Surface K3

Dans les mathématiques , dans le domaine des tubulures complexes un K3 extérieur est un exemple important et intéressant d'une surface complexe du contrat (dimension complexe 2 de étant vraie dimension 4).

En même temps que les tores complexes bidimensionnel, elles sont les tubulures de Calabi-Yau de de la dimension deux. La plupart des surfaces K3, dans un sens défini, ne sont pas algébriques. Ceci signifie cela, généralement elles ne peut pas être enfoncé dans n'importe quel espace projectif comme surface définie par des équations polynômes. Cependant, les surfaces K3 ont surgi la première fois dans la géométrie algébrique et c'est dans ce contexte qu'elles ont reçu leur &mdash nommé ; il est après trois géomètres, Kummer , Kähler et algébriques Kodaira , faisant référence également au de crête de montagne K2 dans les nouvelles quand le nom a été donné pendant les années 50.

Définition

Il y a beaucoup de propriétés équivalentes qui peuvent être employées pour caractériser un K3 extérieur. La définition donnée dépend du contexte :

Dans la géométrie différentielle , une définition typique est de " ; un contrat, complexe, a simplement relié la surface de au " canonique du paquet insignifiant ;.

Dans la géométrie algébrique , le " de définition ; une surface, X , avec la classe canonique insignifiant tels que H 1 ( X , O X) = 0." ; est preferred puisqu'il généralise à des champs bas plus arbitraires (pas simplement les nombres complexes de ). Ici, le H 1 ( X , O X) dénote le premier groupe du cohomology de gerbe de O X, la gerbe de fonctions régulières sur le X .

Une autre caractérisation, parfois trouvée en littérature de physique, est qu'une surface K3 est une tubulure de Calabi-Yau de de deux dimensions complexes qui n'est pas le T4 .

Propriétés importantes

En tant que 4 vraies tubulures dimensionnelles, toutes les surfaces K3 sont le diffeomorphic à un des autres et ainsi ont les mêmes nombres 1, 0, 22, 0, 1.

Toutes les surfaces K3 sont les tubulures de Kähler de

Par suite de la solution de Yau à la conjecture de Calabi de , toutes les surfaces K3 admettent la métrique Ricci-plate du .

On le sait qu'il y a un espace brut de modules de pour les surfaces K3 complexes, de la dimension 20. Il y a une période de traçant et théorème de Torelli de pour les surfaces K3 complexes. Il y a également plusieurs autres types de modules pour les surfaces K3 qui admettent de bonnes cartes de période.

Les tubulures K3 jouent un rôle important dans la théorie de corde de parce qu'elles nous fournissent le deuxième compactification le plus simple après le tore . Compactification sur une surface K3 préserve la moitié du Supersymmetry original .

Exemples

Le Kummer extérieur du

A est le quotient d'un abélien A de la variété bidimensionnel par le d'action par &minus de → de ; un . Ceci a comme conséquence 16 singularités, aux 2 points de torsion de A . On lui a montré classiquement que la résolution minimale de ce quotient est une surface K3.

  • Une surface non singulière du degré 4 du dans le P 3.
  • L'intersection d'un quadrique et un cubique dans le P 4.
  • L'intersection de trois quadriques dans le P 5.
  • Une couverture de double de de l'avion projectif s'est embranchée le long d'une courbe non singulière du degré 6 du .

    Voir également

    Supersingular K3 extérieur
    Classification de des surfaces algébriques

    • .

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