Système linéaire

Un système linéaire est un modèle mathématique d'un système basé sur l'utilisation d'un opérateur linéaire . Les systèmes linéaires présentent typiquement les dispositifs et les propriétés qui sont beaucoup plus simples que le général, cas non linéaire du . Comme abstraction ou idéalisation mathématique, les systèmes linéaires trouvent des applications importantes dans la théorie du contrôle automatique , le traitement des signaux , et les télécommunications . Par exemple, le milieu de propagation pour les systèmes de communication sans fil peut souvent être modelé par les systèmes linéaires.

Un système déterministe général peut être décrit par l'opérateur $H$ qui trace un $x\; d\text{'}entrée\; (t)$ en fonction de $t$ à un résultat $y\; (t)$, un type de description de boîte noire noire . Les systèmes linéaires satisfont les propriétés de la superposition et de la graduation :
valide donné $x\_1\; de$
de deux entrées (t) \,
$x\_2\; de$ (t) \, aussi bien que leur
respectif $y\_1\; de$
de sorties (t) = H \ parti \ {
$y\_2\; de\; x\_1\; (t)\; \backslash \; droit\; \backslash \}$ (t) = H \ parti \ {x_2 (t) \ droit \} alors un système linéaire doit satisfaire le $de\; \backslash \; alpha\; y\_1\; (t)\; +\; \backslash \; bêta\; y\_2\; (t)\; =\; H\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; \{\backslash \; alpha\; x\_1\; (t)\; +\; \backslash \; bêta\; x\_2\; (t)\; \backslash \; droit\; \backslash \}$ pour n'importe quel scalaire évalue le $\backslash \; alpha\; \backslash ,$ et $\backslash \; bêta\; \backslash ,\; le$. < ! -- Insérer l'image dipicting la superposition et mesurant des propriétés -->

Le comportement du système en résultant soumis à une entrée complexe peut être décrit comme somme de réponses à des entrées plus simples. Dans les systèmes non linéaires, il n'y a aucune une telle relation. Cette propriété mathématique rend la solution des équations de modélisation plus simple que beaucoup de systèmes non linéaires. Pour les systèmes temps-invariables du c'est la base de la réponse d'impulsion ou des méthodes de la réponse en fr3quence (voir la théorie de système du LTI ), qui décrivent un $x\; de\; fonction\; d\text{'}entrée\; de\; général\; (t)$ en termes d'impulsions d'unité ou composants de fréquence de .

Les équations de typique que des systèmes temps-invariables du linéaire sont bien adaptés à l'analyse using le Laplace transforment dans le cas continu du , et la transformée en Z dans le cas discret du (particulièrement dans des réalisations d'ordinateur).

Une autre perspective est que les solutions aux systèmes linéaires comportent un système des fonctions qui agissent comme les vecteurs dans le sens géométrique.

Un d'usage courant des modèles linéaires est de décrire un système non linéaire par la linéarisation . Ceci est habituellement fait pour la convenance mathématique.

Réponse d'impulsion variable dans le temps

Le variable dans le temps h ( t ₂, t ₁) de la réponse d'impulsion de d'un système linéaire est défini comme réponse du système au t de temps = t ₂ à une impulsion simple appliquée au t de temps = t ₁. En d'autres termes, si le d'entrée X ( t ) à un système linéaire est

$x\; (t)\; =\; \backslash \; delta\; (t-t\_1)\; \backslash ,$

là où &delta ; ( t ) représente la fonction de Dirac de Dirac , et le correspondant y ( t ) de réponse du système est

$y\; (t)\; |\_\; \{t=t\_2\}\; =)\; t\_2,\; t\_1\; \backslash ,\; de\; h\; ($

alors le h ( t ₂, t ₁) de fonction est la réponse d'impulsion variable dans le temps du système.

Intégrale variable dans le temps de convolution

Temps continu

Le rendement de n'importe quel système linéaire de temps continu est lié à l'entrée par l'intégrale variable dans le temps de convolution : $y\; de$

(t) = \ ^ d'int_ {- \ infty} {\ infty} h (t, s) x ds

ou, d'une manière equivalente, $y\; de$

(t) = \ ^ d'int_ {- \ infty} {\ infty} h (t, t \ tau) x (t \ tau) d \ tau

là où $de$

\ tau = t - s \,

représente le temps de latence entre le stimulus au s de temps et la réponse au t de temps.

Temps discret

Le rendement de n'importe quel système linéaire de temps discret est lié à l'entrée par la somme variable dans le temps de convolution : $de$

y = \ ^ de sum_ {k=- \ infty} {\ infty} {h X}

ou d'une manière equivalente, $de$

y = \ ^ de sum_ {m=- \ infty} {\ infty} {h X}

là où $de$

k = nanomètre \,

représente le temps de latence entre le stimulus au k de temps et la réponse au n de temps.

Causalité

Un système linéaire est le causal si et seulement si la réponse d'impulsion variable dans le temps du système est identiquement zéro toutes les fois que le t de temps de la réponse est plus tôt que le s de temps du stimulus. En d'autres termes, pour un système causal, la condition suivante doit se tenir : $h\; de$

(t, s) = 0 \ \ \ \ de mathrm {pour} \ t < s

Voir également

Système linéaire de des diviseurs dans la géométrie algébrique .
Théorie de système du LTI
Analyse fonctionnelle
Système de des équations linéaires
Système non linéaire

ath-moignon

.

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