Tétraèdre

Un tétraèdre (pluriel de : le tetrahedra ) est un polyèdre composé de quatre visages triangulaires du , trois dont rassemblement à chaque sommet . Un tétraèdre régulier est un dans lequel les quatre triangles sont régulières, ou " ; équilateral, " ; et est un des solides platoniques

Le tétraèdre est un genre de pyramide , le deuxième type commun de ; une pyramide a une base plate, et les visages triangulaires au-dessus de elle, mais la base peut être de n'importe quelle forme polygonale, pas simplement carré ou triangulaire. Comme tous les polyèdres convexes du , un tétraèdre peut être plié d'une feuille de papier simple.

Superficie et volume

Le A de superficie et le V de volume d'un tétraèdre régulier de de longueur de bord un sont

$A=a^2 \ racine carrée {3},$

$V= \ commencent {matrice} {1 \ over12} \ extrémité {matrice} a^3 \ racine carrée {2}.$

La taille est $\ scriptstyle {le h= \ racine carrée {6} (a/3)}$ , l'angle entre un bord et un visage est $\ scriptstyle arctan {\ racine carrée {2}}$ (CA 55°), et entre le $\ scriptstyle {\ arccos (1/3) = \ arctan (2 \ racine carrée {2}})$ (CA 71°). Noter qu'en ce qui concerne l'avion bas la pente d'un visage est deux fois celle d'un bord, correspondant au fait que la distance horizontale couverte de la base à l'apex le long d'un bord est deux fois celle dans un visage, du point médian à la base.

Comme pour n'importe quelle pyramide, le volume est $\ scriptstyle {V = \ frac {1} {3} oh}$ où le A est le secteur de la base et du h la taille de la base à l'apex. Ceci s'applique pour chacun des quatre choix de la base, ainsi les distances des apexes aux visages opposés sont inversement proportionnelles aux secteurs de ces visages.

En outre, parce que un ABCT de tétraèdre le volume est indiqué près = de $V de \ frac {À \ cdot BT \ cdot CT} {6}$
$\ cdot \ racine carrée {1 + 2 \ cdot \ cos a \ cdot \ cos b \ cdot \ cos c - - - \ cos^2 a \ cos^2 b \ cos^2 c}$

là où le un est le ATB d'angle, le b est le BTC d'angle, et le c est le CTA d'angle.

Deux bords opposés quelconques d'un mensonge de tétraèdre sur deux lignes obliques . Si les paires les plus étroites de points entre ces deux lignes sont des points dans les bords, elles définissent la distance entre les bords ; autrement, la distance entre les égales de bords qui entre un des points finaux et le bord opposé.

Le volume de n'importe quel tétraèdre, indiqué ses sommets le un , le b , le c et le d , est (1/6)· ; | det ( de un &minus de ; b , &minus du b ; c , &minus du c ; d )|, ou toute autre combinaison des paires de sommets qui forment un graphique simplement relié . Ceci peut être récrit comme point et produit en travers, rapportant = de $V de \ frac { |(\ mathbf {d} - \) du mathbf {a} \ cdot ((\ - de mathbf {d} \ mathbf {b}) \ périodes (\ - de mathbf {d} \ mathbf {c}))| } {6}.$

En outre, si nous sommes donnés seulement les distances entre les sommets de n'importe quel tétraèdre, puis nous peut calculer son volume using la formule :

$288 \ cdot V^2 = \ commencer {le vmatrix} 0 et 1 et 1 et 1 et 1 \ \ 1 et 0 et d_ {12} ^2 et d_ {13} ^2 et \ de d_ {14} ^2 \ 1 et d_ {21} ^2 et 0 et d_ {23} ^2 et \ de d_ {24} ^2 \ 1 et d_ {31} ^2 et d_ {32} ^2 et 0 et \ de d_ {34} ^2 \ 1 et d_ {41} ^2 et d_ {42} ^2 et d_ {43} ^2 et 0 \ extrémité {vmatrix}.$

Si la valeur de la cause déterminante est négative ceci signifie que nous ne pouvons pas construire un tétraèdre avec les distances données entre les sommets.

Relations géométriques

Un tétraèdre est des 3 - le recto. À la différence de dans le cas d'autres solides platoniques, tous les sommets d'un tétraèdre régulier sont équidistants entre eux (ils sont dans le seul arrangement possible de quatre points équidistants).

Un tétraèdre est une pyramide triangulaire , et le tétraèdre régulier est le individu-duel.

Un tétraèdre régulier peut être inclus à l'intérieur d'un cube en de deux manières tels que chaque sommet est un sommet du cube, et chaque bord est une diagonale d'un des visages du cube. Pour un tel encastrement, les coordonnées cartésiennes des sommets sont le (+1, +1, +1) ;
(&minus ; 1, &minus ; 1, +1) ;
(&minus ; 1, +1, &minus ; 1) ;
(+1, &minus ; 1, &minus ; 1). Pour l'autre tétraèdre (qui est le duel au premier), renverser tous les signes. Le volume de ce tétraèdre est 1/3 du volume du cube. La combinaison les deux tetrahedra donne à un régulier le composé polyèdre appelé l'octangula de Stella de , dont l'intérieur est un octaèdre . Également, un octaèdre régulier est le résultat de découper, d'un tétraèdre régulier, le tetrahedra de quatre militaires de carrière de la moitié de la taille linéaire (c., rectifiant le tétraèdre).

Inscrire le tetrahedra à l'intérieur du composé régulier de de cinq cubes donne deux composés plus réguliers, contenant le tetrahedra cinq et dix.

Le tetrahedra régulier ne peut pas l'espace tessellate seuls, bien qu'il semble assez probablement que le Aristote a rapporté que c'était possible. Cependant, le tetrahedra de deux militaires de carrière peut être combiné avec un octaèdre, donnant un Rhombohedron qui peut couvrir de tuiles l'espace.

Cependant, il y a au moins un tétraèdre irrégulier dont les copies peuvent couvrir de tuiles l'espace. Si on détend la condition que le tetrahedra soit toute la même forme, on peut couvrir de tuiles l'espace using seulement le tetrahedra dans diverses manières. Par exemple, on peut diviser un octaèdre en tetrahedra quatre identique et les combiner encore avec le militaire de carrière deux ceux. (Comme côté-note : ces deux genres de tétraèdre ont le même volume.)

Le tétraèdre est unique parmi les polyèdres uniformes en ne possédant aucun visage de parallèle.

Polyèdres relatifs

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espace libre : both" ; />

Tetrahedra de intersection

Un polyèdre intéressant peut être construit du tetrahedra de intersection du cinq. Ce composé du tetrahedra cinq a été connu pour des centaines d'années. Il monte régulièrement dans le monde du Origami . La jointure des vingt sommets formerait un régulier Dodecahedron . Il y a le les formes droitières gauchères de et qui sont les images de miroir de l'un l'autre.

Les isometries du tétraèdre régulier

Les sommets d'un cube en peuvent être groupés dans deux groupes de quatre, chacun qui forme un tétraèdre régulier (voir ci-dessus, et également l'animation , montrant un du tetrahedra deux dans le cube). Les symétries d'un tétraèdre régulier correspondent à la moitié de ceux d'un cube : ceux qui tracent les tétraèdres à eux-mêmes, et pas entre eux.

Le tétraèdre est le seul solide platonique qui n'est pas tracé à lui-même par inversion de point.

Le tétraèdre régulier a 24 isometries, formant le T_d du groupe de symétrie de , isomorphe au '' S '' ₄ . Ils peuvent être classés par catégorie comme suit :
Le T , isomorphe au alternatif A ₄ (l'identité et 11 rotations appropriées) du groupe avec le suivant Conjugacy classe (entre parenthèses sont donnés les permutations des sommets, ou également, les visages, et la représentation de quaternion d'unité de ) :
identité (identité ; 1)
rotation autour d'un axe par un sommet, perpendiculaire à l'avion opposé, par un angle de ±120° : 4 haches, 2 par axe, ensemble 8 ((1 2 3), etc. ; (1±i±j±k)/2)
rotation par un angle de 180° tels qu'un bord trace au bord opposé : 3 ((1 2) (3 4), etc. ; i, j, k)
réflexions dans une perpendiculaire d'avion à un bord : 6
les réflexions dans un avion ont combiné avec la rotation de 90° au sujet d'une perpendiculaire d'axe à l'avion : 3 haches, 2 par axe, ensemble 6 ; d'une manière equivalente, elles sont des rotations de 90° combinées avec l'inversion (le X est tracé au &minus ; X ) : les rotations correspondent à ceux du cube au sujet des haches tête à tête

Les isometries du tetrahedra irrégulier

Les isometries d'un tétraèdre irrégulier dépendent de la géométrie du tétraèdre, avec 7 cas possibles. Dans chaque cas par groupe à trois dimensions de point est formé.
Une base de triangle équilaterale et des côtés de triangle isocèle (et non-équilaterale) donne 6 isometries, correspondant aux 6 isometries de la base. Comme permutations des sommets, ces 6 isometries sont l'identité 1, (123), (132), (12), (13) et (23), formant le C _3v de groupe de symétrie, isomorphe au S ₃.
Quatre triangles (non-équilaterales) isocèles conformes donne 8 isometries.4) sont de longueur différente aux autres 4 puis les 8 isometries sont l'identité 1, les réflexions (12) et (34), et les 180° ; rotations (12) (34), (13) (24), (14) (23) et 90° inexact ; rotations (1234) et (1432) formation du D _2d de groupe de symétrie.
Quatre triangles scalènes conformes donne 4 isometries. Les isometries sont 1 et les 180° ; rotations (12) (34), (13) (24), (14) (23). C'est le &cong du V ₄ du quatre-groupe de Klein de ; Z ₂², présent comme D₂ de groupe de point.
Deux paires de triangles (non-équilaterales) isocèles isomorphes. Ceci donne deux bords opposés (1.4) qui sont des longueurs perpendiculaires mais différentes, et alors les 4 isometries sont 1, réflexions (12) et (34) et le 180° ; rotation (12) (34). Le groupe de symétrie est le C _2v, isomorphe au V ₄.
Deux paires de triangles scalènes isomorphes. Ceci a deux paires de bords égaux (1.3) mais autrement aucuns bords égaux. Les seuls deux isometries sont 1 et la rotation (12) (34), donnant au groupe le C ₂ isomorphe au Z ₂.
Deux triangles isocèles inégales avec une base commune. Ceci a deux paires de bords égaux (1.4) et autrement aucuns bords égaux. Les seuls deux isometries sont 1 et la réflexion (34), donnant au groupe le C _s isomorphe au Z ₂.
Bord n'égale pas, de sorte que le seul isometry soit l'identité, et le groupe de symétrie soit le groupe insignifiant.

Une loi des sinus pour le tetrahedra et l'espace de toutes les formes de tetrahedra

Un corollaire de la loi de des sinus habituelle que est celui dans un tétraèdre avec le O , le A , le B , le C de sommets, nous ont $de \ angle OAB \ cdot \ angle OBC \ = de cdot \ angle OCA \ angle OAC \ cdot \ angle OCB \ cdot \ angle OBA. \,$

On peut regarder les deux côtés de cette identité comme correspondant aux orientations dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens contraire des aiguilles d'une montre de la surface.

Mettant des quatre sommets l'uns des dans le rôle des rendements du O quatre telles identités, mais dans une certaine mesure tout au plus trois d'entre eux sont indépendantes : Si le " ; clockwise" ; des côtés de trois d'entre eux sont multipliés et le produit est impliqué pour être égal au produit du " ; counterclockwise" ; les côtés des mêmes trois identités, et alors des facteurs communs sont décommandés des deux côtés, le résultat est la quatrième identité. Une raison d'être intéressé à ce " ; independence" ; la relation est ceci : On le sait largement que trois angles sont les angles d'une certaine triangle si et seulement si leur somme est un demi-cercle. Quelle condition sur 12 pêche est neceesary et suffisante pour que soient-ils les 12 angles d'un certain tétraèdre ? Clairement la somme des angles de n'importe quel côté du tétraèdre doit être un demi-cercle. Puisqu'il y a quatre telles triangles, il y a quatre telles contraintes sur des sommes d'angles, et le nombre de degrés de de liberté est de ce fait réduit de 12 à 8. Les quatre relations données par cette loi de sinus ramènent plus loin le nombre de degrés de liberté, le pas de 8 vers le bas à 4, mais seulement de 8 vers le bas à 5, puisque la quatrième contrainte n'est pas indépendant des trois premiers. Ainsi l'espace de toutes les formes de tetrahedra est 5 dimensionnels.

Utilisations informatiques

Des formes complexes sont souvent décomposées en maille de tetrahedra irrégulier en vue de l'analyse par éléments finis et la dynamique des fluides informatique étudie.

Applications et utilisations

la chimie de de La forme de tétraèdre est vue en nature dans les liaisons covalentes des molécules. Par exemple dans une molécule du méthane (CH₄) les quatre atomes d'hydrogène se situent dans chaque coin d'un tétraèdre avec l'atome de carbone au centre. Pour cette raison, un des principaux journaux en chimie organique s'appelle le tétraèdre . L'ammonium est un autre exemple.
L'angle du centre avec deux sommets quelconques est

\ arccos {\ à gauche (- \ tfrac {1} {3} \ droits)}

, ou approximativement 109.

l'électronique de de Si chaque bord d'un tétraèdre devaient être remplacés par une résistance de l'ohm d'un , la résistance entre deux sommets quelconques serait ohm de 1/2.

du symbolisme de de Le tétraèdre représente le feu classique d'élément.

des jeux de Particulièrement dans le Roleplaying , ce solide est connu comme d4 , une des matrices polyèdres plus commun.
Tétraèdres construits avec de 1 1/4" ; La pipe de PVC , qui ont été connus en tant que « tetras », ont été utilisées pendant que l'objet de marquage principal sur le PREMIER 2005 du Triple Play du jeu de la concurrence de robotique de . L'objet du jeu était d'empiler ces « tetras » sur de plus grands buts de tétraèdre qui ont ici placé dans un 3× ; matrice 3.

de la fiction de Dans l'ordre de Xeelee de des livres de la science-fiction par le Stephen Baxter d'auteur, un tétraèdre bleu-vert est le symbole de l'humanité libre.
Le Triforces de la légende de de de la série de dessin animé de de Zelda sont les tétraèdres verts et rouges. La représentation des triforce de la série réelle de jeu (commençant dans le de un lien au passé de ) est celle d'un tétraèdre dévoilé.
L'arc d'histoire du " de série de ventilateur ; Star Trek : " de la frontière caché par ; évolue autour des objets façonnés antiques colossaux, qui deviennent plus tard une partie centrale de la série. Les objets façonnés désigné sous le nom des tétraèdres et ont la forme d'un corps si géométrique. De la série, les tétraèdres possèdent la capacité de produire beaucoup d'énergie et sont de matériel inconnu et origine, cependant, ils semblent être plusieurs million d'années et on le décrit que ces dispositifs ont été établis par une civilisation antique.

Voir également

Caltrop
Polyèdre de Császár de
Polyèdre de Szilassi de
Cerf-volant tétraédrique
Dipyramid triangulaire - construit en joignant le tetrahedra deux le long d'un visage
Nombre tétraédrique
La géométrie moléculaire tétraédrique
Tétra-Pak

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