Surface de Veronese

Dans les mathématiques , le Veronese extérieur est une surface algébrique dans l'espace projectif cinq-dimensionnel. Il est l'encastrement de l'avion projectif donné par le système linéaire de complet du conics . Il est appelé pour le Giuseppe Veronese (1854-1917). La surface admet un encastrement dans l'espace projectif quadridimensionnel défini par la projection d'un point général dans l'espace cinq-dimensionnel. Sa projection générale à l'espace projectif tridimensionnel s'appelle un Steiner extérieur. Sa généralisation à une dimension plus élevée est connue comme variété de Veronese de .

Définition

La surface de Veronese est un de cartographie de \ NU : \ mathbb {P} ^2 \ \ mathbb {P} ^5 donné près de

\ NU : \ mapsto

là où dénote les coordonnées homogènes .

Carte de Veronese

La carte de Veronese de ou la variété de Veronese de généralise cette idée aux tracés du général d de degré. C'est-à-dire, la carte de Veronese du d de degré est la carte de

\ ^n d:\mathbb de nu_ {P} \ \ ^ du mathbb {P} {m}

le m étant donné par le coefficient binomial m= de

{n+d \ choisissent d} -1

La carte envoie à tous les monômes possibles du total d de degré, ainsi l'aspect du coefficient binomial est de la considération de la combinatoire.

On peut définir la carte de Veronese d'une manière coordonner-libre, As \ nu_d de

: \ mathbb {P} V \ \ mathbb {P} (\ ^d V) de rm {Sym}

là où le V est n'importe quel espace de vecteur de dimension finie, et \ rm {Sym} le ^d V sont ses puissances symétriques du d de degré. C'est homogène du d de degré sous la multiplication scalaire sur le V , et passe donc à une cartographie sur les espaces projectifs fondamental

Si le V de l'espace de vecteur est défini au-dessus d'un K du champ qui n'a pas la caractéristique zéro , alors la définition doit être changée pour être comprise en tant que cartographie à l'espace duel des polynômes sur le V . C'est parce que pour des champs avec le caractéristique fini p , les puissances de Th du p des éléments du V ne sont pas les courbes normales raisonnables mais est naturellement une ligne. (Voir, par exemple le polynôme additif pour un traitement des polynômes au-dessus d'un champ de caractéristique finie).

Sous-variétés

L'image d'une variété sous la carte de Veronese est encore une variété ; en outre, ce sont isomorphes dans le sens que la carte inverse existe et est le régulier. Plus avec précision, les images des ensembles ouverts dans la topologie de Zariski de sont encore ouvertes. Ceci peut être employé pour prouver que n'importe quelle variété projective est l'intersection d'une variété de Veronese et d'un espace linéaire, et ainsi que n'importe quelle variété projective est isomorphe à une intersection des quadriques

Voir également

cubique Twisted
Courbe normale raisonnable

.

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