériser l'opération de n'importe quel magma fini ). Malheureusement, il n'est pas généralement possible de déterminer si une opération est associative simplement en jetant un coup d'oeil à sa table de Cayley, comme ce soit le cas avec le commutativity. C'est parce que l'associativity dépend d'une équation de 3 limites, le c=a du

(ab) (avant Jésus Christ)

, alors que la table de Cayley montre 2 produits de limite.

Permutations

En raison du fait que la propriété d'annulation tient pour des groupes (et en effet même des quasigroups), aucune rangée ou colonne d'une table de Cayley peut ne pas contenir le même élément deux fois. Ainsi chaque rangée et colonne de la table est une permutation de tous les éléments dans le groupe. Ceci limite considérablement que les tables de Cayley pourraient peut-être définir une opération valide de groupe.

Pour voir pourquoi une rangée ou une colonne ne peut pas contenir le même élément plus d'une fois, laisser le un , le X , et le y tout soit des éléments d'un groupe, avec le X et le y distinct. Alors dans la rangée représentant le d'élément un , la colonne correspondant au X contient la hache produit, et pareillement la colonne correspondant au y contient le ay de produit. Si ces deux produits étaient &mdash égal ; c'est-à-dire, le de rangée un a contenu le même élément deux fois, notre &mdash d'hypothèse ; alors la hache de égalerait le ay. Mais parce que la loi d'annulation se tient, nous pouvons conclure cela si hache de = ay, puis le X = y , une contradiction . Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte, et une rangée ne peut pas contenir le même élément deux fois. Exactement le même argument suffit pour prouver la caisse de colonne, et ainsi nous concluons que chaque rangée et colonne ne contient aucun élément plus d'une fois. Puisque le groupe est fini, le principe de casier garantit que chaque élément du groupe sera représenté dans chaque rangée et dans chaque colonne exactement une fois.

Ainsi, la table de Cayley d'un groupe est un exemple d'une place latine .

Construction des tables de Cayley

En raison de la structure des groupes, on peut très souvent " ; remplir in" ; Tables de Cayley qui sont les éléments absents, même sans avoir une pleine caractérisation de l'opération de groupe en question. Par exemple, parce que chaque rangée et colonne doit contenir chaque élément dans le groupe, si tous les éléments sont expliqués sauf un, et il y a une tache en blanc, sans savoir toute autre chose au sujet du groupe qu'il est possible de conclure que la nécessité inexpliquée d'élément occupent l'espace vide restant. Elle s'avère que ceci et d'autres observations au sujet des groupes nous permettent en général de construire les tables de Cayley avec des groupes sachant très peu au sujet du groupe en question.

Le " ; skeleton" d'identité ; d'un groupe fini

Puisque dans n'importe quel groupe, même un groupe non-abélien, chaque élément permute avec son propre inverse, il suit que la distribution des éléments d'identité sur la table de Cayley sera symétrique à travers la diagonale de la table. Tels qui se trouvent sur la diagonale sont leur propre inverse ; ceux qui n'ont pas des autres, inverse unique.

Puisque l'ordre des rangées et des colonnes d'une table de Cayley est en fait arbitraire, il est commode de les commander de la façon suivante : commençant par l'élément d'identité du groupe, qui est toujours son propre inverse, la liste d'abord tous les éléments qui sont leur propre inverse, suivis des paires d'inverses a énuméré à côté de l'un l'autre.

Puis, pour un groupe fini d'un ordre particulier, il est facile de caractériser son " ; skeleton" d'identité ; , ainsi appelé parce que les éléments d'identité sur la table de Cayley sont groupés au sujet du &mdash diagonal principal ; ou ils se trouvent directement là-dessus, ou ils sont un enlevés de lui.

Il est relativement insignifiant pour montrer que les groupes avec différents squelettes d'identité ne peuvent pas être le isomorphe.

Considérer un groupe à six éléments avec le e d'éléments, le un , le b , le c , le d , et le f . Par convention, le e est l'élément d'identité du groupe. Puisque l'élément d'identité est toujours son propre inverse, et les inverses sont uniques, le fait qu'il y a 6 éléments dans ce groupe signifie qu'au moins un élément autre que le e doit être son propre inverse. Ainsi nous avons les squelettes possibles suivants :
tous les éléments sont leurs propres inverses,
tous les éléments sauf le d et le f sont leurs propres inverses, chacun de ces derniers deux étant l'autre inverse,
le un est son propre inverse, le b et le c sont des inverses, et le d et le f sont des inverses.

Dans notre exemple particulier, là n'existe pas un groupe du premier type d'ordre 6 ; en effet, simplement parce qu'un squelette particulier d'identité est imaginable ne signifie pas en général que là existe un groupe qui des ajustements il.

Il est remarquable (et insignifiant pour s'avérer) que n'importe quel groupe dans lequel chaque élément est son propre inverse est abélien.

Compléter le squelette d'identité

Une fois qu'un squelette particulier d'identité a été décidé, il est possible de commencer à compléter la table de Cayley. Par exemple, prendre le squelette d'identité d'un groupe d'ordre 6 du deuxième type décrit ci-dessus :

Généralisations

Les propriétés ci-dessus dépendent de quelques axiomes valides pour des groupes. Il est normal de considérer des tables de Cayley pour d'autres structures algébriques, comme pour le Quasigroups des semigroupes et les magmas , mais certaines des propriétés ci-dessus ne se tiennent pas.

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