Système de rotation

Dans les mathématiques combinatoires du , les systèmes de rotation de codent des embeddings des graphiques sur les surfaces orientable du en décrivant le de commande circulaire des bords d'un graphique autour de chaque sommet. La définition plus formelle d'un système de rotation implique des paires de permutations ; une telle paire est suffisante pour déterminer un multigraphe, une surface, et une cellule du 2 enfonçant du multigraphe sur la surface.

Chaque arrangement de rotation définit un encastrement unique de 2 cellules d'un multigraphe relié sur une surface orientée fermée (jusqu'à l'orientation préservant l'équivalence topologique). Réciproquement, tout encastrement d'un relié de multigraphe G sur une surface fermée orientée définit un système unique de rotation ayant le G en tant que son multigraphe fondamental. Cette équivalence fondamentale entre les systèmes de rotation et la cellule-embeddings 2 a été arrangée la première fois sur une forme duelle par Heffter et intensivement employée par le Ringel pendant les années 50. Indépendamment, le Edmonds a donné la forme principale du théorème et les détails de son étude ont été popularisés par Youngs. La généralisation à l'ensemble de totalité de multigraphes a été développée par brut et Alpert.

Des systèmes de rotation sont liés à, mais pas les mêmes que, les cartes de rotation de employées par Reingold et autres (2002) pour définir le produit de zig-zag de des graphiques . Un système de rotation spécifie une commande circulaire des bords autour de chaque sommet, alors qu'une carte de rotation spécifie la permutation (non-circular) d'a des bords à chaque sommet. En outre, des systèmes de rotation peuvent être définis pour n'importe quel graphique, alors que pendant que Reingold et autres les définissent des cartes de rotation sont limitées aux graphiques de militaire de carrière de

Définition formelle

Formellement, un système de rotation est défini comme paire (&sigma ; , &theta ;) là où &sigma ; et &theta ; sont les deux permutations agissant sur le même réglé B , &theta de la terre ; est une involution fixe-point-libre , et le < du groupe ; &sigma ; , &theta ; > ; produit par par &sigma ; et &theta ; le agit transitif sur le B .

Pour dériver un système de rotation d'un encastrement de 2 cellules d'un relié de multigraphe G sur une surface orientée, laisser le B comprendre les dards de (ou drapeaux de , ou moitié-bords de ) du G ; c'est-à-dire, pour chaque bord du G nous formons deux éléments du B , un pour chaque point final du bord. Même lorsqu'un bord a le même sommet que tous les deux ses points finaux, nous créons deux dards pour ce bord. Nous avons laissé le &theta ; ( b ) être l'autre dard formé à partir du même bord que le b ; c'est clairement une involution sans les points fixes. Nous avons laissé le &sigma ; ( b ) être le dard en position dans le sens des aiguilles d'une montre du b dans l'ordre cyclique de l'incident de bords au même sommet, où " ; clockwise" ; est défini par l'orientation de la surface.

Si un multigraphe est inclus sur une surface orientable mais non orientée, il correspond généralement à deux systèmes de rotation, un pour chacune des deux orientations de la surface. Ces systèmes de deux rotations ont le même &theta d'involution ; , mais le &sigma de permutation ; pour une rotation le système est l'inverse de la permutation correspondante pour l'autre système de rotation.

Récupération de l'encastrement du système de rotation

Pour récupérer un multigraphe d'un système de rotation, nous formons un sommet pour chaque orbite de &sigma ; , et un bord pour chaque orbite de &theta ;. Un sommet est incident avec un bord si ces deux orbites ont une intersection non vide. Ainsi, le nombre d'incidences par sommet est la taille de l'orbite, et le nombre d'incidences par bord est exactement deux. Si un système de rotation est dérivé d'un encastrement de 2 cellules d'un relié G de multigraphe, le graphique dérivé du système de rotation est isomorphe au G .

Pour inclure le graphique a dérivé d'un système de rotation sur une surface, forment un disque pour chaque orbite de &sigma ; &theta ; , et coller deux disques ensemble le long d'un e de bord toutes les fois que les deux dards correspondant au e appartiennent aux deux orbites correspondant à ces disques. Le résultat est un encastrement de 2 cellules du multigraphe dérivé, les deux-cellules dont sont les disques correspondant aux orbites du &sigma ; &theta ;. La surface de ceci qui enfonce peut être orientée de telle manière que la commande dans le sens des aiguilles d'une montre des bords autour de chaque sommet soit identique que la commande dans le sens des aiguilles d'une montre donnée par &sigma ;.

Caractérisation de la surface de l'encastrement

Selon la formule d'Euler de nous pouvons déduire le genre le g de de la surface orientable fermée définie par le $de système de rotation (\, de sigma \ thêta)$ (c'est-à-dire, la surface sur laquelle le multigraphe fondamental est la cellule 2 incluse) :

$g=1- \ frac {1} {2} (|Z (\ sigma)|-|Z (\ thêta)|+|Z (\ sigma \ thêta)|)$

là où le $Z (\ phi)$ dénote l'ensemble des orbites du $de permutation \ phi$ .

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