Symbole de Legendre

Le symbole de Legendre de est un concept théorétique du nombre . Il est baptisé du nom du français Adrien-Marie Legendre de mathématicien et est employé en liaison avec la factorisation et les résidus quadratiques

Définition

Le symbole de Legendre est défini comme suit :

Si le p est un nombre premier impair et le un est un nombre entier , puis le symbole de Legendre $de$

\ (\ frac {a} {p} \ droit) laissé

est :
0 si le p divise le un ; autrement,
1 si le un est un &mdash carré du p du modulo ; c'est-à-dire là existe un k de nombre entier tels que &equiv du k ² ; le un ( p de mod), ou en d'autres termes le un est un quadratique p de modulo du résidu ;
&minus ; 1 si le un n'est pas un carré p de modulo, ou en d'autres termes un n'est pas un quadratique p de modulo de résidu.

Propriétés du symbole de Legendre

Il y a un certain nombre de propriétés utiles du symbole de Legendre qui peut être employé pour accélérer des calculs. Ils incluent : $\backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{ab\}\; \{p\}\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{p\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{b\}\; \{p\}\; \backslash \; droit)$ (c'est une fonction complètement multiplicative dans son argument supérieur. On peut comprendre que cette propriété signifie : le produit de deux résidus ou non-résidus est un résidu, tandis que le produit d'un résidu avec un non-résidu est un de non-résidu.) Si un &equiv de ; b p ), puis $(de\; mod\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{p\}\; \backslash \; droit)\; =\; laissé\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{b\}\; \{p\}\; \backslash \; droits)\; de$ $\backslash \; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\}\; \backslash \; droit)\; =\; 1\; laissé\; de$ $\backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{-\; 1\}\; \{p\}\; \backslash \; droit)\; =\; (-\; 1)\; le\; ^\; \{(p-1)\; /2\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{des\; cas\}\; 1\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; p\; \backslash \; \backslash \; équivalent\; de\; 1\; \backslash \; pmod\; \{4\}\; \backslash \; -\; 1\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; p\; \backslash \; 3\; équivalents\; \backslash$

du pmod {4} \ extrémité {cas} $$

\ parti (\ frac {2} {p} \ droit) = (- le ^ de 1) {(p^2-1) /8} = \ commencent {des cas} 1 \ mbox {si} p \ \ équivalent de 1 \ mbox {ou} 7 \ pmod {8} \ - 1 \ mbox {si} p \ 3 équivalents \ mbox {ou} 5 \

du pmod {8} \ extrémité {cas} Pour un principal impair p , $$

\ parti (\ frac {3} {p} \ droit) = (- le ^ de 1) \ parti \ lceil \ frac {p+1} {6} \ droit \ rceil = \ commencent {des cas} 1 \ mbox {si} p \ \ équivalent de 1 \ mbox {ou} 11 \ pmod {12} \ - 1 \ mbox {si} p \ 5 équivalents \ mbox {ou} 7 \

du pmod {12} \ extrémité {cas} Pour un principal impair p , $$

\ parti (\ frac {5} {p} \ droit) = (- le ^ de 1) \ parti \ lfloor \ frac {p-2} {5} \ droit \ rfloor = \ commencent {des cas} 1 \ mbox {si} p \ \ 4 \ pmod5 \ - équivalent de 1 \ mbox {ou} 1 \ mbox {si} p \ 2 équivalents \ mbox {ou} 3 \ pmod5 \

d'extrémité {cas} Pour un principal impair p , $$

\ parti (\ frac {7} {p} \ droit) = \ commencer {des cas} 1 \ mbox {si} p \ 1 équivalent, 3, 9, 19, 25, \ \ du mbox {ou} 28 \ pmod {28} \ - 1 \ mbox {si} p \ 5 équivalents, 11, 13, 15, 17, \ mbox {ou} 23 \

du pmod {28} \ extrémité {cas} Si le p et le q sont impairs amorce alors le $$

\ (\ frac {q} {p} \ droit) = laissé \ laissé (\ frac {p} {q} \ droit) (- 1) ^ {((p-1) /2) ((q-1) /2)}

La dernière propriété est connue comme loi de de la réciprocité quadratique . Les propriétés 4 et 5 sont traditionnellement connues pendant que le complète à la réciprocité quadratique. Elles peuvent tous les deux être prouvées du lemme du gauss de .

Le symbole de Legendre est lié au critère du d'Euler de et le Euler a prouvé ce $de\; \backslash parti(\backslash \; frac\; \{a\}\; \{p\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; équivalent\; a^\; \{(p-1)\; /2\}\; \backslash \; pmod\; p$

En plus, le symbole de Legendre est un caractère de Dirichlet de .

Exemple informatique

La loi de la réciprocité quadratique, avec des propriétés 1-5 ci-dessus, peut être employée pour évaluer n'importe quel symbole de Legendre. Par exemple :

$\backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{12345\}\; \{331\}\; \backslash \; droit)$
$=\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{3\}\; \{331\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{5\}\; \{331\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{823\}\; \{331\}\; \backslash \; droit)$
$=-\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{331\}\; \{3\}\; \backslash \; bon$ =-$)\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{331\}\; \{5\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{161\}\; \{331\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\; \backslash \; bon$ =-$)\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{331\}\; \{161\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{9\}\; \{161\}\; \backslash \; droit)$ =-\; laissé$\backslash \; (\backslash \; frac\; \{3\}\; \{161\}\; \backslash \; droit)\; ^2=-1$
laissé

Fonction relative

le symbole de Jacobi de est une généralisation du symbole de Legendre qui permet des nombres inférieurs composés. Cette généralisation fournit une manière efficace de calculer tous les symboles de Legendre.
Une autre généralisation est le symbole de Kronecker de .

Zh-classique : 勒讓德符號 .

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