Surface de Riemann

Dans les mathématiques , en particulier dans l'analyse complexe , un Riemann extérieur, baptisé du nom de Bernhard Riemann , est une tubulure complexe unidimensionnel. Des surfaces de Riemann peuvent être considérées comme le " ; versions" déformé ; du plan complexe : localement près de chaque point elles ressemblent aux pièces rapportées du plan complexe, mais la topologie globale peut être très différente. Par exemple, elles peuvent ressembler à une sphère ou un tore ou deux ou trois feuilles collées ensemble.

La question principale de surfaces de Riemann est que les fonctions holoèdres peuvent être définies entre elles. Des surfaces de Riemann sont de nos jours considérées l'arrangement normal pour étudier le comportement global de ces fonctions, particulièrement de fonctions à valeurs multiples tel que la racine carrée ou du logarithme .

Chaque surface de Riemann est une vraie tubulure analytique bidimensionnelle (c., une surface de ), mais elle contient plus de structure (spécifiquement une structure complexe ) qui est nécessaire pour la définition non ambiguë des fonctions holoèdres. Une vraie tubulure bidimensionnelle peut être transformée en surface de Riemann (habituellement de plusieurs manières inequivalent) si et seulement si c'est Orientable . Ainsi la sphère et le tore admettent les structures complexes, mais la bande de Möbius de , la bouteille de Klein de et l'avion projectif ne font pas.

Les faits géométriques sur des surfaces de Riemann sont comme " ; nice" ; en tant que possible, et eux fournir souvent l'intuition et la motivation pour des généralisations à d'autres courbes, tubulures ou variétés. Le théorème de Riemann-Roch de est un exemple typique de cette influence.

Définition formelle

Laisser le X être un espace de Hausdorff . Une homéomorphie d'un &sub ouvert du U de sous-ensemble ; Le X à un sous-ensemble de C s'appelle un diagramme de . Le f de deux diagrammes et le g dont les domaines intersectent serait compatibles si le ^{&minus du g du f o de cartes ; 1} et   ^{du f du g o ; &minus ; 1} sont le holoèdre au-dessus de leurs domaines. Si le A est une collection de diagrammes compatibles et le cas échéant le X dans le X est dans le domaine d'un certain f dans le A , alors nous disons que le A est un atlas de . Quand nous dotons le X avec un A d'atlas, nous disons que ( X , A ) est une surface de Riemann. Si l'atlas est compris, nous disons simplement que le X est une surface de Riemann.

Les différents atlas peuvent provoquer essentiellement la même structure extérieure de Riemann sur le X ; pour éviter cette ambiguïté, parfois demandes une que l'atlas donné sur le X soit le maximal, dans le sens qu'il n'est contenu dans aucun autre atlas. Chaque A d'atlas est contenu dans maximal unique, à savoir l'atlas se composant de toutes les cartes holomorphically compatibles avec toutes les cartes dans l'A.

Exemples

le C du plan complexe est peut-être la surface de Riemann la plus fondamentale. Le f ( z ) de carte = le z (la carte d'identité) définit un diagramme pour le C , et { f } est un atlas pour le C . Le g ( z ) de carte = le z^* (la carte de conjugé ) définit également un diagramme sur le C et { g } est un atlas pour le C . Le f de diagrammes et le g ne sont pas compatibles, ainsi ceci dote le C avec deux structures extérieures distinctes de Riemann. En fait, donné un Riemann le extérieur X et son A , le conjugué B d'atlas d'atlas = { f^* : &isin du f ; A} n'est jamais compatible avec le A , et dote le X avec une structure distincte et incompatible de Riemann.

d'une mode analogue, chaque sous-ensemble ouvert du plan complexe peut être regardé comme surface de Riemann d'une manière normale. Plus généralement, chaque sous-ensemble ouvert d'une surface de Riemann est une surface de Riemann.

a laissé le S = &cup du C ; {&infin ;} et laisser le f ( z ) = le z où le z est dans le S \ {le &infin ;} et g ( z ) = 1/ z où le z est dans le S \ {0} et 1/&infin ; est défini pour être 0. Puis le f et le g sont des diagrammes, ils sont compatibles, et { f , g } est un atlas pour le S , transformant le S en surface de Riemann. Cette surface particulière s'appelle la sphère de Riemann de de parce qu'elle peut être interprétée en tant qu'emballage du plan complexe autour de la sphère. À la différence du plan complexe, c'est le compact.

la théorie de surfaces compactes de Riemann peut s'avérer équivalent à celui des courbes algébriques projectif qui sont définies au-dessus des nombres complexes et non singulier. Des exemples importants des surfaces non-compactes de Riemann sont fournis par suite analytique (voir ci-dessous.)

Propriétés et d'autres définitions

Un f de la fonction : &rarr du M ; Le N entre le M de deux surfaces de Riemann et le N s'appelle le holoèdre si pour chaque de diagramme g dans l'atlas du M et de chaque de diagramme h dans l'atlas du N , le g ^-1 du f o du h o de carte est holoèdre (comme fonction de C à C ) partout où il est défini. La composition de deux cartes holoèdres est holoèdre. Le M de deux surfaces de Riemann et le N s'appellent le conformally équivalent si là existe une fonction holoèdre bijective du du M au N dont l'inverse est également holoèdre (il s'avère que le dernier état est automatique et peut donc être omis). Deux surfaces conformally équivalentes de Riemann sont pour tous les buts pratiques identiques.

Chaque surface simplement reliée du Riemann est conformally équivalent au C ou au &cup du C de sphère de Riemann ; {&infin ;} ou au disque ouvert {&isin de z ; C : | z | < 1}. C'est l'étape principale dans le théorème d'Uniformization de .

Le théorème d'uniformization déclare que chaque surface reliée de Riemann admet à deux dimensions complet Riemann métrique du unique un vrai avec la courbure constante -1, 0 ou 1 de induisant la même structure conforme. Les surfaces de Riemann avec la courbure -1 s'appellent le hyperbolique ; le disque ouvert avec le Poincaré-métrique de la courbure constante -1 est le modèle local. Les exemples incluent toutes les surfaces avec le genre le g >1. Les surfaces de Riemann avec la courbure 0 s'appellent le parabolique ; Le C et le tore sont les surfaces paraboliques typiques de Riemann. En conclusion, les surfaces avec la courbure +1 sont connues comme elliptique ; le &cup du C de la sphère de Riemann ; {&infin ;} est le seul exemple.

Pour chaque surface parabolique fermée de Riemann, le groupe fondamental est isomorphe à un trellis du grade 2, et la surface peut être construite ainsi comme C /&Gamma ; , où le C est le plan complexe et le &Gamma ; est le trellis. L'ensemble de représentants des cosets s'appellent les domaines fondamentaux

De même, pour chaque surface hyperbolique de Riemann, le groupe fondamental est isomorphe à un groupe de Fuchsian de , et la surface peut être modelée ainsi par un modèle H /&Gamma de Fuchsian ; là où le H est le haut de - demi - l'avion et le &Gamma ; est le groupe de Fuchsian. L'ensemble de représentants des cosets du H /&Gamma ; sont les ensembles réguliers libres et peuvent être façonnés dans les polygones fondamentaux métrique

Quand une surface hyperbolique est compacte, alors la surface totale de la surface est 4&pi ; ( g -1), où le g est le genre de la surface ; le secteur est obtenu en s'appliquant le théorème de Gauss-Capot de au secteur du polygone fondamental.

Nous avons noté dans le préambule que toutes les surfaces de Riemann, comme toutes les tubulures complexes, sont Orientable comme vraie tubulure. La raison est celle pour le f de diagrammes de complexe et le g avec le h de fonction de transition = f ( g ^-1 ( z )) nous pouvons considérer le h pendant qu'une carte d'un ensemble ouvert de R ² à R ² dont le Jacobian dans un z de point est juste la vraie carte linéaire donnée par multiplication par le h'(de de nombre complexe z) . Cependant, le vrai déterminant de la multiplication par un &alpha de nombre complexe ; égales |&alpha ; |², ainsi le Jacobian du h a la cause déterminante positive. En conséquence l'atlas complexe est un atlas orienté.

D'autres exemples

comme remarquable ci-dessus, la sphère de Riemann est la seule surface elliptique de Riemann.

la seule surface parabolique et simplement reliée de Riemann est le plan complexe. Toutes les surfaces paraboliques peuvent être obtenues comme quotient de l'avion. Toutes les surfaces paraboliques sont homéomorphes à l'avion, à l'anneau, ou au tore. Cependant il ne suit pas que tous les tores sont biholomorphic entre eux. C'est l'apparition du problème des modules. Le module d'un tore peut être capturé par un nombre complexe simple avec la cloison imaginaire positive en fait, les modules marqués que l'espace (l'espace de Teichmüller de ) du tore est biholomorphic au disque d'unité ouvert.

la seule surface hyperbolique et simplement reliée de Riemann est le disque d'unité ouvert. Le célébré Riemann traçant le théorème déclare que n'importe quel sous-ensemble strict simplement relié du plan complexe est biholomorphic au disque d'unité. Toutes les surfaces hyperboliques sont des quotients du disque d'unité. À la différence des surfaces elliptiques et paraboliques, aucune classification des surfaces hyperboliques n'est possible. En ont relié le sous-ensemble strict ouvert de l'avion donnent une surface hyperbolique ; considérer l'avion sans un chantre réglé de . Un de classification est possible aux surfaces de du type fini : ceux avec le groupe fondamental de façon finie produit. N'importe quel un de ces derniers a un nombre fini de modules et ainsi d'un espace dimensionnel fini de Teichmüller. Le problème de des modules (résolu par système de roquette d'artillerie légère Ahlfors et prolongé par Lipman Bers ) était de justifier la réclamation de Riemann qui pour une surface fermée de genre le g , le 3g - 3 paramètres complexes de suffisent.

Fonctions

Chaque surface non-compacte de Riemann admet des fonctions holoèdres non-constantes (avec des valeurs dans C ). En fait, chaque surface non-compacte de Riemann est une tubulure de Stein de .

En revanche, sur une surface compacte de Riemann chaque fonction holoèdre avec la valeur dans le C est constante due au principe de maximum. Cependant, là existe toujours non-constant que méromorphe fonctionne (des fonctions =holomorphic avec des valeurs dans le &cup de C de sphère de Riemann ; {&infin ;}).

Histoire

Des surfaces de Riemann ont été étudiées par le Bernhard Riemann et ont été baptisées la première fois du nom de lui.

En art et littérature

Voir également

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